切棍子使每段都在指定长度集合的最小切割成本（进阶版：切割位置限制与成本差异） 问题描述 你有一根长度为 \( n \) 的棍子（整数长度），以及一个 切割位置集合 \( S \)（包含 \( m \) 个位置，每个位置是整数，且 \( 1 \le S[ i] \le n-1 \)），表示你 只能在集合中的位置进行切割 。每次切割的成本等于当前切割时 棍子的长度 。 此外，每个切割位置有一个 附加成本 \( cost[ i] \)（正值），表示在该位置切割时会额外增加 \( cost[ i ] \) 的成本。 你的目标是将棍子切分成若干段，使得 每一段的长度都在给定的长度集合 \( L \)（包含若干正整数长度）中。 求达成目标的最小总成本；如果无法切分，返回 -1。 示例 棍子长度 \( n = 10 \) 允许切割位置集合 \( S = [ 2, 4, 7] \)，对应附加成本 \( cost = [ 1, 2, 1 ] \) 允许的段长度集合 \( L = \{2, 3, 4\} \) 问：最小总成本是多少？ 第一步：明确约束条件 只能在 \( S \) 中指定的位置切割 （不能在其他位置切）。 每切一次的总成本 = 当前棍子长度 + 该切割位置的附加成本。 最终每一段的长度 必须在 \( L \) 中。 切割顺序影响总成本，因为切割时棍子长度会变化。 第二步：关键观察 最终每一段必须对应棍子上的一个 区间 \([ l, r ]\)（以长度为单位，比如从位置 0 到 n，长度为 \( r-l \)）。 这个区间可以是一段完整的棍子，也可能由更小的段组成（但最终长度必须在 \( L \) 中）。 这是一个 区间划分 问题：我们要把 \([ 0, n ]\) 划分成若干个子区间，每个子区间的长度 \(\in L\)。 切割只能在 \( S \) 中的位置进行，所以子区间的端点必须在 \(\{0\} \cup S \cup \{n\}\) 中。 我们需要 决定切割顺序 ，因为成本与切割时的长度相关。 第三步：区间动态规划定义状态 令 \( dp[ l][ r] \) 表示将区间 \([ l, r]\)（对应棍子上从位置 \( l \) 到 \( r \) 的一段） 切分成若干段，每段长度都在 \( L \) 中 的最小总成本。 这里 \( l, r \) 是端点位置，且 \( l, r \in \{0\} \cup S \cup \{n\} \)，并且 \( l < r \)。 如果区间长度 \( len = r - l \) 本身就 \(\in L\)，那么可以不切，成本为 0（因为已经是一段合法段）。 否则，必须在某个切割位置 \( k \in S \) 且 \( l < k < r \) 进行切割，将区间分成 \([ l, k]\) 和 \([ k, r ]\) 两部分。 但这里有一个陷阱 ：切割成本与切割顺序有关。 如果我们在区间 \([ l, r]\) 上第一次切在位置 \( k \)，那么切割成本 = \((r - l) + cost[ k ]\)（当前棍子长度 + 附加成本）。然后分别处理左右两段。 因此， 状态转移 应考虑 第一次切割的位置 。 第四步：状态转移方程 设 \( len = r - l \)。 情况 1 ：如果 \( len \in L \)，那么 \( dp[ l][ r ] = 0 \)（不需要切割）。 情况 2 ：否则，必须在某个位置 \( k \in S \) 且 \( l < k < r \) 处进行切割（作为第一次切割）： \[ dp[ l][ r] = \min_ {\substack{k \in S \\ l < k < r}} \left[ (r - l) + cost[ k] + dp[ l][ k] + dp[ k][ r] \right ] \] 这里 \((r - l) + cost[ k ]\) 是切割成本。 \( dp[ l][ k] \) 和 \( dp[ k][ r ] \) 是左右子区间的最小成本。 但是 ：注意 \( dp[ l][ k] \) 和 \( dp[ k][ r ] \) 可能也需要进一步切割，它们的切割成本各自计算。 第五步：区间DP的计算顺序 由于 \( dp[ l][ r] \) 依赖于更小的区间，我们按 区间长度由小到大 计算。 将所有可能的端点排序：\( points = \{0\} \cup S \cup \{n\} \)。 设总点数 \( M = m+2 \)。 我们只关心这些端点之间的区间，因为切割只能在 \( S \) 中的位置进行。 