SHA-3 (Keccak) 海绵结构中的 \(\chi\) (Chi) 步骤详解

题目描述
在 SHA-3（Keccak）哈希算法的核心——Keccak-f 置换函数中，共包含五个步骤（\(θ, ρ, π, χ, ι\)），它们按顺序在每轮中迭代执行。其中 \(\chi\)（Chi）步骤是唯一的非线性步骤，它在 Keccak 算法的安全性中扮演着至关重要的角色。你的任务是，详细解释 \(\chi\) 步骤的运算定义、其非线性来源、在算法结构中的作用，以及它是如何被高效实现的。

解题过程

第一步：明确 \(\chi\) 步骤在 Keccak-f 置换中的位置与作用

1. 背景回顾：Keccak-f 置换（如 Keccak-f[1600]）对一个三维的状态数组 \(A[x][y][z]\) 进行操作，其中 \(x, y \in \{0, 1, 2, 3, 4\}\)，\(z \in \{0, 1, ..., w-1\}\)，\(w\) 是位宽（对于 Keccak-f[1600]，\(w=64\)，总状态大小为 1600 比特）。Keccak-f 由 \(n_r\) 轮（对于 1600 位状态，\(n_r=24\)）组成，每轮按顺序执行 \(θ\)、\(ρ\)、\(π\)、\(χ\)、\(ι\) 五个步骤。
2. \(\chi\) 的角色：\(\chi\) 步骤是这五个步骤中唯一具有非线性的步骤。它的主要功能是向状态中引入非线性的混淆，抵抗线性密码分析和差分密码分析。其他步骤（\(θ\) 是线性扩散，\(ρ\) 和 \(π\) 是线性置换，\(ι\) 是线性常量加）主要提供扩散和破坏对称性。

第二步：理解 \(\chi\) 步骤的数学定义

1. 操作对象：\(\chi\) 以每一行（Row） 为单位独立地对状态进行操作。所谓一行，是指固定 \(y\) 坐标和 \(z\) 坐标，遍历所有 \(x\) 坐标（0 到 4）所得到的 5 个比特序列。更准确地说，对于每个 \((y, z)\) 平面上的一个切片（固定 \(y\) 和 \(z\)），我们有一个包含 5 个比特的行向量。
2. 变换公式：对于每一行（包含 5 个比特：\(a_0, a_1, a_2, a_3, a_4\)），\(\chi\) 步骤按以下规则计算新的比特 \(a_i'\)：
   \(a_i' = a_i ⊕ ((a_{i+1} ⊕ 1) \cdot a_{i+2})\)
   其中：
   • \(a_i\) 表示当前行中索引为 \(i\) 的原始比特（\(i\) 从 0 到 4）。
   • \(a_{i+1}\) 和 \(a_{i+2}\) 中的索引运算是在模 5 的意义下进行的。也就是说，如果 \(i=3\)，则 \(a_{i+1} = a_4\)，\(a_{i+2} = a_0\)；如果 \(i=4\)，则 \(a_{i+1} = a_0\)，\(a_{i+2} = a_1\)。
   • ⊕ 表示按位异或（XOR）。
   • · 表示逻辑与（AND）。
   • 运算是对所有 \(i = 0, 1, 2, 3, 4\) 并行执行的。

第三步：深入分析 \(\chi\) 的非线性特性

1. 非线性来源：变换公式 \(a_i' = a_i ⊕ ((a_{i+1} ⊕ 1) \cdot a_{i+2})\) 中包含了 AND 操作（·）。由于 AND 操作不满足线性叠加原理（即 \(f(x⊕y) \neq f(x) ⊕ f(y)\)），因此 \(\chi\) 步骤是一个非线性布尔函数。
2. 代数表达式：这个函数是一个 3 比特输入的二次布尔函数。对于每个输出比特 \(a_i'\)，其输入是三个比特：\(a_i\), \(a_{i+1}\) 和 \(a_{i+2}\)。其真值表显示这是一个非线性平衡函数。
3. 扩散效应：虽然 \(\chi\) 主要贡献非线性，但由于其涉及相邻比特，它也具有一定的局部扩散作用。然而，主要的扩散任务是由 \(θ\) 和 \(ρ/π\) 步骤完成的。

