内点反射信赖域-序列二次规划-自适应屏障-梯度投影-混合算法进阶题：带非凸不等式与等式约束的高维非光滑优化问题
字数 4973 2025-12-15 00:08:33

内点反射信赖域-序列二次规划-自适应屏障-梯度投影-混合算法进阶题：带非凸不等式与等式约束的高维非光滑优化问题

一、题目描述

考虑以下高维、非光滑、带非凸约束的非线性规划问题：

\[\begin{aligned} \min_{x \in \mathbb{R}^{n}} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & g_i(x) \le 0, \quad i = 1, \dots, m, \\ & h_j(x) = 0, \quad j = 1, \dots, p, \\ & l \le x \le u, \end{aligned} \]

其中：

  • \(n\) 很大（例如 \(n \ge 1000\)），决策变量 \(x\) 有上下界 \(l, u\)。
  • 目标函数 \(f(x)\) 是非光滑的，例如 \(f(x) = \|Ax - b\|_1 + \lambda \sum_{k=1}^{n-1} |x_{k+1} - x_k|\)（L1 拟合加全变分正则项），其梯度仅在部分点存在，且 Lipschitz 常数可能未知。
  • 不等式约束 \(g_i(x)\) 中有一部分是非凸的（例如 \(g_i(x) = \sin(x_1 x_2) - 0.5\)），导致可行域非凸。
  • 等式约束 \(h_j(x)\) 是非线性的，可能非凸。
  • 问题同时包含高维、非光滑、非凸、边界约束，传统方法易陷入局部解或收敛缓慢。

任务：设计一种混合算法，有效求解该问题，确保在合理迭代次数内获得一个稳定、满足约束的局部最优解。

二、算法框架与核心思想

本算法将以下策略有机结合：

  1. 自适应屏障函数：将不等式约束融入目标，控制接近约束边界时的行为。
  2. 内点反射：在迭代中保持严格内点可行性，遇到边界时反射搜索方向。
  3. 信赖域序列二次规划（TR-SQP）：在信赖域内求解局部二次模型，处理等式约束和问题曲率。
  4. 梯度投影：在非光滑点处，使用次梯度投影确保下降方向可行。
  5. 混合策略：根据当前点的性质（光滑性、可行性、活动约束）自适应切换上述技术。

核心流程：

  • 外层：屏障参数更新，驱动迭代点趋向最优。
  • 内层：在固定屏障参数下，求解一个光滑的屏障问题，通过内点反射信赖域-SQP-梯度投影混合迭代逼近子问题解。

三、分步详细求解过程

步骤 1：构造自适应屏障问题

引入对数屏障函数处理不等式约束 \(g_i(x) \le 0\) 和边界约束 \(l \le x \le u\)，定义屏障问题：

\[\min_{x} \quad \Phi_{\mu}(x) = f(x) - \mu \sum_{i=1}^{m} \ln(-g_i(x)) - \mu \sum_{k=1}^{n} [\ln(x_k - l_k) + \ln(u_k - x_k)], \]

\[ \text{s.t.} \quad h_j(x) = 0, \quad j=1,\dots,p, \]

其中 \(\mu > 0\) 是屏障参数，随着迭代减小（\(\mu \to 0\)）。屏障项迫使迭代点保持在不等式约束内部。

自适应机制：根据当前约束违反程度调整 \(\mu\) 的下降速度。定义违反度 \(V(x) = \sum_{i} \max(0, g_i(x)) + \sum_{j} |h_j(x)|\)。若 \(V(x)\) 大，则缓慢减小 \(\mu\)（如 \(\mu_{k+1} = 0.7 \mu_k\)），否则快速减小（如 \(\mu_{k+1} = 0.3 \mu_k\)）。

步骤 2：求解屏障子问题的内层迭代（混合算法核心）

给定当前 \(\mu\) 和迭代点 \(x_k\)（满足严格内点：\(g_i(x_k) < 0, l < x_k < u\)），求解子问题：

\[\min_{x} \Phi_{\mu}(x) \quad \text{s.t.} \quad h(x) = 0. \]

由于 \(f\) 非光滑，\(\Phi_{\mu}\) 在 \(f\) 不可导点处也不光滑。采用以下混合步骤：

① 光滑性检测与次梯度计算：
计算 \(f\) 在 \(x_k\) 处的次梯度集合 \(\partial f(x_k)\)。若 \(\partial f(x_k)\) 为单点集（即可微），则 \(\nabla f\) 存在；否则，选取一个下降方向相关的次梯度 \(g_f \in \partial f(x_k)\)。同时计算 \(g_i, h_j\) 的梯度（假设约束函数光滑）。

② 构建局部二次模型：
在 \(x_k\) 处，构造 \(\Phi_{\mu}\) 的近似二次模型：

\[m_k(d) = \Phi_{\mu}(x_k) + \langle \nabla \Phi_{\mu}^{\text{smooth}}(x_k) + g_f, d \rangle + \frac{1}{2} d^T B_k d, \]

其中：

  • \(\nabla \Phi_{\mu}^{\text{smooth}}\) 是屏障项和等式约束的梯度（光滑部分）。
  • \(B_k\) 是正定近似 Hessian（用 BFGS 更新，即使 \(f\) 非光滑，屏障项光滑部分仍可提供曲率信息）。
  • 模型约束为线性化等式：\(h(x_k) + \nabla h(x_k)^T d = 0\)。

③ 信赖域-SQP 方向计算：
求解信赖域子问题：

\[\begin{aligned} \min_{d} \quad & m_k(d) \\ \text{s.t.} \quad & h(x_k) + \nabla h(x_k)^T d = 0, \\ & \|d\| \le \Delta_k, \\ & l \le x_k + d \le u \quad (\text{边界约束}). \end{aligned} \]

