基于自适应屏障函数的逐步凸信赖域法（Adaptive Barrier-Based Sequential Convex Trust Region Method）基础题
字数 4115 2025-12-15 10:08:26

基于自适应屏障函数的逐步凸信赖域法（Adaptive Barrier-Based Sequential Convex Trust Region Method）基础题

题目描述

考虑如下形式的非线性规划问题（NLP）：

\[\begin{aligned} \min_{x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & c_i(x) \leq 0, \quad i=1,\dots,m \\ & Ax = b, \end{aligned} \]

其中 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 是可微但非凸的目标函数，\(c_i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 是可微、非凸的不等式约束函数，\(A \in \mathbb{R}^{p \times n}, b \in \mathbb{R}^p\) 是线性等式约束。假设 \(f\) 和 \(c_i\) 的二阶导数（Hessian矩阵）在可行域附近是连续可计算的。传统方法如序列二次规划（SQP）在非凸约束下可能难以保证子问题的可行性。为此，本题引入一种自适应屏障函数，将原约束转换为一系列易于处理的凸约束近似，并利用信赖域机制控制近似精度，从而逐步逼近原问题的最优解。

要求：阐述算法的核心思想，推导迭代过程中自适应屏障函数的构造方法，说明逐步凸近似的构建步骤，并结合信赖域框架给出完整的算法流程，分析其收敛性条件。

解题过程循序渐进讲解

1. 问题难点与核心思想

  • 难点：原问题的约束 \(c_i(x) \leq 0\) 是非凸的，导致在任意点做线性化或二次近似后得到的可行域可能为空，或子问题不可行。
  • 核心思想：
    1. 引入自适应屏障函数（Adaptive Barrier Function）对每个不等式约束进行变换，使其在当前迭代点附近是凸的，从而得到局部凸近似。
    2. 利用逐步凸近似（Sequential Convex Approximation, SCA）框架，在每一步求解一个凸子问题。
    3. 引入信赖域（Trust Region）约束，限制迭代步长，保证近似的精度和子问题可行性。
    4. 根据子问题解的优劣，自适应调整屏障函数的参数，控制近似精度。

2. 自适应屏障函数的构造

对于每个非凸约束 \(c_i(x) \leq 0\)，在当前迭代点 \(x_k\) 处构造如下自适应屏障函数：

\[\hat{c}_i(x; x_k, \mu_k) = c_i(x_k) + \nabla c_i(x_k)^T (x - x_k) + \frac{1}{2\mu_k} \|x - x_k\|^2, \]

其中：

  • 第一、二项是 \(c_i\) 在 \(x_k\) 处的线性近似（一阶泰勒展开）。
  • 第三项是附加的凸二次项，其中 \(\mu_k > 0\) 是自适应参数。
  • 这个二次项系数 \(1/\mu_k\) 是正的，因此 \(\hat{c}_i\) 是凸的（实际上是一个关于 \(x\) 的凸二次函数）。

物理意义：当 \(\mu_k\) 较小时，二次项占主导，使 \(\hat{c}_i\) 在 \(x_k\) 附近很“陡峭”，近似更保守，可行域较小；当 \(\mu_k\) 较大时，二次项影响变小，近似更接近线性，可行域更大。通过调整 \(\mu_k\)，可以平衡近似精度和子问题可行性。

3. 逐步凸近似的子问题构建

在第 \(k\) 步迭代，我们构造如下凸优化子问题：

\[\begin{aligned} \min_{d \in \mathbb{R}^n} \quad & \hat{f}_k(d) = f(x_k) + \nabla f(x_k)^T d + \frac{1}{2} d^T B_k d \\ \text{s.t.} \quad & \hat{c}_i(x_k + d; x_k, \mu_k) \leq 0, \quad i=1,\dots,m \\ & A(x_k + d) = b, \\ & \|d\| \leq \Delta_k, \end{aligned} \]

其中：

  • \(d = x - x_k\) 是搜索方向。
  • \(B_k\) 是目标函数 Hessian \(\nabla^2 f(x_k)\) 的一个对称正定近似（若 \(\nabla^2 f\) 非正定，可用拟牛顿法如 BFGS 得到 \(B_k\) 保证凸性）。
  • \(\hat{c}_i\) 如上定义，是凸的。
  • 线性等式约束 \(Ax = b\) 直接保留，因为它们是凸的。
  • \(\|d\| \leq \Delta_k\) 是信赖域约束，\(\Delta_k > 0\) 是信赖域半径，控制步长大小，保证 \(x_k + d\) 不远离 \(x_k\)，从而使凸近似有效。

