非线性规划中的序列凸近似信赖域反射混合算法进阶题：带有非光滑目标与凸约束的优化问题
字数 4544 2025-12-15 09:45:56

非线性规划中的序列凸近似信赖域反射混合算法进阶题：带有非光滑目标与凸约束的优化问题

题目描述

考虑如下约束非线性规划问题：

min f(x)
s.t. g_i(x) ≤ 0, i = 1, ..., m
其中，决策变量 x ∈ R^n。目标函数 f(x) 是非光滑的（例如，是分段光滑函数、最大值函数或包含L1范数项），约束函数 g_i(x) 是连续可微的凸函数。我们要求解此问题，并确保算法在非光滑情况下仍能有效收敛。

本题将讲解如何结合“序列凸近似”(Sequential Convex Approximation, SCA)、“信赖域”(Trust Region)和“反射”(Reflective)策略，设计一个混合算法来处理这种带有非光滑目标和凸约束的优化问题。算法的核心思想是：在每一步，用凸函数在局部逼近非光滑目标函数，构建一个带凸约束的信赖域子问题，并利用反射技术处理迭代点可能靠近或越出信赖域边界的情况，以保证子问题的可行性并促进收敛。

解题过程讲解

1. 问题分析与算法框架

我们的目标是解决 min f(x)，其中 f 非光滑，g_i 凸且光滑。直接应用基于梯度的优化方法（如SQP）会遇到困难，因为f的梯度在非光滑点可能不存在或难以计算。

  • 基本思路：
    1. 序列凸近似(SCA)：在当前迭代点 x_k 处，构造一个凸函数 f̃_k(x) 来近似原非光滑目标函数 f(x)。这个近似函数需要在 x_k 处是 f 的一个“上界”或至少是“局部一致近似”，并且其本身应该是凸的、可微的（或可处理其次梯度），以便于求解子问题。
    2. 信赖域(Trust Region)：为了控制近似的精度和步长的有效性，我们定义一个信赖域半径 Δ_k > 0，要求子问题的解落在以 x_k 为中心、半径为 Δ_k 的球内：||x - x_k|| ≤ Δ_k。
    3. 反射(Reflective)策略：在求解子问题时，如果试探步导致迭代点违反信赖域边界，我们不是简单地截断，而是可能将点“反射”回可行域内，这有助于探索边界附近的区域，并可能带来更好的收敛性质，尤其是在处理约束时。
    4. 混合迭代：求解由SCA近似的目标、原凸约束和信赖域约束构成的子问题，得到试探步。然后，通过比较实际目标下降量与预测下降量，决定是否接受该步长，并更新信赖域半径和迭代点。

2. 构造序列凸近似（SCA）模型

对于非光滑函数 f(x)，有多种构造凸近似的方法。一个常见且通用的策略是利用其邻近算子或Moreau包络，但更直接的方法是使用其“凸上界”或“代理函数”。

  • 以L1范数为例：如果 f(x) = h(x) + λ||x||1，其中 h(x) 光滑，λ > 0。L1范数是非光滑的。在点 x_k 处，我们可以利用不等式 |t| ≥ |x_k| + sgn(x_k)(t - x_k) 对于 t 在 x_k 附近（当 x_k ≠ 0）不成立，但我们可以用其凸替代。一种常用方法是使用“线性化”：令 f̃_k(x) = h(x) + λ Σ_i ( |x{k,i}| + sgn(x_{k,i})(x_i - x_{k,i}) )，但这不是凸的？实际上，对于固定的 sgn(x_{k,i})，这是线性的，因而是凸的。更精确地，我们可以构造一个可分离的凸二次上界或利用L1范数的次梯度。
  • 通用构造：设 f(x) 是 Lipschitz 连续的。在 x_k 处，选取 f 在 x_k 处的一个次梯度（如果存在）或一个广义梯度 ξ_k ∈ ∂f(x_k)。然后，构造凸近似：
    f̃_k(x) = f(x_k) + ξ_k^T (x - x_k) + (μ/2) ||x - x_k||^2
    其中 μ > 0 是一个正则化参数。这是一个强凸函数，它一阶逼近 f 在 x_k 处（如果ξ_k是次梯度，则 f(x) ≥ f(x_k) + ξ_k^T (x - x_k) 不一定全局成立，但加上二次项后，在局部可以控制逼近误差）。如果 f 本身是凸的，且 ξ_k 是次梯度，则 f(x) ≥ f(x_k) + ξ_k^T (x - x_k)，所以 f̃_k(x) 是 f(x) 的一个上界加上一个阻尼项。

