核化典型相关分析（Kernel Canonical Correlation Analysis, KCCA）的原理与优化求解过程 一、 题目描述 典型相关分析（Canonical Correlation Analysis, CCA）是一种经典的统计方法，用于分析两个随机变量集合（或称“视图”）之间的线性相关关系。它寻找两组变量中各一个线性组合（称为典型变量），使得这两个线性组合之间的相关性最大化。然而，CCA只能捕捉线性关系。核化典型相关分析（Kernel CCA）通过“核技巧”（Kernel Trick）将CCA扩展到非线性领域。其核心思想是：首先通过一个非线性映射函数，将原始数据隐式地映射到一个高维（甚至无限维）的再生核希尔伯特空间（RKHS）中，然后在这个高维特征空间中执行标准的线性CCA。KCCA广泛应用于特征融合、多模态学习、降维等领域。 二、 解题过程：循序渐进讲解 步骤1：回顾标准线性CCA 首先，让我们明确问题。假设我们有两组已中心化（均值为0）的数据视图： 视图1： X ∈ R^{n×p} ， 有 n 个样本， p 个特征。 视图2： Y ∈ R^{n×q} ， 有 n 个样本， q 个特征。 CCA的目标是找到投影向量 w_x ∈ R^p 和 w_y ∈ R^q ，使得投影后的数据 X w_x 和 Y w_y 之间的皮尔逊相关系数最大化： maximize_{w_x, w_y} (w_x^T X^T Y w_y) / sqrt((w_x^T X^T X w_x)(w_y^T Y^T Y w_y)) 这是一个广义特征值问题，最终转化为求解： (X^T X)^{-1} X^T Y (Y^T Y)^{-1} Y^T X w_x = ρ^2 w_x 其中 ρ 是最大化的相关系数（典型相关系数）。 步骤2：引入核方法与非线性的思想 线性CCA的局限在于，它假设两组变量之间的关系是线性的。对于复杂的非线性关系（例如，一个视图是图像像素，另一个是文本描述），线性模型无法有效建模。 核方法的思路是：我们不直接设计复杂的非线性变换，而是定义一个核函数 k(x_i, x_j) = φ(x_i)·φ(x_j) ，它计算了样本 x_i 和 x_j 在某个高维特征空间 φ(·) 中的内积。通过这个核函数，我们可以在不知道 φ(·) 具体形式的情况下，在高维空间中进行线性运算。这是核技巧的精髓。 对于KCCA，我们分别为两个视图定义核函数 k_x 和 k_y ，以及对应的核矩阵： K_x = Φ_x Φ_x^T ∈ R^{n×n} ，其中 Φ_x 是 X 映射到特征空间后的数据矩阵（行是样本）。 K_y = Φ_y Φ_y^T ∈ R^{n×n} ，定义类似。 步骤3：在特征空间中表述KCCA问题 在特征空间中，我们的数据变成了 Φ_x 和 Φ_y 。根据表示定理，在RKHS中，投影方向 w_x 和 w_y 可以表示为所有样本映射的线性组合： w_x = Φ_x^T α ， α ∈ R^n w_y = Φ_y^T β ， β ∈ R^n 这里 α 和 β 是我们需要求解的新系数向量，替代了原始的 w_x 和 w_y 。 那么，投影后的数据变为： Φ_x w_x = Φ_x Φ_x^T α = K_x α Φ_y w_y = Φ_y Φ_y^T β = K_y β 因此，KCCA的目标转化为：寻找系数向量 α 和 β ，使得 K_x α 和 K_y β 之间的相关系数最大化。 步骤4：建立KCCA的优化目标函数 将投影后的表达式代入CCA的相关系数公式，目标函数变为： maximize_{α, β} (α^T K_x^T K_y β) / sqrt((α^T K_x^T K_x α)(β^T K_y^T K_y β)) 注意， K_x 和 K_y 是对称矩阵，所以 K_x^T = K_x ， K_y^T = K_y 。同时，为了确保问题良定并控制解的复杂度（避免过拟合），我们通常需要加入正则化项。