排序算法之：比较计数排序（Comparison Counting Sort）的稳定版本实现与进阶优化（深度解析）

题目描述

我们今天来深入探讨比较计数排序（Comparison Counting Sort） 的一个进阶版本。传统的比较计数排序是一种不基于元素比较的、非原地的稳定排序算法，其核心思想是为每个元素统计数组中比它小的元素个数，从而直接确定该元素在排序后数组中的最终位置。

进阶挑战在于：实现一个稳定的比较计数排序，并在此基础上进行优化，以减少其空间复杂度，并探讨其在某些特定场景（如具有大量重复元素的数组）下的性能优化策略。

解题过程循序渐进讲解

我将从基础原理开始，逐步深入到稳定版本的实现和优化。

第一步：理解传统比较计数排序的基本原理

比较计数排序的基本思想非常直观：

1. 统计“更小”的元素：对于数组中的每一个元素 arr[i]，遍历整个数组，统计有多少个元素 arr[j] 满足 arr[j] < arr[i]。这个计数值 count 就指明了 arr[i] 在排序后数组中的索引位置（从0开始计）。
2. 构建输出数组：创建一个与原数组等长的输出数组 output。根据第一步计算出的 count 值，将每个 arr[i] 放置到 output[count] 的位置。

基本实现（伪代码）：

function comparisonCountingSort(arr):
    n = length(arr)
    count = array of size n, initialized to 0
    output = array of size n

    // Step 1: 为每个元素计数
    for i from 0 to n-1:
        for j from 0 to n-1:
            if arr[j] < arr[i]:
                count[i] += 1
            // 注意：这里没有处理 arr[j] == arr[i] 的情况
    // Step 2: 放置元素
    for i from 0 to n-1:
        output[count[i]] = arr[i]

    return output

问题：这个基础版本是不稳定的，并且当有相等元素时，count 值可能相同，导致后放置的元素覆盖先放置的元素。

第二步：实现稳定版本的比较计数排序

为了确保排序的稳定性（即相等元素的相对顺序在排序后保持不变），我们需要修改计数规则。

关键修改：在统计“更小”元素时，不仅要统计严格小于 ( < ) 的元素，还要统计在原始数组中位于其前面且值等于 ( == ) 它的元素。这样，每个元素的位置就由“比它小的元素总数”加上“在它前面且与之相等的元素个数”共同决定。

稳定版本的步骤：

1. 初始化：创建计数数组 count 和输出数组 output，大小均为 n。
2. 稳定计数：
   • 遍历 i 从 0 到 n-1。
   • 遍历 j 从 0 到 n-1。
   • 如果 arr[j] < arr[i]，则 count[i]++。
   • 如果 arr[j] == arr[i] 且 j < i，则 count[i]++。这一步是保证稳定的核心。它确保当两个元素相等时，在原始数组中靠前的那个元素，其 count 值较小，因此在输出数组中也会被放在更靠前的位置。
3. 根据计数放置：遍历 i 从 0 到 n-1，将 arr[i] 放入 output[count[i]]。

示例：数组 [4, 2, 2, 8]

• 对于第一个 2 (索引1)：比它小的元素(无) = 0，在它前面且相等的元素(无) = 0，count=0。
• 对于第二个 2 (索引2)：比它小的元素(无) = 0，在它前面且相等的元素(第一个2) = 1，count=1。
• 最终位置：第一个2在output[0]，第二个2在output[1]，顺序得以保持。

第三步：空间复杂度优化（进阶优化一）

上述稳定版本需要 O(n) 的额外空间用于 count 数组和 output 数组。我们可以通过一种巧妙的“原地重排”技术，将空间复杂度优化到只使用 O(n) 的 count 数组，而不再需要单独的 output 数组。

优化思路：

1. 计算出 count 数组后，count[i] 表示元素 arr[i] 在排序后数组中的正确索引。
2. 我们可以利用这个信息，通过一系列交换操作，将每个元素直接移动到其正确位置。这个过程类似于圈排序（Cycle Sort） 的思想。

优化算法步骤：

1. 计算稳定的 count 数组（同上）。
2. 原地重排：
   • 遍历 i 从 0 到 n-1。
   • while count[i] != i:
     • 计算元素 arr[i] 的正确目标位置 pos = count[i]。
     • 交换 arr[i] 和 arr[pos]。
     • 同时，交换 count[i] 和 count[pos]。这是关键，因为 count[pos] 现在对应的是被交换过来的新元素 arr[i] 的正确位置信息。
     • 交换后，arr[i] 被放置到了正确位置，但被换过来的新元素（原来的 arr[pos]）现在位于索引 i，我们可能需要继续将其移动到它的正确位置，因此循环继续。
   • 当 count[i] == i 时，说明 arr[i] 已经在正确位置，处理下一个 i。

优势：节省了 O(n) 的 output 数组空间。但请注意，交换操作可能增加数据移动的次数。

第四步：针对大量重复元素的优化（进阶优化二）

当数组中有大量重复元素时，上述算法的比较次数依然是 O(n²)，因为有两层嵌套循环。我们可以结合桶排序（Bucket Sort） 或计数排序（Counting Sort） 的思想进行优化，前提是已知数据的范围（或可以映射到有限范围）。

混合优化策略：

1. 分桶：根据元素值，将数组划分到多个“桶”中。每个桶内的元素值相同（或处于一个很小的区间）。
2. 桶内保持顺序：将元素放入桶时，保持其原始顺序（例如，使用队列来维护每个桶）。
3. 计算桶的起始位置：统计每个桶中的元素数量，然后计算每个桶在最终输出数组中的起始索引（前缀和）。
4. 收集：按桶的顺序以及桶内元素的顺序，依次将元素放回原数组。

分析：

• 时间复杂度：如果数据范围是 k，分桶和收集的时间是 O(n + k)。这比 O(n²) 的原始比较计数排序要好得多，尤其当 k 远小于 n 时。
• 稳定性：由于桶内保持了插入顺序，整个排序是稳定的。
• 空间复杂度：需要 O(n + k) 的额外空间来存放桶和前缀和数组。

这实际上已经演变成了一种特殊的、稳定的、针对小范围整数的计数排序。它展示了如何将比较计数排序的思想与其他高效排序技术结合，以适应特定的数据特征。

总结

我们从不稳定的基础比较计数排序出发，通过修改计数规则（统计等于且在前面的元素）实现了稳定排序。接着，我们通过原地交换的策略优化了空间复杂度，避免了单独的 output 数组。最后，针对大量重复元素的场景，我们提出了结合分桶和前缀和的优化策略，将时间复杂度从 O(n²) 降低到 O(n + k)，这体现了根据数据特性选择或改造算法的重要性。这个深度解析过程展示了如何对一个经典算法进行逐步改进和优化。