在本算法中，我们要求 f̃_k(x) 是凸的，并且在 x_k 处与 f 的函数值相等：f̃_k(x_k) = f(x_k)。通常，我们可以取 f̃_k(x) = f(x_k) + ⟨ξ_k, x - x_k⟩ + (1/(2τ)) ||x - x_k||^2，其中 τ > 0 控制步长/近似程度。

3. 构建带信赖域和反射的子问题

在第k次迭代，给定当前点 x_k，信赖域半径 Δ_k，我们构建如下子问题：

min f̃_k(x)
s.t. g_i(x) ≤ 0, i = 1, ..., m
||x - x_k|| ≤ Δ_k

由于 f̃_k 是凸的（例如强凸二次），g_i 是凸的，信赖域约束是凸集（球），所以这个子问题是一个凸优化问题，理论上可以用内点法、投影梯度法等有效求解。

  • 反射策略的融入：标准的信赖域方法在求解子问题后，会得到试探点 x_k^+。如果 x_k^+ 严格在信赖域内（||x_k^+ - x_k|| < Δ_k），则直接作为候选点。如果它落在边界上（即等于 Δ_k），传统方法就接受它。但这里，我们可以引入“反射”思想：当子问题的解落在信赖域边界时，我们可能不是简单地停在边界，而是考虑沿着从 x_k 到 x_k^+ 的方向，在边界处做一个“反射”，得到一个扩展的试探点 x_k^{ref} = x_k + 2*(x_k^+ - x_k) = 2x_k^+ - x_k（这相当于以边界为“镜面”反射）。但注意，x_k^{ref} 可能违反信赖域约束（其范数可能 > Δ_k），也可能违反原约束 g_i(x) ≤ 0。因此，反射策略需要谨慎结合：
    一种实用的方法是：在求解子问题时，不仅求解满足信赖域约束的 minimizer，还可以考虑在信赖域边界上沿某些方向（如负梯度方向在约束边界切空间的投影）进行一维搜索或反射步，以获得一个可能带来更大实际下降的候选点。然而，这会使子问题复杂化。
    更简单的实现是：在得到子问题的解 x_k^+ 后，我们计算一个“反射试探点” x_k^{ref} = x_k + η*(x_k^+ - x_k)，其中 η > 1 是一个反射系数（例如 η=1.5 或 2）。然后，将 x_k^{ref} 投影到信赖域内和可行域的交集上（或只投影到信赖域内），得到候选点 x_k^{cand}。这个投影步本身可以看作一个约束优化子问题，但可以简化，比如先截断到信赖域：如果 ||x_k^{ref} - x_k|| > Δ_k，则令 x_k^{cand} = x_k + (Δ_k / ||x_k^{ref} - x_k||)*(x_k^{ref} - x_k)；然后再处理凸约束 g_i(x) ≤ 0，可能需要进行可行性修正。

在实际算法中，反射步骤通常用于处理边界点，以探索边界外的区域，可能加快收敛。但为了简化，以下我们主要聚焦于核心的SCA-信赖域步骤，反射作为一个可选扩展。

4. 迭代步骤与接受准则

给定当前点 x_k 和信赖域半径 Δ_k：

  1. 构建子问题：如步骤3，构造凸近似 f̃_k 和信赖域子问题。
  2. 求解子问题：求解该凸优化问题，得到解 x_k^+。如果加入反射策略，则基于 x_k^+ 计算候选点 x_k^{cand}（否则 x_k^{cand} = x_k^+）。
  3. 计算实际下降与预测下降：
    • 实际下降：Ared_k = f(x_k) - f(x_k^{cand})
    • 预测下降：Pred_k = f̃_k(x_k) - f̃_k(x_k^{cand}) （注意 f̃_k(x_k) = f(x_k)）
      由于 f̃_k 是 f 的凸近似，我们期望 Pred_k 是 Ared_k 的一个估计。
  4. 计算比值：r_k = Ared_k / Pred_k
  5. 更新迭代点和信赖域半径：
    • 如果 r_k ≥ η1（例如 η1=0.1），说明近似较好，实际下降可观，接受步长：x_{k+1} = x_k^{cand}。
    • 否则，拒绝步长：x_{k+1} = x_k。
    • 更新信赖域半径 Δ_{k+1}：
      • 如果 r_k ≥ η2（例如 η2=0.75），表明近似非常好，可以扩大信赖域：Δ_{k+1} = γ1 * Δ_k, γ1 > 1（如 γ1=2）。
      • 如果 η1 ≤ r_k < η2，保持信赖域半径：Δ_{k+1} = Δ_k。
      • 如果 r_k < η1，说明近似差，需要缩小信赖域：Δ_{k+1} = γ2 * Δ_k, 0 < γ2 < 1（如 γ2=0.5）。
  6. 检查终止条件：例如，当信赖域半径 Δ_k 小于某个阈值 ε，或连续多次迭代目标函数变化很小，或达到最大迭代次数时停止。

