基于增广拉格朗日-序列二次规划-代理模型-混合整数规划-自适应屏障-信赖域-梯度投影混合算法进阶题：高维混合整数非线性规划问题
字数 3139 2025-12-15 00:52:40

基于增广拉格朗日-序列二次规划-代理模型-混合整数规划-自适应屏障-信赖域-梯度投影混合算法进阶题：高维混合整数非线性规划问题

题目描述
考虑如下高维混合整数非线性规划（MINLP）问题：

\[\begin{aligned} \min_{x, y} \quad & f(x, y) \\ \text{s.t.} \quad & g_i(x, y) \leq 0, \quad i = 1, \dots, m \\ & h_j(x, y) = 0, \quad j = 1, \dots, p \\ & x \in \mathbb{R}^n, \quad y \in \mathbb{Z}^q \end{aligned} \]

其中，\(f, g_i, h_j\) 是光滑非线性函数，但非凸；\(x\) 是连续变量，\(y\) 是整数变量，且 \(q\) 较大（高维整数空间）。目标是将混合整数问题分解为连续子问题和整数搜索，并利用代理模型加速搜索。

解题过程
本算法结合了增广拉格朗日法（处理约束）、序列二次规划（SQP，局部连续优化）、代理模型（近似昂贵函数）、自适应屏障（处理不等式约束）、信赖域（控制步长）和梯度投影（处理简单约束）。核心思路是：

  1. 用增广拉格朗日法将约束问题转化为一系列无约束子问题。
  2. 对整数变量 \(y\) 进行分支定界搜索，对每个固定的 \(y\)，用 SQP 求解连续子问题。
  3. 在 SQP 中，用代理模型近似目标/约束函数，减少计算量。
  4. 自适应屏障函数内化不等式约束，信赖域控制 SQP 步长，梯度投影处理变量边界。

步骤 1：构建增广拉格朗日函数
对等式和不等式约束引入乘子 \(\lambda_i \geq 0\)（不等式）和 \(\nu_j\)（等式），以及罚参数 \(\rho > 0\)。增广拉格朗日函数为：

\[\mathcal{L}_\rho(x, y, \lambda, \nu) = f(x, y) + \frac{\rho}{2} \left( \sum_{i=1}^m \left[\max\left(0, \lambda_i/\rho + g_i(x, y)\right)\right]^2 + \sum_{j=1}^p \left[ h_j(x, y) + \nu_j/\rho \right]^2 \right) \]

问题转化为：

\[\min_{x, y} \mathcal{L}_\rho(x, y, \lambda, \nu) \quad \text{s.t.} \quad y \in \mathbb{Z}^q \]

固定 \(\lambda, \nu, \rho\)，迭代更新乘子和罚参数。

步骤 2：整数变量处理（分支定界框架）
对 \(y\) 进行分支定界搜索：

  • 分支：选择某个整数变量 \(y_k\)，生成两个子问题，分别固定 \(y_k = \lfloor y_k^* \rfloor\) 和 \(y_k = \lceil y_k^* \rceil\)（\(y_k^*\) 是当前松弛解）。
  • 定界：求解每个子问题的连续松弛（暂时忽略整数约束，得到下界）。
  • 求解连续子问题：对每个固定的 \(y\)，问题变为关于 \(x\) 的连续非线性规划，用 SQP-代理模型混合方法求解。

步骤 3：连续子问题的 SQP-代理模型混合方法
对固定 \(y\)，问题为：

\[\min_x \mathcal{L}_\rho(x, y, \lambda, \nu) \quad \text{s.t.} \quad g_i(x, y) \leq 0, \; h_j(x, y) = 0 \]

在 SQP 迭代点 \(x_k\)，构建二次规划（QP）子问题：

  1. 代理模型构建：用径向基函数（RBF）或 Kriging 模型近似 \(\mathcal{L}_\rho\) 和约束函数，基于历史采样点 \((x^{(t)}, \mathcal{L}_\rho^{(t)})\)。代理模型 \(\tilde{\mathcal{L}}_\rho\) 用于计算函数值和梯度，减少真实函数调用。
  2. QP 子问题：

\[\begin{aligned} \min_d \quad & \nabla_x \tilde{\mathcal{L}}_\rho(x_k)^T d + \frac{1}{2} d^T B_k d \\ \text{s.t.} \quad & g_i(x_k) + \nabla_x g_i(x_k)^T d \leq 0 \\ & h_j(x_k) + \nabla_x h_j(x_k)^T d = 0 \end{aligned} \]

