序列凸近似信赖域反射-自适应屏障混合算法进阶题：非凸、非光滑约束优化问题

字数 2220 2025-12-15 14:08:31

序列凸近似信赖域反射-自适应屏障混合算法进阶题：非凸、非光滑约束优化问题

题目描述
考虑如下非凸、非光滑约束优化问题：
最小化 f(x) = ∑_{i=1}^{n} log(1 + exp(a_i^T x)) + λ‖x‖₁
约束条件：c_j(x) ≤ 0, j = 1,…, m, 其中 c_j(x) 为光滑非凸函数；
h_k(x) = 0, k = 1,…, p, 其中 h_k(x) 为线性等式约束。
这里 x ∈ ℝⁿ 是决策变量，a_i ∈ ℝⁿ 是已知向量，λ > 0 是正则化参数。目标函数包含非光滑的 L1 范数正则项，约束包含非凸不等式。该问题在机器学习、信号处理中常见，但传统凸优化方法无法直接应用。你需要设计一个混合算法，结合序列凸近似（SCA）、信赖域反射（TRR）、自适应屏障（Adaptive Barrier）方法，高效求解。

解题步骤详解

步骤1：问题重构与凸近似
由于原问题非凸、非光滑，直接求解困难。首先，将目标函数分解为光滑部分 f_s(x) = ∑ log(1 + exp(a_i^T x)) 和非光滑部分 f_ns(x) = λ‖x‖₁。对非光滑项，使用邻近算子（proximal operator）处理，而约束通过序列凸近似在每步迭代中局部凸化。
具体做法：在每次迭代点 x_t，对非凸约束 c_j(x) 做一阶泰勒展开，构造凸近似约束：
c̃_j(x; x_t) = c_j(x_t) + ∇c_j(x_t)^T (x - x_t) + (ρ/2)‖x - x_t‖² ≤ 0,
其中 ρ > 0 是正则化参数，确保近似约束为强凸（从而可行集凸）。对等式约束 h_k(x)=0，因是线性，保持不变。

步骤2：构造子问题
在第 t 步迭代，求解如下凸子问题：
最小化 f_s(x) + λ‖x‖₁
约束条件：c̃_j(x; x_t) ≤ 0, j=1,…,m; h_k(x)=0, k=1,…,p.
但子问题仍含非光滑项，直接求解效率低。为此，引入自适应屏障函数将不等式约束融入目标，并利用信赖域反射框架处理非光滑性。

步骤3：自适应屏障函数转换
对每个不等式约束，定义对数屏障函数：ϕ(c) = -log(-c)，但传统屏障参数固定，可能引起数值病态。这里采用自适应屏障：将屏障参数 μ_t 与迭代误差关联，设 μ_t = η * max(‖x_t - x_{t-1}‖, ε)，η>0 为衰减系数，ε 是小正数。
转换后的屏障惩罚问题为：
最小化 Φ_t(x) = f_s(x) + λ‖x‖₁ + μ_t ∑_{j=1}^{m} ϕ(c̃_j(x; x_t))
约束条件：h_k(x)=0.
这消除了不等式约束，但屏障项使目标在边界附近急剧变化，需配合信赖域控制步长。

步骤4：信赖域反射框架
对屏障问题，在每次迭代构造信赖域子问题。定义当前点 x_t，信赖域半径 Δ_t > 0。首先计算梯度 ∇f_s(x_t) 和约束 Jacobi 矩阵。对非光滑项 λ‖x‖₁，使用邻近算子反射思想：将其转化为约束，通过投影到信赖域内的 L1 球近似。
具体地，在信赖域内求解：
最小化 m_t(d) = ∇f_s(x_t)^T d + (1/2) d^T B_t d + λ‖x_t + d‖₁ + μ_t ∑ ϕ(c̃_j(x_t+d; x_t))
约束条件：‖d‖ ≤ Δ_t, h_k(x_t+d)=0,
其中 B_t 是 f_s 的 Hessian 近似（用 BFGS 更新）。该子问题可通过分裂法求解：将光滑部分与 L1 项分离，在信赖域内做软阈值迭代。

步骤5：迭代更新与接受准则
计算实际下降量 ared_t = Φ_t(x_t) - Φ_t(x_t + d_t) 和预测下降量 pred_t = m_t(0) - m_t(d_t)。
若 ared_t/pred_t ≥ τ（如 τ=0.1），接受步长 x_{t+1} = x_t + d_t，并增大信赖域半径 Δ_{t+1} = min(2Δ_t, Δ_max)；否则拒绝步长 x_{t+1} = x_t，减小半径 Δ_{t+1} = Δ_t/2。
同时，更新屏障参数：若约束违反度下降，则 μ_{t+1} = μ_t * γ，γ∈(0,1)；否则保持 μ_{t+1} = μ_t 以防止过早收敛到不可行点。

步骤6：收敛判定
当满足以下条件时停止：

原始可行性：max{max_j c_j(x_t), 0} + ∑ |h_k(x_t)| ≤ ε_feas；
对偶残差：‖∇f_s(x_t) + ∑ λ_j ∇c_j(x_t) + ∑ ν_k ∇h_k(x_t) + ∂(λ‖x_t‖₁)‖ ≤ ε_opt，其中 λ_j, ν_k 是拉格朗日乘子估计，∂ 表示次梯度。
由于问题非凸，算法保证收敛到稳定点（KKT 点）。

算法总结
本混合算法核心思想：用序列凸近似处理非凸约束，自适应屏障控制可行性，信赖域反射管理步长和全局收敛，邻近算子处理非光滑性。每步求解凸子问题，计算量可控，且自适应参数调整提升了鲁棒性。