子问题的凸性保证：由于目标函数二次项 \(B_k\) 正定，约束 \(\hat{c}_i\) 凸且二次，等式约束线性，信赖域是凸集（球），因此整个子问题是凸优化问题，可用内点法、有效集法等高效求解。

4. 自适应参数更新与信赖域调整

定义实际改进（Actual Reduction）与预测改进（Predicted Reduction）：

\[\text{Are}_k = f(x_k) - f(x_k + d_k), \quad \text{Pre}_k = \hat{f}_k(0) - \hat{f}_k(d_k). \]

计算比值 \(\rho_k = \text{Are}_k / \text{Pre}_k\)。

  • 如果 \(\rho_k\) 接近 1（如 \(\rho_k > 0.75\)），说明近似模型很好，可以接受步长 \(d_k\)，并增大信赖域半径和减小屏障参数以提升近似精度：

\[ x_{k+1} = x_k + d_k, \quad \Delta_{k+1} = \min(2\Delta_k, \Delta_{\max}), \quad \mu_{k+1} = \mu_k / \gamma_1 \ (\gamma_1 > 1). \]

  • 如果 \(\rho_k\) 中等（如 \(0.25 \leq \rho_k \leq 0.75\)），接受步长但保持半径和屏障参数不变。
  • 如果 \(\rho_k\) 很小（如 \(\rho_k < 0.25\)），说明近似较差，拒绝步长，缩小信赖域并增大屏障参数以使近似更保守、可行域更大：

\[ x_{k+1} = x_k, \quad \Delta_{k+1} = \Delta_k / 2, \quad \mu_{k+1} = \mu_k \cdot \gamma_2 \ (\gamma_2 > 1). \]

5. 完整算法流程

  1. 初始化：给定初始点 \(x_0\)（需满足 \(Ax_0 = b\)，可松弛处理），初始信赖域半径 \(\Delta_0 > 0\)，初始屏障参数 \(\mu_0 > 0\)，常数 \(0 < \eta_1 < \eta_2 < 1\)（如 \(\eta_1=0.25, \eta_2=0.75\)），\(\gamma_1 > 1, \gamma_2 > 1\)，容忍误差 \(\epsilon > 0\)，置 \(k=0\)。
  2. 循环直到收敛（如 \(\|d_k\| < \epsilon\) 且约束违反度很小）：
    a. 构建凸子问题：计算梯度 \(\nabla f(x_k)\), \(\nabla c_i(x_k)\)，构造 \(B_k\)（如 BFGS 更新），形成子问题。
    b. 求解子问题：得到搜索方向 \(d_k\)。
    c. 计算比值 \(\rho_k\)。
    d. 更新迭代点：
    • 若 \(\rho_k > \eta_1\)，接受步长：\(x_{k+1} = x_k + d_k\)。
    • 否则，拒绝步长：\(x_{k+1} = x_k\)。
      e. 自适应调整：
    • 若 \(\rho_k > \eta_2\)，则 \(\Delta_{k+1} = \min(2\Delta_k, \Delta_{\max})\)，\(\mu_{k+1} = \mu_k / \gamma_1\)。
    • 若 \(\eta_1 \leq \rho_k \leq \eta_2\)，则 \(\Delta_{k+1} = \Delta_k\)，\(\mu_{k+1} = \mu_k\)。
    • 若 \(\rho_k < \eta_1\)，则 \(\Delta_{k+1} = \Delta_k / 2\)，\(\mu_{k+1} = \mu_k \cdot \gamma_2\)。
      f. 更新 \(k = k+1\)。

6. 收敛性分析

  • 在适当条件下（如 \(f, c_i\) 连续可微且有下界，梯度 Lipschitz 连续，子问题始终可行），算法可保证：
    • 每次迭代至少是可行的（由于屏障函数和信赖域控制）。
    • 当 \(k \to \infty\) 时，若 \(\mu_k \to 0\) 且 \(\Delta_k\) 不趋于零，则极限点满足一阶必要条件（KKT 条件）。
  • 关键点：屏障参数 \(\mu_k\) 的调整需使近似误差可控，信赖域机制保证全局收敛（避免 Maratos 效应）。

总结：该方法通过自适应屏障函数将非凸约束局部凸化，结合信赖域控制步长，形成一系列凸子问题。其优势是能处理非凸约束，保证子问题可行性，且参数自适应调整平衡了精度与效率。适用于目标函数和约束非凸但光滑的工程优化问题。