第四步：\(\chi\) 步骤的几何与算法实现视角

1. 按行并行计算：对于状态数组中的所有 \(w\) 个切片（即所有 \(z\) 值），每个切片上的 5 个行（对应 \(y=0\) 到 \(4\)）都可以独立地进行 \(\chi\) 变换。这非常适合于并行计算。
2. 软件实现：通常，状态被表示为一个 \(5 \times 5 \times w\) 比特的数组。在软件中，为了方便，常常将状态视为一个包含 25 个 \(w\)-比特字（lane）的二维数组 \(A[5][5]\)。此时，\(\chi\) 步骤需要对这 25 个字中的每个比特位（共 \(w\) 个位平面）单独应用上述的 5 比特行变换。
3. 实现算法伪代码（基于 lane 表示的位平面操作）：

   // 输入: 状态数组 A[5][5] (每个元素是一个 w-bit 的 lane)
   // 输出: 经过 χ 变换后的状态数组
   
   For each bit position z from 0 to w-1: // 遍历每个位平面
       // 从状态中提取一个 5x5 的位平面矩阵
       Let B[5][5] be a temporary bit matrix.
       For x from 0 to 4:
           For y from 0 to 4:
               B[x][y] = (A[x][y] >> z) & 1 // 提取第 z 比特
   
       // 对每一行 y 进行 χ 变换
       For y from 0 to 4:
           Let row[5] = [B[0][y], B[1][y], B[2][y], B[3][y], B[4][y]]
           // 计算新的行
           new_row[0] = row[0] XOR ( (NOT row[1]) AND row[2] )
           new_row[1] = row[1] XOR ( (NOT row[2]) AND row[3] )
           new_row[2] = row[2] XOR ( (NOT row[3]) AND row[4] )
           new_row[3] = row[3] XOR ( (NOT row[4]) AND row[0] )
           new_row[4] = row[4] XOR ( (NOT row[0]) AND row[1] )
           // 写回临时矩阵
           For x from 0 to 4:
               B[x][y] = new_row[x]
   
       // 将变换后的位平面更新回状态
       For x from 0 to 4:
           For y from 0 to 4:
               // 清除原来的第 z 位，然后设置新值
               A[x][y] = (A[x][y] & ~(1 << z)) | (B[x][y] << z)
   

   注意：在实际的高效实现（特别是 64 位软件实现）中，会利用比特切片（Bit Slicing）技术或查找表来同时对多个位平面进行操作，而不是逐比特循环。上述伪代码是为了清晰展示原理。

第五步：\(\chi\) 步骤的安全性与设计考量

1. 非线性度：\(\chi\) 函数具有较高的非线性度（即其真值表与所有线性函数的最小汉明距离较大），这有助于抵抗线性密码分析。
2. 代数次数：它是一个二次函数。在 Keccak-f 的多轮迭代中，整个置换的代数次数会增长，增加了代数攻击的难度。
3. 差分特性：\(\chi\) 的差分传播概率受到严格限制，这有助于控制差分特征在整个置换中的传播概率。
4. 与其它步骤的协同：\(\chi\) 本身只在行内进行运算。但通过 \(π\) 步骤（置换切片位置）和 \(θ\) 步骤（在列上进行全局异或），\(\chi\) 的非线性效应被有效地扩散到整个状态中。
5. 可逆性：\(\chi\) 变换是可逆的（即存在逆变换），这对于构造一个置换（双射）函数是必要的。其逆变换也相对容易计算。

总结
SHA-3（Keccak）中的 \(\chi\)（Chi）步骤是 Keccak-f 置换的核心非线性组件。它以每行（5 比特）为单位，应用公式 \(a_i' = a_i ⊕ ((a_{i+1} ⊕ 1) · a_{i+2})\) 进行变换。这个简单的 3 比特输入二次函数，因其 AND 操作而具备非线性，为算法提供了抵抗线性与差分分析的关键混淆属性。它与提供扩散的 \(θ, ρ, π\) 步骤以及破坏对称性的 \(ι\) 步骤协同工作，经过多轮迭代后，共同构建了 Keccak-f 强大的密码学强度。其按行独立操作的特点也便于高效的软件与硬件实现。