非等距节点插值型数值微分的高精度构造与误差分析
题目描述：
给定函数 \(f(x)\) 在节点 \(x_0, x_1, x_2\) 上的值（节点间距可任意，不要求等距），构造一个数值微分公式来近似计算 \(f'(x)\) 在 \(x_1\) 处的一阶导数，并给出其截断误差表达式。这个公式需要满足尽可能高的精度阶数，并分析节点非等距对误差的影响。
解题过程：
第一步：理解问题目标
我们已知函数在三个节点 \(x_0, x_1, x_2\) 上的函数值 \(f_0, f_1, f_2\)，节点位置满足 \(x_0 < x_1 < x_2\)，但间距 \(h_1 = x_1 - x_0\) 和 \(h_2 = x_2 - x_1\) 可以不相等。目标是构造一个公式 \(f'(x_1) \approx a f_0 + b f_1 + c f_2\)，其中系数 \(a, b, c\) 由节点位置决定，使公式在 \(x_1\) 处具有尽可能高的精度阶数，并给出误差表达式。
第二步：基于多项式插值构造数值微分公式
- 在三个节点上构造二次拉格朗日插值多项式 \(P_2(x)\)：
\[ P_2(x) = f_0 L_0(x) + f_1 L_1(x) + f_2 L_2(x) \]
其中拉格朗日基函数为：
\[ L_0(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)},\quad L_1(x) = \frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)},\quad L_2(x) = \frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}. \]
- 对 \(P_2(x)\) 求导，并在 \(x = x_1\) 处取值，得到导数近似：
\[ f'(x_1) \approx P_2'(x_1) = f_0 L_0'(x_1) + f_1 L_1'(x_1) + f_2 L_2'(x_1). \]
- 计算基函数在 \(x_1\) 处的导数：
- 对 \(L_0(x)\) 求导：
\[ L_0'(x) = \frac{(x-x_2)+(x-x_1)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}. \]
代入 $ x = x_1 $ 得：
\[ L_0'(x_1) = \frac{x_1 - x_2}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} = \frac{-h_2}{(-h_1)(-h_1-h_2)} = -\frac{h_2}{h_1(h_1+h_2)}. \]
- 对 \(L_1(x)\) 求导：
\[ L_1'(x) = \frac{(x-x_2)+(x-x_0)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}. \]
代入 $ x = x_1 $ 得：
\[ L_1'(x_1) = \frac{(x_1-x_2)+(x_1-x_0)}{h_1 (-h_2)} = \frac{-h_2 + h_1}{h_1(-h_2)} = \frac{h_1-h_2}{h_1 h_2}. \]
- 对 \(L_2(x)\) 求导：
\[ L_2'(x) = \frac{(x-x_1)+(x-x_0)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}. \]
代入 $ x = x_1 $ 得：
\[ L_2'(x_1) = \frac{(x_1-x_1)+(x_1-x_0)}{(h_1+h_2)h_2} = \frac{h_1}{h_2(h_1+h_2)}. \]
- 得到数值微分公式：
\[ f'(x_1) \approx -\frac{h_2}{h_1(h_1+h_2)} f_0 + \frac{h_1-h_2}{h_1 h_2} f_1 + \frac{h_1}{h_2(h_1+h_2)} f_2. \]
当 \(h_1 = h_2 = h\)（等距时），公式退化为经典的三点中心差分公式：
\[ f'(x_1) \approx \frac{f_2 - f_0}{2h}. \]
第三步：推导截断误差表达式
- 插值误差公式：若 \(f(x) \in C^3[x_0, x_2]\)，则插值余项为：
\[ f(x) - P_2(x) = \frac{f'''(\xi_x)}{3!} (x-x_0)(x-x_1)(x-x_2), \quad \xi_x \in (x_0, x_2). \]
- 对上式求导，并令 \(x = x_1\)：
\[ f'(x_1) - P_2'(x_1) = \frac{1}{6} \frac{d}{dx}\left[ (x-x_0)(x-x_1)(x-x_2) f'''(\xi_x) \right]_{x=x_1}. \]
注意 \(\xi_x\) 也依赖于 \(x\)，因此求导需用乘积法则。但根据数值微分误差分析的标准技巧，可固定 \(\xi = \xi_{x_1} \in (x_0, x_2)\)，将余项视为 \(f'''(\xi)\) 乘以一个函数 \(g(x) = (x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)\)，再对 \(g(x)\) 求导。因为当 \(x = x_1\) 时，\(g(x_1)=0\)，但 \(g'(x_1) \neq 0\)。
3. 计算 \(g'(x_1)\)：
\[ g'(x) = (x-x_1)(x-x_2) + (x-x_0)(x-x_2) + (x-x_0)(x-x_1). \]
代入 \(x = x_1\) 得：
\[ g'(x_1) = 0 + (h_1)(-h_2) + 0 = -h_1 h_2. \]
- 因此截断误差为：
\[ f'(x_1) - P_2'(x_1) = \frac{f'''(\xi)}{6} \cdot (-h_1 h_2) = -\frac{h_1 h_2}{6} f'''(\xi), \quad \xi \in (x_0, x_2). \]
- 误差的阶：当 \(h_1, h_2 \to 0\) 时，误差为 \(O(h^2)\)（若 \(h_1, h_2\) 同阶）。特别地，等距时 \(h_1 = h_2 = h\)，误差为 \(-\frac{h^2}{6} f'''(\xi)\)，与经典三点中心差分误差一致。
第四步：分析节点非等距的影响
- 精度阶数：无论节点是否等距，只要 \(h_1\) 和 \(h_2\) 同阶趋于零，误差均为二阶精度（\(O(h^2)\)）。
- 误差系数：误差系数 \(-\frac{h_1 h_2}{6}\) 表明，当 \(h_1\) 和 \(h_2\) 不等时，误差由两者乘积决定。若一侧间距显著大于另一侧（例如 \(h_1 \gg h_2\)），则误差主要由较小间距的平方主导，但系数可能不对称。
- 稳定性考虑：在非等距情况下，公式系数可能数量级差异大，若节点间距相差悬殊，舍入误差可能被放大（例如除小间距导致大系数）。在实际应用中，应避免节点间距比例过大，以保持数值稳定性。
总结：
我们构造了适用于非等距节点的三点数值微分公式，具有二阶精度，并给出了截断误差表达式。该公式是等距三点中心差分的推广，可用于处理不规则分布的数据点导数估计。