基于自适应屏障函数的逐步凸信赖域法（Adaptive Barrier-Based Sequential Convex Trust Region Method）基础题 题目描述 考虑如下形式的非线性规划问题（NLP）： \[ \begin{aligned} \min_ {x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & c_ i(x) \leq 0, \quad i=1,\dots,m \\ & Ax = b, \end{aligned} \] 其中 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 是可微但非凸的目标函数，\(c_ i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 是可微、非凸的不等式约束函数，\(A \in \mathbb{R}^{p \times n}, b \in \mathbb{R}^p\) 是线性等式约束。假设 \(f\) 和 \(c_ i\) 的二阶导数（Hessian矩阵）在可行域附近是连续可计算的。传统方法如序列二次规划（SQP）在非凸约束下可能难以保证子问题的可行性。为此，本题引入一种 自适应屏障函数 ，将原约束转换为一系列易于处理的凸约束近似，并利用信赖域机制控制近似精度，从而逐步逼近原问题的最优解。 要求 ：阐述算法的核心思想，推导迭代过程中自适应屏障函数的构造方法，说明逐步凸近似的构建步骤，并结合信赖域框架给出完整的算法流程，分析其收敛性条件。 解题过程循序渐进讲解 1. 问题难点与核心思想 难点 ：原问题的约束 \(c_ i(x) \leq 0\) 是非凸的，导致在任意点做线性化或二次近似后得到的可行域可能为空，或子问题不可行。 核心思想 ： 引入 自适应屏障函数 （Adaptive Barrier Function）对每个不等式约束进行变换，使其在当前迭代点附近是凸的，从而得到局部凸近似。 利用 逐步凸近似 （Sequential Convex Approximation, SCA）框架，在每一步求解一个凸子问题。 引入 信赖域 （Trust Region）约束，限制迭代步长，保证近似的精度和子问题可行性。 根据子问题解的优劣，自适应调整屏障函数的参数，控制近似精度。 2. 自适应屏障函数的构造 对于每个非凸约束 \(c_ i(x) \leq 0\)，在当前迭代点 \(x_ k\) 处构造如下自适应屏障函数： \[ \hat{c}_ i(x; x_ k, \mu_ k) = c_ i(x_ k) + \nabla c_ i(x_ k)^T (x - x_ k) + \frac{1}{2\mu_ k} \|x - x_ k\|^2, \] 其中： 第一、二项是 \(c_ i\) 在 \(x_ k\) 处的线性近似（一阶泰勒展开）。 第三项是附加的凸二次项，其中 \(\mu_ k > 0\) 是自适应参数。 这个二次项系数 \(1/\mu_ k\) 是正的，因此 \(\hat{c}_ i\) 是凸的（实际上是一个关于 \(x\) 的凸二次函数）。 物理意义 ：当 \(\mu_ k\) 较小时，二次项占主导，使 \(\hat{c}_ i\) 在 \(x_ k\) 附近很“陡峭”，近似更保守，可行域较小；当 \(\mu_ k\) 较大时，二次项影响变小，近似更接近线性，可行域更大。通过调整 \(\mu_ k\)，可以平衡近似精度和子问题可行性。 3. 逐步凸近似的子问题构建 在第 \(k\) 步迭代，我们构造如下凸优化子问题： \[ \begin{aligned} \min_ {d \in \mathbb{R}^n} \quad & \hat{f}_ k(d) = f(x_ k) + \nabla f(x_ k)^T d + \frac{1}{2} d^T B_ k d \\ \text{s.t.} \quad & \hat{c}_ i(x_ k + d; x_ k, \mu_ k) \leq 0, \quad i=1,\dots,m \\ & A(x_ k + d) = b, \\ & \|d\| \leq \Delta_ k, \end{aligned} \] 其中： \(d = x - x_ k\) 是搜索方向。 \(B_ k\) 是目标函数 Hessian \(\nabla^2 f(x_ k)\) 的一个对称正定近似（若 \(\nabla^2 f\) 非正定，可用拟牛顿法如 BFGS 得到 \(B_ k\) 保证凸性）。 \(\hat{c}_ i\) 如上定义，是凸的。 线性等式约束 \(Ax = b\) 直接保留，因为它们是凸的。 \(\|d\| \leq \Delta_ k\) 是信赖域约束，\(\Delta_ k > 0\) 是信赖域半径，控制步长大小，保证 \(x_ k + d\) 不远离 \(x_ k\)，从而使凸近似有效。 