最终，带有正则化项（Tikhonov正则化）的KCCA优化问题可以写为： maximize_{α, β} (α^T K_x K_y β) subject to: α^T (K_x^2 + κ_x I) α = 1 subject to: β^T (K_y^2 + κ_y I) β = 1 其中 κ_x 和 κ_y 是小的正正则化参数， I 是单位矩阵。正则化项 κI 的加入防止了当 K_x 或 K_y 奇异（或病态）时解的不稳定性。 步骤5：求解KCCA的广义特征值问题 这是一个带有等式约束的优化问题，可以通过拉格朗日乘子法求解。构建拉格朗日函数 L ： L(α, β, λ_x, λ_y) = α^T K_x K_y β - (λ_x/2)[α^T (K_x^2 + κ_x I) α - 1] - (λ_y/2)[β^T (K_y^2 + κ_y I) β - 1] 分别对 α 和 β 求导并令导数为零： ∂L/∂α = K_x K_y β - λ_x (K_x^2 + κ_x I) α = 0 -> (1) ∂L/∂β = K_y K_x α - λ_y (K_y^2 + κ_y I) β = 0 -> (2) 由(1)式可得： K_x K_y β = λ_x (K_x^2 + κ_x I) α 由(2)式可得： K_y K_x α = λ_y (K_y^2 + κ_y I) β 可以证明，在最优解处， λ_x = λ_y = ρ （即最大化后的典型相关系数）。将(1)式中的 α 用 β 表示，代入(2)式，经过整理，我们可以得到一个关于 β 的广义特征值问题（或关于 α 的对称形式）： (K_y + κ_y I)^{-1} K_y K_x (K_x + κ_x I)^{-1} K_x K_y β = ρ^2 β 同理，关于 α 的特征值方程为： (K_x + κ_x I)^{-1} K_x K_y (K_y + κ_y I)^{-1} K_y K_x α = ρ^2 α 实际上，更稳定和常见的求解方式是将原问题转换为一个等价的、规模为 2n×2n 的广义特征值问题： [ 0, K_x K_y; K_y K_x, 0 ] [α; β] = ρ [ (K_x^2+κ_x I), 0; 0, (K_y^2+κ_y I) ] [α; β] 求解这个广义特征值问题，最大的特征值 ρ 就是第一对典型变量的相关系数，对应的特征向量 [α; β] 给出了第一对投影系数。后续的典型变量可以通过求取次大的特征值和对应的特征向量获得，且它们与之前找到的变量是正交的。 步骤6：KCCA的计算与预测 训练（拟合模型） ： 输入中心化后的原始数据 X , Y 。 选择核函数（如高斯RBF核、多项式核）及参数，计算核矩阵 K_x 和 K_y 。 设置正则化参数 κ_x , κ_y 。 求解上述广义特征值问题，得到前 d 对特征向量 (α_i, β_i) 和特征值 ρ_i （ i=1,...,d ）。 d 是想要保留的典型变量个数。 转换（降维/特征提取） ： 对于训练数据，其在第 i 个典型变量上的投影（得分）为： 视图1的投影： f_i = K_x α_i 视图2的投影： g_i = K_y β_i 这 d 对投影 (f_i, g_i) 就是降维后的非线性相关特征。 预测（对新样本） ： 对于一个新样本 (x_new, y_new) ，要得到它在特征空间中的投影，需要计算它和所有训练样本的核函数值。 定义向量 k_x_new = [k_x(x_new, x_1), ..., k_x(x_new, x_n)]^T ， k_y_new 类似。 那么，新样本在第 i 个典型变量上的投影为： 视图1的投影： f_i_new = (k_x_new)^T α_i 视图2的投影： g_i_new = (k_y_new)^T β_i 总结 ：核化典型相关分析（KCCA）通过核技巧将线性CCA扩展到了非线性领域。其核心步骤是：1) 用核函数隐式定义非线性映射；2) 利用表示定理，将投影方向表示为训练样本的线性组合；3) 构建关于组合系数 α 和 β 的、带有正则化的相关性最大化目标；4) 将其转化为一个广义特征值问题进行求解；5) 利用求得的系数对数据进行非线性相关特征提取。KCCA成功的关键在于核函数的选择和正则化参数的控制。