龙贝格积分法
字数 2567 2025-10-26 09:00:52

龙贝格积分法

题目描述：
用龙贝格（Romberg）积分法计算定积分

\[I = \int_{0}^{1} \frac{4}{1+x^2} \, dx \]

的近似值，要求误差不超过 \(10^{-6}\)。已知积分的精确值为 \(\pi \approx 3.141592653589793\)。

解题过程：

1. 理解龙贝格积分法的思想
龙贝格积分法是一种通过外推技术加速梯形公式收敛的方法。其核心步骤为：

  1. 用复合梯形公式计算一系列粗糙到精细的近似值（记为 \(R_{k,1}\)，其中 \(k\) 为划分次数）。
  2. 利用理查森外推将低阶误差项消除，得到更高精度的近似值 \(R_{k,j}\)，最终逼近真实积分值。

公式迭代关系：

\[\begin{aligned} R_{k,1} &= \frac{1}{2} \left[ R_{k-1,1} + h_{k-1} \sum_{i=1}^{2^{k-1}} f(a+(2i-1)h_k) \right], \quad h_k = \frac{b-a}{2^k} \\ R_{k,j} &= \frac{4^{j-1} R_{k,j-1} - R_{k-1,j-1}}{4^{j-1} - 1}, \quad j=2,3,\dots,k \end{aligned} \]

2. 初始化计算
设 \(a=0, b=1\)，\(f(x) = \frac{4}{1+x^2}\)。

  • \(k=1\)（区间不划分，仅端点）：

\[R_{1,1} = \frac{b-a}{2} [f(a)+f(b)] = \frac{1}{2} [f(0)+f(1)] = \frac{1}{2} \left[ 4 + 2 \right] = 3 \]

3. 迭代计算 \(k=2\)

  • \(h_2 = \frac{1}{2}\)，新增节点 \(x=0.5\)：

\[R_{2,1} = \frac{1}{2} R_{1,1} + h_2 f(0.5) = \frac{1}{2} \cdot 3 + 0.5 \cdot \frac{4}{1+0.25} = 1.5 + 0.5 \cdot 3.2 = 3.1 \]

  • 外推 \(j=2\)：

\[R_{2,2} = \frac{4 R_{2,1} - R_{1,1}}{3} = \frac{4 \cdot 3.1 - 3}{3} = \frac{12.4-3}{3} = 3.13333\ldots \]

4. 迭代计算 \(k=3\)

  • \(h_3 = \frac{1}{4}\)，新增节点 \(x=0.25, 0.75\)：

\[\begin{aligned} R_{3,1} &= \frac{1}{2} R_{2,1} + h_3 [f(0.25)+f(0.75)] \\ &= 1.55 + 0.25 \left[ \frac{4}{1+0.0625} + \frac{4}{1+0.5625} \right] \\ &= 1.55 + 0.25 [3.7647 + 2.56] = 1.55 + 1.581175 = 3.131176 \end{aligned} \]

  • 外推：

\[\begin{aligned} R_{3,2} &= \frac{4 R_{3,1} - R_{2,1}}{3} = \frac{12.524704 - 3.1}{3} = 3.141568 \\ R_{3,3} &= \frac{16 R_{3,2} - R_{2,2}}{15} = \frac{50.265088 - 3.133333}{15} = 3.142117 \end{aligned} \]

5. 迭代计算 \(k=4\)

  • \(h_4 = \frac{1}{8}\)，新增节点 \(x=0.125, 0.375, 0.625, 0.875\)：

\[\begin{aligned} R_{4,1} &= \frac{1}{2} R_{3,1} + h_4 \sum_{\text{新增点}} f(x_i) \\ &= 1.565588 + 0.125 [f(0.125)+f(0.375)+f(0.625)+f(0.875)] \\ &= 1.565588 + 0.125 [3.938461 + 3.2 + 2.876404 + 2.56] \\ &= 1.565588 + 0.125 \cdot 12.574865 = 3.138988 \end{aligned} \]

  • 外推：

\[\begin{aligned} R_{4,2} &= \frac{4 R_{4,1} - R_{3,1}}{3} = \frac{12.555952 - 3.131176}{3} = 3.141592 \\ R_{4,3} &= \frac{16 R_{4,2} - R_{3,2}}{15} = \frac{50.265472 - 3.141568}{15} = 3.141594 \\ R_{4,4} &= \frac{64 R_{4,3} - R_{3,3}}{63} = \frac{201.062016 - 3.142117}{63} = 3.141586 \end{aligned} \]

6. 误差分析与停止条件
精确值 \(\pi \approx 3.141592653589793\)。
比较 \(k=4\) 的外推值：

  • \(R_{4,4} = 3.141586\)，误差约 \(6.6 \times 10^{-6}\)
  • \(R_{4,2} = 3.141592\)，误差约 \(6.5 \times 10^{-7}\)（已满足 \(10^{-6}\) 精度）

因此取 \(R_{4,2}\) 作为最终结果。

总结：
龙贝格积分法通过复合梯形公式的逐步细分和理查森外推，快速提升精度。本例中仅需 4 次迭代即可达到 \(10^{-6}\) 误差，显著优于直接使用梯形公式。