状态维度：\( dp[ M][ M ] \)，初始化为无穷大（表示不可行）。 第六步：处理边界 如果区间长度 \( len \in L \)：\( dp[ l][ r ] = 0 \)。 否则，尝试所有允许的切割点 \( k \in S \) 且 \( k \) 在 \( (l, r) \) 之间。 最终答案 ：\( dp[ 0][ n ] \)。如果它仍是无穷大，返回 -1。 第七步：示例计算 给定： \( n=10 \)，\( S=[ 2,4,7] \)，\( cost=[ 1,2,1 ] \)，\( L=\{2,3,4\} \) 端点集合 \( points = [ 0, 2, 4, 7, 10 ] \) 先标记每个点的索引： 0 → 0, 2 → 1, 4 → 2, 7 → 3, 10 → 4 区间长度与 L 的对应： 长度 2（如 0→2, 2→4, 4→6? 不对，6不在points，所以只能是已有端点间的长度）。 区间长度在 points 间： 0→2:2 ✓, 2→4:2 ✓, 4→7:3 ✓, 7→10:3 ✓, 0→4:4 ✓, 4→10:6 ✗, 0→7:7 ✗, 2→10:8 ✗, 0→10:10 ✗ 我们逐个区间计算： 区间 [ 0,2 ]：长度 2 ∈ L，dp=0 [ 2,4 ]：长度 2 ∈ L，dp=0 [ 4,7 ]：长度 3 ∈ L，dp=0 [ 7,10 ]：长度 3 ∈ L，dp=0 [ 0,4 ]：长度 4 ∈ L，dp=0 [ 2,7 ]：长度 5 ∉ L，必须切。切割点只能在 S 中且在(2,7)之间 → 只有 k=4 可行（对应点索引 2）。 dp[ 2][ 7] = (7-2)+cost[ 4] + dp[ 2][ 4] + dp[ 4][ 7 ] = 5 + 2 + 0 + 0 = 7 这里 2,7 是位置，实际索引是 points[ 1]=2, points[ 3 ]=7。 [ 4,10 ]：长度 6 ∉ L，切割点只能在(4,10)且∈S → k=7（对应点索引 3）。 dp[ 4][ 10] = (10-4)+cost[ 7] + dp[ 4][ 7] + dp[ 7][ 10 ] = 6 + 1 + 0 + 0 = 7 [ 0,7 ]：长度 7 ∉ L，切割点∈S且在(0,7) → k=2 或 k=4。 切 k=2：成本 7+cost[ 2]=7+1=8，加上 dp[ 0][ 2]+dp[ 2][ 7 ]=0+7=7，总=15 切 k=4：成本 7+cost[ 4]=7+2=9，加上 dp[ 0][ 4]+dp[ 4][ 7 ]=0+0=0，总=9 取 min=9 [ 2,10 ]：长度 8 ∉ L，切割点∈S且在(2,10) → k=4 或 k=7。 切 k=4：成本 8+cost[ 4]=8+2=10，加 dp[ 2][ 4]+dp[ 4][ 10 ]=0+7=7，总=17 切 k=7：成本 8+cost[ 7]=8+1=9，加 dp[ 2][ 7]+dp[ 7][ 10 ]=7+0=7，总=16 取 min=16 [ 0,10 ]：长度 10 ∉ L，切割点∈S且在(0,10) → k=2,4,7。 切 k=2：成本 10+cost[ 2]=10+1=11，加 dp[ 0][ 2]+dp[ 2][ 10 ]=0+16=16，总=27 切 k=4：成本 10+cost[ 4]=10+2=12，加 dp[ 0][ 4]+dp[ 4][ 10 ]=0+7=7，总=19 切 k=7：成本 10+cost[ 7]=10+1=11，加 dp[ 0][ 7]+dp[ 7][ 10 ]=9+0=9，总=20 取 min=19 最终答案：dp[ 0][ 10 ] = 19。 第八步：复杂度分析 端点数量 \( M = m+2 \)，区间数量 \( O(M^2) \)。 每个区间需要枚举切割点，最多 \( O(m) \) 个。 总复杂度 \( O(M^2 m) \)，即 \( O(m^3) \)（因为 \( M \) 与 \( m \) 同阶）。 可以通过预处理每个区间内可用的切割点列表来优化，但最坏仍 \( O(m^3) \)。 总结 这道题在经典“切棍子最小成本”基础上增加了三个限制： 切割位置必须在给定集合 \( S \) 中。 每个切割位置有附加成本。 最终每段长度必须在集合 \( L \) 中。 解法核心是区间 DP，状态表示区间 [ l, r ] 的最小切割成本，转移时枚举第一次切割的位置（必须在 \( S \) 中），并保证最终每段长度合法。