序列凸近似信赖域反射-自适应屏障混合算法进阶题：非凸、非光滑约束优化问题题目描述考虑如下非凸、非光滑约束优化问题：最小化 f(x) = ∑_ {i=1}^{n} log(1 + exp(a_ i^T x)) + λ‖x‖₁ 约束条件：c_ j(x) ≤ 0, j = 1,…, m, 其中 c_ j(x) 为光滑非凸函数； h_ k(x) = 0, k = 1,…, p, 其中 h_ k(x) 为线性等式约束。这里 x ∈ ℝⁿ 是决策变量，a_ i ∈ ℝⁿ 是已知向量，λ > 0 是正则化参数。目标函数包含非光滑的 L1 范数正则项，约束包含非凸不等式。该问题在机器学习、信号处理中常见，但传统凸优化方法无法直接应用。你需要设计一个混合算法，结合序列凸近似（SCA）、信赖域反射（TRR）、自适应屏障（Adaptive Barrier）方法，高效求解。解题步骤详解步骤1：问题重构与凸近似由于原问题非凸、非光滑，直接求解困难。首先，将目标函数分解为光滑部分 f_ s(x) = ∑ log(1 + exp(a_ i^T x)) 和非光滑部分 f_ ns(x) = λ‖x‖₁。对非光滑项，使用邻近算子（proximal operator）处理，而约束通过序列凸近似在每步迭代中局部凸化。具体做法：在每次迭代点 x_ t，对非凸约束 c_ j(x) 做一阶泰勒展开，构造凸近似约束： c̃_ j(x; x_ t) = c_ j(x_ t) + ∇c_ j(x_ t)^T (x - x_ t) + (ρ/2)‖x - x_ t‖² ≤ 0, 其中 ρ > 0 是正则化参数，确保近似约束为强凸（从而可行集凸）。对等式约束 h_ k(x)=0，因是线性，保持不变。步骤2：构造子问题在第 t 步迭代，求解如下凸子问题：最小化 f_ s(x) + λ‖x‖₁ 约束条件：c̃_ j(x; x_ t) ≤ 0, j=1,…,m; h_ k(x)=0, k=1,…,p. 但子问题仍含非光滑项，直接求解效率低。为此，引入自适应屏障函数将不等式约束融入目标，并利用信赖域反射框架处理非光滑性。步骤3：自适应屏障函数转换对每个不等式约束，定义对数屏障函数：ϕ(c) = -log(-c)，但传统屏障参数固定，可能引起数值病态。这里采用自适应屏障：将屏障参数 μ_ t 与迭代误差关联，设 μ_ t = η * max(‖x_ t - x_ {t-1}‖, ε)，η>0 为衰减系数，ε 是小正数。转换后的屏障惩罚问题为：最小化 Φ_ t(x) = f_ s(x) + λ‖x‖₁ + μ_ t ∑_ {j=1}^{m} ϕ(c̃_ j(x; x_ t)) 约束条件：h_ k(x)=0. 这消除了不等式约束，但屏障项使目标在边界附近急剧变化，需配合信赖域控制步长。步骤4：信赖域反射框架对屏障问题，在每次迭代构造信赖域子问题。定义当前点 x_ t，信赖域半径 Δ_ t > 0。首先计算梯度 ∇f_ s(x_ t) 和约束 Jacobi 矩阵。对非光滑项 λ‖x‖₁，使用邻近算子反射思想：将其转化为约束，通过投影到信赖域内的 L1 球近似。具体地，在信赖域内求解：最小化 m_ t(d) = ∇f_ s(x_ t)^T d + (1/2) d^T B_ t d + λ‖x_ t + d‖₁ + μ_ t ∑ ϕ(c̃_ j(x_ t+d; x_ t)) 约束条件：‖d‖ ≤ Δ_ t, h_ k(x_ t+d)=0, 其中 B_ t 是 f_ s 的 Hessian 近似（用 BFGS 更新）。该子问题可通过分裂法求解：将光滑部分与 L1 项分离，在信赖域内做软阈值迭代。步骤5：迭代更新与接受准则计算实际下降量 ared_ t = Φ_ t(x_ t) - Φ_ t(x_ t + d_ t) 和预测下降量 pred_ t = m_ t(0) - m_ t(d_ t)。若 ared_ t/pred_ t ≥ τ（如 τ=0.1），接受步长 x_ {t+1} = x_ t + d_ t，并增大信赖域半径 Δ_ {t+1} = min(2Δ_ t, Δ_ max)；否则拒绝步长 x_ {t+1} = x_ t，减小半径 Δ_ {t+1} = Δ_ t/2。同时，更新屏障参数：若约束违反度下降，则 μ_ {t+1} = μ_ t * γ，γ∈(0,1)；否则保持 μ_ {t+1} = μ_ t 以防止过早收敛到不可行点。步骤6：收敛判定当满足以下条件时停止：原始可行性：max{max_ j c_ j(x_ t), 0} + ∑ |h_ k(x_ t)| ≤ ε_ feas；对偶残差：‖∇f_ s(x_ t) + ∑ λ_ j ∇c_ j(x_ t) + ∑ ν_ k ∇h_ k(x_ t) + ∂(λ‖x_ t‖₁)‖ ≤ ε_ opt，其中 λ_ j, ν_ k 是拉格朗日乘子估计，∂ 表示次梯度。由于问题非凸，算法保证收敛到稳定点（KKT 点）。算法总结本混合算法核心思想：用序列凸近似处理非凸约束，自适应屏障控制可行性，信赖域反射管理步长和全局收敛，邻近算子处理非光滑性。每步求解凸子问题，计算量可控，且自适应参数调整提升了鲁棒性。