其中 \(B_k\) 是 BFGS 近似的 Hessian 矩阵。
3. 自适应屏障处理不等式：将不等式约束转换为对数屏障项加入目标，控制屏障参数 \(\mu_k\) 自适应减小：

\[\min_d \nabla_x \tilde{\mathcal{L}}_\rho^T d + \frac{1}{2} d^T B_k d - \mu_k \sum_i \ln(-g_i(x_k) - \nabla g_i^T d) \]

  1. 信赖域约束：添加 \(\|d\| \leq \Delta_k\)，控制步长大小。
  2. 梯度投影：若变量有简单边界约束 \(l \leq x \leq u\)，在 SQP 迭代后，将新点投影到可行域：\(x_{k+1} = P_{[l,u]}(x_k + d_k)\)。

步骤 4：算法流程

  1. 初始化乘子 \(\lambda, \nu\)，罚参数 \(\rho\)，代理模型数据集，信赖域半径 \(\Delta_0\)。
  2. 外层循环（增广拉格朗日更新）：
    • 用分支定界求解 \(\min_{x,y} \mathcal{L}_\rho\)。
    • 更新乘子：

\[ \lambda_i \leftarrow \max(0, \lambda_i + \rho g_i(x^*, y^*)), \quad \nu_j \leftarrow \nu_j + \rho h_j(x^*, y^*) \]

  • 增大 \(\rho\) 以加强约束满足。
  1. 内层分支定界：对每个节点，用 SQP-代理模型混合法求解连续松弛问题，更新上下界，剪枝。
  2. SQP-代理模型迭代：
    • 更新代理模型，求解带屏障和信赖域的 QP 子问题。
    • 计算实际下降与预测下降比 \(r_k = \frac{\mathcal{L}_\rho(x_k) - \mathcal{L}_\rho(x_k+d_k)}{\tilde{\mathcal{L}}_\rho(x_k) - \tilde{\mathcal{L}}_\rho(x_k+d_k)}\)。
    • 若 \(r_k\) 大，接受步长，扩大 \(\Delta_k\)；否则拒绝，缩小 \(\Delta_k\)。
  3. 收敛条件：约束违反度小于 \(\epsilon\)，且目标值变化小，且整数解稳定。

关键点说明

  • 代理模型减少昂贵函数评估，适合高维。
  • 自适应屏障避免 QP 子问题不可行。
  • 信赖域保证代理模型在局部可靠。
  • 分支定界处理整数变量，SQP 处理连续变量。
  • 梯度投影简单处理边界，避免额外约束。