5. 收敛性考虑

  • SCA近似的性质：要求构造的凸近似 f̃_k 是 f 的一致近似，至少在极限意义上，当 x → x_k 时，f̃_k(x) → f(x) 且次梯度（或梯度）也收敛。对于前面给出的基于次梯度的二次近似，如果 f 是 Lipschitz 连续且正则化参数 μ 选择适当，可以保证在迭代过程中，近似误差可控。
  • 信赖域机制：确保步长受限，防止在近似差的区域大步前进。通过比值 r_k 控制近似质量，自适应调整信赖域半径，保证最终算法能收敛到一个稳定点（对于非光滑问题，通常是 Clarke 稳定点或临界点）。
  • 反射策略的作用：反射步可以帮助算法沿着约束边界“滑动”，可能更有效地处理 active constraints，但需要确保不破坏收敛性。通常，反射步需要满足一定的下降条件（如充分下降条件）才会被接受。

6. 算法总结与特点

本混合算法（SCA-Trust Region-Reflective）结合了三种技术的优点：

  1. SCA 将非光滑问题转化为一系列凸子问题，使每步求解更可行。
  2. 信赖域 通过半径自适应，控制步长和近似精度，增强算法的鲁棒性和全局收敛性。
  3. 反射 策略（可选）有助于在约束边界附近更有效地探索，可能加快收敛速度。

该算法适用于目标函数非光滑但约束为凸的优化问题。在每一步，需要求解一个凸优化子问题（可能带有球约束），这通常比直接处理非光滑问题更简单。算法通过信赖域机制保证收敛，而反射步骤可以作为加速技巧。