龙贝格积分法 题目描述 ： 用龙贝格（Romberg）积分法计算定积分 \[ I = \int_ {0}^{1} \frac{4}{1+x^2} \, dx \] 的近似值，要求误差不超过 \(10^{-6}\)。已知积分的精确值为 \(\pi \approx 3.141592653589793\)。 解题过程 ： 1. 理解龙贝格积分法的思想 龙贝格积分法是一种通过 外推技术 加速梯形公式收敛的方法。其核心步骤为： 用 复合梯形公式 计算一系列粗糙到精细的近似值（记为 \(R_ {k,1}\)，其中 \(k\) 为划分次数）。 利用 理查森外推 将低阶误差项消除，得到更高精度的近似值 \(R_ {k,j}\)，最终逼近真实积分值。 公式迭代关系： \[ \begin{aligned} R_ {k,1} &= \frac{1}{2} \left[ R_ {k-1,1} + h_ {k-1} \sum_ {i=1}^{2^{k-1}} f(a+(2i-1)h_ k) \right], \quad h_ k = \frac{b-a}{2^k} \\ R_ {k,j} &= \frac{4^{j-1} R_ {k,j-1} - R_ {k-1,j-1}}{4^{j-1} - 1}, \quad j=2,3,\dots,k \end{aligned} \] 2. 初始化计算 设 \(a=0, b=1\)，\(f(x) = \frac{4}{1+x^2}\)。 \(k=1\)（区间不划分，仅端点）： \[ R_ {1,1} = \frac{b-a}{2} [ f(a)+f(b)] = \frac{1}{2} [ f(0)+f(1)] = \frac{1}{2} \left[ 4 + 2 \right ] = 3 \] 3. 迭代计算 \(k=2\) \(h_ 2 = \frac{1}{2}\)，新增节点 \(x=0.5\)： \[ R_ {2,1} = \frac{1}{2} R_ {1,1} + h_ 2 f(0.5) = \frac{1}{2} \cdot 3 + 0.5 \cdot \frac{4}{1+0.25} = 1.5 + 0.5 \cdot 3.2 = 3.1 \] 外推 \(j=2\)： \[ R_ {2,2} = \frac{4 R_ {2,1} - R_ {1,1}}{3} = \frac{4 \cdot 3.1 - 3}{3} = \frac{12.4-3}{3} = 3.13333\ldots \] 4. 迭代计算 \(k=3\) \(h_ 3 = \frac{1}{4}\)，新增节点 \(x=0.25, 0.75\)： \[ \begin{aligned} R_ {3,1} &= \frac{1}{2} R_ {2,1} + h_ 3 [ f(0.25)+f(0.75) ] \\ &= 1.55 + 0.25 \left[ \frac{4}{1+0.0625} + \frac{4}{1+0.5625} \right ] \\ &= 1.55 + 0.25 [ 3.7647 + 2.56 ] = 1.55 + 1.581175 = 3.131176 \end{aligned} \] 外推： \[ \begin{aligned} R_ {3,2} &= \frac{4 R_ {3,1} - R_ {2,1}}{3} = \frac{12.524704 - 3.1}{3} = 3.141568 \\ R_ {3,3} &= \frac{16 R_ {3,2} - R_ {2,2}}{15} = \frac{50.265088 - 3.133333}{15} = 3.142117 \end{aligned} \] 5. 迭代计算 \(k=4\) \(h_ 4 = \frac{1}{8}\)，新增节点 \(x=0.125, 0.375, 0.625, 0.875\)： \[ \begin{aligned} R_ {4,1} &= \frac{1}{2} R_ {3,1} + h_ 4 \sum_ {\text{新增点}} f(x_ i) \\ &= 1.565588 + 0.125 [ f(0.125)+f(0.375)+f(0.625)+f(0.875) ] \\ &= 1.565588 + 0.125 [ 3.938461 + 3.2 + 2.876404 + 2.56 ] \\ &= 1.565588 + 0.125 \cdot 12.574865 = 3.138988 \end{aligned} \] 外推： \[ \begin{aligned} R_ {4,2} &= \frac{4 R_ {4,1} - R_ {3,1}}{3} = \frac{12.555952 - 3.131176}{3} = 3.141592 \\ R_ {4,3} &= \frac{16 R_ {4,2} - R_ {3,2}}{15} = \frac{50.265472 - 3.141568}{15} = 3.141594 \\ R_ {4,4} &= \frac{64 R_ {4,3} - R_ {3,3}}{63} = \frac{201.062016 - 3.142117}{63} = 3.141586 \end{aligned} \] 6. 误差分析与停止条件 精确值 \(\pi \approx 3.141592653589793\)。 比较 \(k=4\) 的外推值： \(R_ {4,4} = 3.141586\)，误差约 \(6.6 \times 10^{-6}\) \(R_ {4,2} = 3.141592\)，误差约 \(6.5 \times 10^{-7}\)（已满足 \(10^{-6}\) 精度） 因此取 \(R_ {4,2}\) 作为最终结果。 总结 ： 龙贝格积分法通过复合梯形公式的逐步细分和理查森外推，快速提升精度。本例中仅需 4 次迭代即可达到 \(10^{-6}\) 误差，显著优于直接使用梯形公式。