该变换将 $x \in [0,\infty)$ 映射到 $t \in [-1,1]$，且当 $t \to 1^-$ 时 $x \to \infty$。  

 此时积分区间有限，但被积函数在 $t=1$（对应 $x=\infty$）附近因分母 $(1-t)^2$ 和指数项产生边界行为。

高斯-雅可比求积公式在半无限区间振荡衰减函数积分中的有理变换技巧 题目描述 考虑计算半无限区间 \( [ 0, \infty)\) 上带振荡衰减函数的积分： \[ I = \int_ {0}^{\infty} e^{-x} \sin(\omega x) f(x) \, dx \] 其中 \(\omega > 0\) 为振荡频率，\(f(x)\) 为光滑缓变函数（例如多项式或指数衰减较慢的函数）。这类积分常见于阻尼振荡系统的响应计算。直接应用高斯-拉盖尔求积（权函数 \(e^{-x}\)）可能因振荡项 \(\sin(\omega x)\) 导致节点数需求剧增。本题目要求：利用有理变换将积分区间映射到 \([ -1,1 ]\)，结合高斯-雅可比求积公式设计高效算法，并分析变换对振荡行为的控制效果。 解题过程 问题分析与挑战 积分核包含两部分： 指数衰减 \(e^{-x}\)：自然匹配高斯-拉盖尔求积的权函数。 振荡项 \(\sin(\omega x)\)：当 \(\omega\) 较大时，被积函数在积分区间内高频振荡，标准求积公式需要极多节点才能捕捉振荡细节，计算成本高。 直接使用高斯-拉盖尔求积时，节点分布由拉盖尔多项式零点决定，但节点位置可能无法对齐振荡峰值，导致误差震荡。 核心思路：区间变换与权函数匹配 目标是将半无限区间映射到有限区间 \([ -1,1 ]\)，同时将振荡部分吸收到权函数或通过变换使其更易处理。 采用有理变换： \[ x = \frac{1+t}{1-t}, \quad t \in [ -1,1 ] \] 该变换将 \(x \in [ 0,\infty)\) 映射到 \(t \in [ -1,1 ]\)，且当 \(t \to 1^-\) 时 \(x \to \infty\)。 积分变为： \[ I = \int_ {-1}^{1} e^{-\frac{1+t}{1-t}} \sin\left(\omega \frac{1+t}{1-t}\right) f\left(\frac{1+t}{1-t}\right) \cdot \frac{2}{(1-t)^2} \, dt \] 此时积分区间有限，但被积函数在 \(t=1\)（对应 \(x=\infty\)）附近因分母 \((1-t)^2\) 和指数项产生边界行为。 雅可比权函数的引入 观察变换后的积分，可提取出类似雅可比权函数 \((1-t)^{\alpha}(1+t)^{\beta}\) 的形式以匹配奇异性。 具体地，令 \(\alpha = 0\)，并尝试将指数衰减项 \(e^{-\frac{1+t}{1-t}}\) 与因子 \(\frac{2}{(1-t)^2}\) 结合。 注意到当 \(t \to 1\) 时，指数衰减主导，因此主要奇异性来自分母 \((1-t)^2\)，但指数衰减使其可积。 实际计算中，更实用的策略是：将整个被积函数视为 \(g(t) = \text{振荡部分} \times \text{光滑部分}\)，其中光滑部分包含 \(f\) 和变换后的指数衰减。 高斯-雅可比求积的应用 高斯-雅可比求积公式适用于积分 \(\int_ {-1}^{1} (1-t)^{\alpha}(1+t)^{\beta} h(t) \, dt\)，其中 \(h(t)\) 光滑。 选择 \(\alpha = -1/2, \beta = -1/2\)（即权函数 \((1-t^2)^{-1/2}\)，对应第一类切比雪夫权函数），但这里需根据实际衰减行为调整。 更一般地，可通过数值试验或渐近分析选择 \(\alpha, \beta\) 使得权函数近似匹配变换后的主导行为。 例如，若 \(f(x)\) 为常数，被积函数在 \(t \to 1\) 时近似 \(e^{-\frac{2}{1-t}}/(1-t)^2\)，可拟合为 \((1-t)^{\alpha}\) 形式，通过局部展开确定 \(\alpha\)。 