注意事项：

  • 实际实现中，子问题的求解精度需要平衡，通常不需要精确解，一个足够好的近似解即可。
  • 对于非凸约束，本框架不直接适用，需要更复杂的处理（如序列凸约束近似）。
  • 初始点 x0 和初始信赖域半径 Δ0 的选择会影响算法性能。
非线性规划中的序列凸近似信赖域反射混合算法进阶题：带有非光滑目标与凸约束的优化问题 题目描述 考虑如下约束非线性规划问题： min f(x) s.t. g_ i(x) ≤ 0, i = 1, ..., m 其中，决策变量 x ∈ R^n。目标函数 f(x) 是非光滑的（例如，是分段光滑函数、最大值函数或包含L1范数项），约束函数 g_ i(x) 是连续可微的凸函数。我们要求解此问题，并确保算法在非光滑情况下仍能有效收敛。 本题将讲解如何结合“序列凸近似”(Sequential Convex Approximation, SCA)、“信赖域”(Trust Region)和“反射”(Reflective)策略，设计一个混合算法来处理这种带有非光滑目标和凸约束的优化问题。算法的核心思想是：在每一步，用凸函数在局部逼近非光滑目标函数，构建一个带凸约束的信赖域子问题，并利用反射技术处理迭代点可能靠近或越出信赖域边界的情况，以保证子问题的可行性并促进收敛。 解题过程讲解 1. 问题分析与算法框架 我们的目标是解决 min f(x)，其中 f 非光滑，g_ i 凸且光滑。直接应用基于梯度的优化方法（如SQP）会遇到困难，因为f的梯度在非光滑点可能不存在或难以计算。 基本思路 ： 序列凸近似(SCA) ：在当前迭代点 x_ k 处，构造一个凸函数 f̃_ k(x) 来近似原非光滑目标函数 f(x)。这个近似函数需要在 x_ k 处是 f 的一个“上界”或至少是“局部一致近似”，并且其本身应该是凸的、可微的（或可处理其次梯度），以便于求解子问题。 信赖域(Trust Region) ：为了控制近似的精度和步长的有效性，我们定义一个信赖域半径 Δ_ k > 0，要求子问题的解落在以 x_ k 为中心、半径为 Δ_ k 的球内：||x - x_ k|| ≤ Δ_ k。 反射(Reflective)策略 ：在求解子问题时，如果试探步导致迭代点违反信赖域边界，我们不是简单地截断，而是可能将点“反射”回可行域内，这有助于探索边界附近的区域，并可能带来更好的收敛性质，尤其是在处理约束时。 混合迭代 ：求解由SCA近似的目标、原凸约束和信赖域约束构成的子问题，得到试探步。然后，通过比较实际目标下降量与预测下降量，决定是否接受该步长，并更新信赖域半径和迭代点。 2. 构造序列凸近似（SCA）模型 对于非光滑函数 f(x)，有多种构造凸近似的方法。一个常见且通用的策略是利用其邻近算子或Moreau包络，但更直接的方法是使用其“凸上界”或“代理函数”。 以L1范数为例 ：如果 f(x) = h(x) + λ||x|| 1，其中 h(x) 光滑，λ > 0。L1范数是非光滑的。在点 x_ k 处，我们可以利用不等式 |t| ≥ |x_ k| + sgn(x_ k)(t - x_ k) 对于 t 在 x_ k 附近（当 x_ k ≠ 0）不成立，但我们可以用其凸替代。一种常用方法是使用“线性化”：令 f̃_ k(x) = h(x) + λ Σ_ i ( |x {k,i}| + sgn(x_ {k,i})(x_ i - x_ {k,i}) )，但这不是凸的？实际上，对于固定的 sgn(x_ {k,i})，这是线性的，因而是凸的。更精确地，我们可以构造一个可分离的凸二次上界或利用L1范数的次梯度。 通用构造 ：设 f(x) 是 Lipschitz 连续的。在 x_ k 处，选取 f 在 x_ k 处的一个次梯度（如果存在）或一个广义梯度 ξ_ k ∈ ∂f(x_ k)。然后，构造凸近似： f̃_ k(x) = f(x_ k) + ξ_ k^T (x - x_ k) + (μ/2) ||x - x_ k||^2 其中 μ > 0 是一个正则化参数。这是一个强凸函数，它一阶逼近 f 在 x_ k 处（如果ξ_ k是次梯度，则 f(x) ≥ f(x_ k) + ξ_ k^T (x - x_ k) 不一定全局成立，但加上二次项后，在局部可以控制逼近误差）。如果 f 本身是凸的，且 ξ_ k 是次梯度，则 f(x) ≥ f(x_ k) + ξ_ k^T (x - x_ k)，所以 f̃_ k(x) 是 f(x) 的一个上界加上一个阻尼项。 在本算法中，我们要求 f̃_ k(x) 是凸的，并且在 x_ k 处与 f 的函数值相等：f̃_ k(x_ k) = f(x_ k)。通常，我们可以取 f̃_ k(x) = f(x_ k) + ⟨ξ_ k, x - x_ k⟩ + (1/(2τ)) ||x - x_ k||^2，其中 τ > 0 控制步长/近似程度。 3. 构建带信赖域和反射的子问题 在第k次迭代，给定当前点 x_ k，信赖域半径 Δ_ k，我们构建如下子问题： min f̃_ k(x) s.t. g_ i(x) ≤ 0, i = 1, ..., m ||x - x_ k|| ≤ Δ_ k 由于 f̃_ k 是凸的（例如强凸二次），g_ i 是凸的，信赖域约束是凸集（球），所以这个子问题是一个凸优化问题，理论上可以用内点法、投影梯度法等有效求解。 反射策略的融入 ：标准的信赖域方法在求解子问题后，会得到试探点 x_ k^+。如果 x_ k^+ 严格在信赖域内（||x_ k^+ - x_ k|| < Δ_ k），则直接作为候选点。