子问题的凸性保证 ：由于目标函数二次项 \(B_ k\) 正定，约束 \(\hat{c}_ i\) 凸且二次，等式约束线性，信赖域是凸集（球），因此整个子问题是凸优化问题，可用内点法、有效集法等高效求解。 4. 自适应参数更新与信赖域调整 定义 实际改进 （Actual Reduction）与 预测改进 （Predicted Reduction）： \[ \text{Are}_ k = f(x_ k) - f(x_ k + d_ k), \quad \text{Pre}_ k = \hat{f}_ k(0) - \hat{f}_ k(d_ k). \] 计算比值 \(\rho_ k = \text{Are}_ k / \text{Pre}_ k\)。 如果 \(\rho_ k\) 接近 1（如 \(\rho_ k > 0.75\)），说明近似模型很好，可以接受步长 \(d_ k\)，并增大信赖域半径和减小屏障参数以提升近似精度： \[ x_ {k+1} = x_ k + d_ k, \quad \Delta_ {k+1} = \min(2\Delta_ k, \Delta_ {\max}), \quad \mu_ {k+1} = \mu_ k / \gamma_ 1 \ (\gamma_ 1 > 1). \] 如果 \(\rho_ k\) 中等（如 \(0.25 \leq \rho_ k \leq 0.75\)），接受步长但保持半径和屏障参数不变。 如果 \(\rho_ k\) 很小（如 \(\rho_ k < 0.25\)），说明近似较差，拒绝步长，缩小信赖域并增大屏障参数以使近似更保守、可行域更大： \[ x_ {k+1} = x_ k, \quad \Delta_ {k+1} = \Delta_ k / 2, \quad \mu_ {k+1} = \mu_ k \cdot \gamma_ 2 \ (\gamma_ 2 > 1). \] 5. 完整算法流程 初始化 ：给定初始点 \(x_ 0\)（需满足 \(Ax_ 0 = b\)，可松弛处理），初始信赖域半径 \(\Delta_ 0 > 0\)，初始屏障参数 \(\mu_ 0 > 0\)，常数 \(0 < \eta_ 1 < \eta_ 2 < 1\)（如 \(\eta_ 1=0.25, \eta_ 2=0.75\)），\(\gamma_ 1 > 1, \gamma_ 2 > 1\)，容忍误差 \(\epsilon > 0\)，置 \(k=0\)。 循环直到收敛 （如 \(\|d_ k\| < \epsilon\) 且约束违反度很小）： a. 构建凸子问题：计算梯度 \(\nabla f(x_ k)\), \(\nabla c_ i(x_ k)\)，构造 \(B_ k\)（如 BFGS 更新），形成子问题。 b. 求解子问题：得到搜索方向 \(d_ k\)。 c. 计算比值 \(\rho_ k\)。 d. 更新迭代点： 若 \(\rho_ k > \eta_ 1\)，接受步长：\(x_ {k+1} = x_ k + d_ k\)。 否则，拒绝步长：\(x_ {k+1} = x_ k\)。 e. 自适应调整： 若 \(\rho_ k > \eta_ 2\)，则 \(\Delta_ {k+1} = \min(2\Delta_ k, \Delta_ {\max})\)，\(\mu_ {k+1} = \mu_ k / \gamma_ 1\)。 若 \(\eta_ 1 \leq \rho_ k \leq \eta_ 2\)，则 \(\Delta_ {k+1} = \Delta_ k\)，\(\mu_ {k+1} = \mu_ k\)。 若 \(\rho_ k < \eta_ 1\)，则 \(\Delta_ {k+1} = \Delta_ k / 2\)，\(\mu_ {k+1} = \mu_ k \cdot \gamma_ 2\)。 f. 更新 \(k = k+1\)。 6. 收敛性分析 在适当条件下（如 \(f, c_ i\) 连续可微且有下界，梯度 Lipschitz 连续，子问题始终可行），算法可保证： 每次迭代至少是可行的（由于屏障函数和信赖域控制）。 当 \(k \to \infty\) 时，若 \(\mu_ k \to 0\) 且 \(\Delta_ k\) 不趋于零，则极限点满足一阶必要条件（KKT 条件）。 关键点：屏障参数 \(\mu_ k\) 的调整需使近似误差可控，信赖域机制保证全局收敛（避免 Maratos 效应）。 总结 ：该方法通过自适应屏障函数将非凸约束局部凸化，结合信赖域控制步长，形成一系列凸子问题。其优势是能处理非凸约束，保证子问题可行性，且参数自适应调整平衡了精度与效率。适用于目标函数和约束非凸但光滑的工程优化问题。