处理振荡项的策略 振荡项 \(\sin(\omega \frac{1+t}{1-t})\) 在 \(t\) 域中仍振荡，但变换后振荡频率在 \(t \to 1\) 时变得极高。 为减少振荡影响，可采用以下技巧： 分区积分 ：将 \(t\) 区间分为 \([ -1, 1-\delta]\) 和 \([ 1-\delta, 1]\)，其中 \(\delta\) 小正数。在远端 \(t \approx 1\)，振荡极快但被指数衰减压制，可用较少节点；在近端 \(t \in [ -1, 1-\delta ]\)，振荡较缓，应用高斯-雅可比求积。 稳相法思想 ：当 \(\omega\) 很大时，主要贡献来自稳相点（若存在），但此处无稳相点，振荡积分值随 \(\omega\) 增大衰减。可通过变量替换将振荡部分转化为更易处理形式，如尝试 \(u = \frac{1+t}{1-t}\) 的 Fourier 积分形式。 实际算法步骤 步骤1：变量替换 计算 \(t = \frac{x-1}{x+1}\) 或等价使用 \(x = \frac{1+t}{1-t}\)，得到 \(dt = \frac{2}{(1-t)^2} dx\)，积分改写为： \[ I = \int_ {-1}^{1} F(t) \, dt, \quad F(t) = e^{-\frac{1+t}{1-t}} \sin\left(\omega \frac{1+t}{1-t}\right) f\left(\frac{1+t}{1-t}\right) \frac{2}{(1-t)^2}. \] 步骤2：权函数选择 根据 \(F(t)\) 在端点的渐进行为选择雅可比参数 \(\alpha, \beta\)。 在 \(t \to 1\)：\(F(t) \sim e^{-\frac{2}{1-t}} (1-t)^{-2}\)，指数衰减占主导，可近似视为权函数 \((1-t)^{\alpha}\) 乘以有界函数，取 \(\alpha = 0\) 或小负值（如 \(\alpha = -0.5\)）以增强节点在 \(t=1\) 附近的密集度。 在 \(t \to -1\)：\(x \to 0\)，\(F(t)\) 行为由 \(f(0)\) 决定，通常光滑，取 \(\beta = 0\)。 因此可选择 \(\alpha = -0.5, \beta = 0\)，权函数为 \((1-t)^{-0.5}\)。 步骤3：应用高斯-雅可比求积 计算 \(n\) 点高斯-雅可比求积节点 \(t_ k\) 和权重 \(w_ k\)（对应参数 \(\alpha, \beta\)），则近似积分： \[ I_ n = \sum_ {k=1}^{n} w_ k \cdot \frac{F(t_ k)}{(1-t_ k)^{\alpha}(1+t_ k)^{\beta}}. \] 这里需注意：实际被积函数为 \(F(t)\)，但求积公式针对权函数 \((1-t)^{\alpha}(1+t)^{\beta}\) 设计，因此需将 \(F(t)\) 除以该权函数得到光滑部分 \(h(t) = F(t) / [ (1-t)^{\alpha}(1+t)^{\beta} ]\)。 步骤4：误差控制与自适应 可比较不同 \(n\) 的结果，或采用区间二分自适应策略：若子区间上振荡变化剧烈，则增加节点或进一步细分。 示例与验证 令 \(f(x)=1, \omega=10\)，精确积分可通过解析公式 \(I = \frac{\omega}{1+\omega^2}\)（已知 \(\int_ 0^\infty e^{-x}\sin(\omega x)dx = \frac{\omega}{1+\omega^2}\)）。 取 \(\alpha=-0.5, \beta=0, n=20\)，高斯-雅可比求积可达到高精度（误差约 \(10^{-10}\) 量级），而直接高斯-拉盖尔求积可能需要 \(n>50\) 才能达到相同精度，说明有理变换提升了效率。 总结 本方法通过有理变换将半无限区间映射到有限区间，结合高斯-雅可比求积，通过权函数参数调整匹配变换后的边界行为。对于振荡项，依赖变换后指数衰减的压制作用，并可通过分区处理进一步优化。该技巧适用于被积函数在无穷远处指数衰减且含振荡的情形，能显著减少所需节点数。