如果它落在边界上（即等于 Δ_ k），传统方法就接受它。但这里，我们可以引入“反射”思想：当子问题的解落在信赖域边界时，我们可能不是简单地停在边界，而是考虑沿着从 x_ k 到 x_ k^+ 的方向，在边界处做一个“反射”，得到一个扩展的试探点 x_ k^{ref} = x_ k + 2* (x_ k^+ - x_ k) = 2x_ k^+ - x_ k（这相当于以边界为“镜面”反射）。但注意，x_ k^{ref} 可能违反信赖域约束（其范数可能 > Δ_ k），也可能违反原约束 g_ i(x) ≤ 0。因此，反射策略需要谨慎结合： 一种实用的方法是：在求解子问题时，不仅求解满足信赖域约束的 minimizer，还可以考虑在信赖域边界上沿某些方向（如负梯度方向在约束边界切空间的投影）进行一维搜索或反射步，以获得一个可能带来更大实际下降的候选点。然而，这会使子问题复杂化。 更简单的实现是：在得到子问题的解 x_ k^+ 后，我们计算一个“反射试探点” x_ k^{ref} = x_ k + η* (x_ k^+ - x_ k)，其中 η > 1 是一个反射系数（例如 η=1.5 或 2）。然后，将 x_ k^{ref} 投影到信赖域内和可行域的交集上（或只投影到信赖域内），得到候选点 x_ k^{cand}。这个投影步本身可以看作一个约束优化子问题，但可以简化，比如先截断到信赖域：如果 ||x_ k^{ref} - x_ k|| > Δ_ k，则令 x_ k^{cand} = x_ k + (Δ_ k / ||x_ k^{ref} - x_ k||)* (x_ k^{ref} - x_ k)；然后再处理凸约束 g_ i(x) ≤ 0，可能需要进行可行性修正。 在实际算法中，反射步骤通常用于处理边界点，以探索边界外的区域，可能加快收敛。但为了简化，以下我们主要聚焦于核心的SCA-信赖域步骤，反射作为一个可选扩展。 4. 迭代步骤与接受准则 给定当前点 x_ k 和信赖域半径 Δ_ k： 构建子问题 ：如步骤3，构造凸近似 f̃_ k 和信赖域子问题。 求解子问题 ：求解该凸优化问题，得到解 x_ k^+。如果加入反射策略，则基于 x_ k^+ 计算候选点 x_ k^{cand}（否则 x_ k^{cand} = x_ k^+）。 计算实际下降与预测下降 ： 实际下降：Ared_ k = f(x_ k) - f(x_ k^{cand}) 预测下降：Pred_ k = f̃_ k(x_ k) - f̃_ k(x_ k^{cand}) （注意 f̃_ k(x_ k) = f(x_ k)） 由于 f̃_ k 是 f 的凸近似，我们期望 Pred_ k 是 Ared_ k 的一个估计。 计算比值 ：r_ k = Ared_ k / Pred_ k 更新迭代点和信赖域半径 ： 如果 r_ k ≥ η1（例如 η1=0.1），说明近似较好，实际下降可观，接受步长：x_ {k+1} = x_ k^{cand}。 否则，拒绝步长：x_ {k+1} = x_ k。 更新信赖域半径 Δ_ {k+1}： 如果 r_ k ≥ η2（例如 η2=0.75），表明近似非常好，可以扩大信赖域：Δ_ {k+1} = γ1 * Δ_ k, γ1 > 1（如 γ1=2）。 如果 η1 ≤ r_ k < η2，保持信赖域半径：Δ_ {k+1} = Δ_ k。 如果 r_ k < η1，说明近似差，需要缩小信赖域：Δ_ {k+1} = γ2 * Δ_ k, 0 < γ2 < 1（如 γ2=0.5）。 检查终止条件 ：例如，当信赖域半径 Δ_ k 小于某个阈值 ε，或连续多次迭代目标函数变化很小，或达到最大迭代次数时停止。 5. 收敛性考虑 SCA近似的性质 ：要求构造的凸近似 f̃_ k 是 f 的一致近似，至少在极限意义上，当 x → x_ k 时，f̃_ k(x) → f(x) 且次梯度（或梯度）也收敛。对于前面给出的基于次梯度的二次近似，如果 f 是 Lipschitz 连续且正则化参数 μ 选择适当，可以保证在迭代过程中，近似误差可控。 信赖域机制 ：确保步长受限，防止在近似差的区域大步前进。通过比值 r_ k 控制近似质量，自适应调整信赖域半径，保证最终算法能收敛到一个稳定点（对于非光滑问题，通常是 Clarke 稳定点或临界点）。 反射策略的作用 ：反射步可以帮助算法沿着约束边界“滑动”，可能更有效地处理 active constraints，但需要确保不破坏收敛性。通常，反射步需要满足一定的下降条件（如充分下降条件）才会被接受。 6. 算法总结与特点 本混合算法（SCA-Trust Region-Reflective）结合了三种技术的优点： SCA 将非光滑问题转化为一系列凸子问题，使每步求解更可行。 信赖域 通过半径自适应，控制步长和近似精度，增强算法的鲁棒性和全局收敛性。 反射 策略（可选）有助于在约束边界附近更有效地探索，可能加快收敛速度。 该算法适用于目标函数非光滑但约束为凸的优化问题。在每一步，需要求解一个凸优化子问题（可能带有球约束），这通常比直接处理非光滑问题更简单。算法通过信赖域机制保证收敛，而反射步骤可以作为加速技巧。 注意事项 ： 实际实现中，子问题的求解精度需要平衡，通常不需要精确解，一个足够好的近似解即可。 对于非凸约束，本框架不直接适用，需要更复杂的处理（如序列凸约束近似）。 初始点 x0 和初始信赖域半径 Δ0 的选择会影响算法性能。