此混合法平衡了全局整数搜索和局部连续优化，适用于高维 MINLP 问题。

基于增广拉格朗日-序列二次规划-代理模型-混合整数规划-自适应屏障-信赖域-梯度投影混合算法进阶题：高维混合整数非线性规划问题 题目描述 考虑如下高维混合整数非线性规划（MINLP）问题： \[ \begin{aligned} \min_ {x, y} \quad & f(x, y) \\ \text{s.t.} \quad & g_ i(x, y) \leq 0, \quad i = 1, \dots, m \\ & h_ j(x, y) = 0, \quad j = 1, \dots, p \\ & x \in \mathbb{R}^n, \quad y \in \mathbb{Z}^q \end{aligned} \] 其中，\(f, g_ i, h_ j\) 是光滑非线性函数，但非凸；\(x\) 是连续变量，\(y\) 是整数变量，且 \(q\) 较大（高维整数空间）。目标是将混合整数问题分解为连续子问题和整数搜索，并利用代理模型加速搜索。 解题过程 本算法结合了增广拉格朗日法（处理约束）、序列二次规划（SQP，局部连续优化）、代理模型（近似昂贵函数）、自适应屏障（处理不等式约束）、信赖域（控制步长）和梯度投影（处理简单约束）。核心思路是： 用增广拉格朗日法将约束问题转化为一系列无约束子问题。 对整数变量 \(y\) 进行分支定界搜索，对每个固定的 \(y\)，用 SQP 求解连续子问题。 在 SQP 中，用代理模型近似目标/约束函数，减少计算量。 自适应屏障函数内化不等式约束，信赖域控制 SQP 步长，梯度投影处理变量边界。 步骤 1：构建增广拉格朗日函数 对等式和不等式约束引入乘子 \(\lambda_ i \geq 0\)（不等式）和 \(\nu_ j\)（等式），以及罚参数 \(\rho > 0\)。增广拉格朗日函数为： \[ \mathcal{L} \rho(x, y, \lambda, \nu) = f(x, y) + \frac{\rho}{2} \left( \sum {i=1}^m \left[ \max\left(0, \lambda_ i/\rho + g_ i(x, y)\right)\right]^2 + \sum_ {j=1}^p \left[ h_ j(x, y) + \nu_ j/\rho \right ]^2 \right) \] 问题转化为： \[ \min_ {x, y} \mathcal{L}_ \rho(x, y, \lambda, \nu) \quad \text{s.t.} \quad y \in \mathbb{Z}^q \] 固定 \(\lambda, \nu, \rho\)，迭代更新乘子和罚参数。 步骤 2：整数变量处理（分支定界框架） 对 \(y\) 进行分支定界搜索： 分支 ：选择某个整数变量 \(y_ k\)，生成两个子问题，分别固定 \(y_ k = \lfloor y_ k^* \rfloor\) 和 \(y_ k = \lceil y_ k^* \rceil\)（\(y_ k^* \) 是当前松弛解）。 定界 ：求解每个子问题的连续松弛（暂时忽略整数约束，得到下界）。 求解连续子问题 ：对每个固定的 \(y\)，问题变为关于 \(x\) 的连续非线性规划，用 SQP-代理模型混合方法求解。 步骤 3：连续子问题的 SQP-代理模型混合方法 对固定 \(y\)，问题为： \[ \min_ x \mathcal{L}_ \rho(x, y, \lambda, \nu) \quad \text{s.t.} \quad g_ i(x, y) \leq 0, \; h_ j(x, y) = 0 \] 在 SQP 迭代点 \(x_ k\)，构建二次规划（QP）子问题： 代理模型构建 ：用径向基函数（RBF）或 Kriging 模型近似 \(\mathcal{L} \rho\) 和约束函数，基于历史采样点 \((x^{(t)}, \mathcal{L} \rho^{(t)})\)。代理模型 \(\tilde{\mathcal{L}}_ \rho\) 用于计算函数值和梯度，减少真实函数调用。 QP 子问题 ： \[ \begin{aligned} \min_ d \quad & \nabla_ x \tilde{\mathcal{L}}_ \rho(x_ k)^T d + \frac{1}{2} d^T B_ k d \\ \text{s.t.} \quad & g_ i(x_ k) + \nabla_ x g_ i(x_ k)^T d \leq 0 \\ & h_ j(x_ k) + \nabla_ x h_ j(x_ k)^T d = 0 \end{aligned} \] 其中 \(B_ k\) 是 BFGS 近似的 Hessian 矩阵。 自适应屏障处理不等式 ：将不等式约束转换为对数屏障项加入目标，控制屏障参数 \(\mu_ k\) 自适应减小： \[ \min_ d \nabla_ x \tilde{\mathcal{L}}_ \rho^T d + \frac{1}{2} d^T B_ k d - \mu_ k \sum_ i \ln(-g_ i(x_ k) - \nabla g_ i^T d) \] 信赖域约束 ：添加 \(\|d\| \leq \Delta_ k\)，控制步长大小。 梯度投影 ：若变量有简单边界约束 \(l \leq x \leq u\)，在 SQP 迭代后，将新点投影到可行域：\(x_ {k+1} = P_ {[ l,u]}(x_ k + d_ k)\)。 步骤 4：算法流程 初始化乘子 \(\lambda, \nu\)，罚参数 \(\rho\)，代理模型数据集，信赖域半径 \(\Delta_ 0\)。 外层循环 （增广拉格朗日更新）： 用分支定界求解 \(\min_ {x,y} \mathcal{L}_ \rho\)。 更新乘子： \[ \lambda_ i \leftarrow \max(0, \lambda_ i + \rho g_ i(x^ , y^ )), \quad \nu_ j \leftarrow \nu_ j + \rho h_ j(x^ , y^ ) \] 增大 \(\rho\) 以加强约束满足。 内层分支定界 ：对每个节点，用 SQP-代理模型混合法求解连续松弛问题，更新上下界，剪枝。 SQP-代理模型迭代 ： 更新代理模型，求解带屏障和信赖域的 QP 子问题。 计算实际下降与预测下降比 \(r_ k = \frac{\mathcal{L} \rho(x_ k) - \mathcal{L} \rho(x_ k+d_ k)}{\tilde{\mathcal{L}} \rho(x_ k) - \tilde{\mathcal{L}} \rho(x_ k+d_ k)}\)。 若 \(r_ k\) 大，接受步长，扩大 \(\Delta_ k\)；否则拒绝，缩小 \(\Delta_ k\)。 收敛条件：约束违反度小于 \(\epsilon\)，且目标值变化小，且整数解稳定。 关键点说明 代理模型减少昂贵函数评估，适合高维。 自适应屏障避免 QP 子问题不可行。 信赖域保证代理模型在局部可靠。 分支定界处理整数变量，SQP 处理连续变量。 梯度投影简单处理边界，避免额外约束。 此混合法平衡了全局整数搜索和局部连续优化，适用于高维 MINLP 问题。