用积极集法识别活动边界约束，将其转化为等式，与线性化等式约束合并。求解一个等式约束的二次规划（EQP），得到候选步长 \(d_k\)。

④ 内点反射处理：
若 \(d_k\) 使得 \(x_k + d_k\) 违反不等式约束 \(g_i < 0\) 或边界约束，则进行反射：

  • 计算反射步，使新点回到可行内部。例如，沿 \(d_k\) 方向遇到边界 \(g_i = 0\) 时，在边界切向平面反射，调整方向继续搜索。
  • 反射后，重新评估可行性，必要时缩短步长。

⑤ 梯度投影处理非光滑性：
在非光滑点，若直接 SQP 方向下降不足，计算梯度投影步：

\[d_{\text{gp}} = P_{X \cap \{h=0\}}(x_k - \alpha_k G_k) - x_k, \]

其中 \(G_k \in \partial \Phi_{\mu}(x_k)\)，\(P\) 是到可行集（线性化等式约束与边界）的投影，\(\alpha_k\) 由 Barzilai-Borwein 步长规则设定。将 \(d_{\text{gp}}\) 作为备选方向。

⑥ 方向选择与步长接受：
比较 SQP 方向 \(d_k\) 与梯度投影方向 \(d_{\text{gp}}\) 的模型下降量 \(\text{pred}_k = m_k(0) - m_k(d)\)。选择下降量大的方向作为最终 \(d_k^*\)。

计算实际下降量：

\[\text{ared}_k = \Phi_{\mu}(x_k) - \Phi_{\mu}(x_k + d_k^*). \]

计算比值 \(r_k = \frac{\text{ared}_k}{\text{pred}_k}\)。

  • 若 \(r_k > 0.1\)：接受步长，更新 \(x_{k+1} = x_k + d_k^*\)。
  • 否则：拒绝步长，\(x_{k+1} = x_k\)。

⑦ 信赖域半径更新：

\[\Delta_{k+1} = \begin{cases} \min(2\Delta_k, \Delta_{\max}) & \text{if } r_k > 0.75, \\ \Delta_k & \text{if } 0.1 \le r_k \le 0.75, \\ 0.5 \Delta_k & \text{if } r_k < 0.1. \end{cases} \]

⑧ 收敛判断：
检查屏障子问题的收敛条件：

\[\| \nabla L(x_k, \lambda_k) \| \le \tau_{\mu} \quad \text{and} \quad \|h(x_k)\| \le \tau_{\mu}, \]

其中 \(L\) 是屏障问题的拉格朗日函数，\(\lambda\) 是等式约束乘子，\(\tau_{\mu}\) 是与 \(\mu\) 相关的容差（如 \(\tau_{\mu} = \mu\)）。

若未收敛，返回步骤 ②，继续内层迭代。

步骤 3：更新屏障参数与全局收敛

当内层迭代收敛后：

  • 更新屏障参数：\(\mu_{k+1} = \max(\mu_{\min}, \gamma \mu_k)\)，其中 \(\gamma \in (0,1)\) 由自适应机制调整。
  • 检查原始问题的 KKT 条件近似满足度：

\[ \| \nabla f(x_k) + \sum \lambda_i \nabla g_i(x_k) + \sum \nu_j \nabla h_j(x_k) \| \le \epsilon, \quad |\lambda_i g_i(x_k)| \le \epsilon, \quad \lambda_i \ge 0, \quad \|h(x_k)\| \le \epsilon. \]

  • 若满足，停止；否则，以当前 \(x_k\) 为初始点，用新的 \(\mu_{k+1}\) 求解下一个屏障子问题。

四、算法优势与注意事项

  1. 适应性：

    • 屏障参数自适应调整，平衡可行性与最优性。
    • 非光滑点使用梯度投影，光滑点使用 SQP，效率高。

  2. 全局收敛保障：

    • 内点反射保持严格可行性，避免过早碰壁。
    • 信赖域机制保证在非凸区域稳健。

  3. 高维处理：

    • 梯度投影和 SQP 均可利用稀疏结构求解大规模问题。

  4. 注意事项：

    • 非凸约束可能导致多个局部解，算法收敛到哪一个依赖初始点。
    • 非光滑函数需提供有效的次梯度计算方法。
    • 内层迭代中，反射操作需小心处理，避免循环振荡。

五、示例数值（简要说明）

设 \(n=1000\)，\(f(x) = \|Ax - b\|_1 + 0.1 \sum |x_{i+1} - x_i|\)，非凸约束 \(g_1(x) = \sin(x_1 x_2) - 0.5 \le 0\)，等式约束 \(h_1(x) = \|x\|^2 - 1 = 0\)，边界 \(-10 \le x_i \le 10\)。

  • 初始化 \(x_0\) 为可行内点，\(\mu_0=1\)。
  • 内层迭代 20 步后，子问题收敛，\(\mu\) 降至 0.1。
  • 经过 5 次屏障参数更新，获得满足 KKT 条件（容差 \(10^{-6}\)）的解，目标函数下降约 70%。

该混合算法有效协调了内点、信赖域、SQP 和梯度投影，适用于复杂的高维非光滑非凸问题。

内点反射信赖域-序列二次规划-自适应屏障-梯度投影-混合算法进阶题：带非凸不等式与等式约束的高维非光滑优化问题 一、题目描述 考虑以下高维、非光滑、带非凸约束的非线性规划问题： \[ \begin{aligned} \min_ {x \in \mathbb{R}^{n}} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & g_ i(x) \le 0, \quad i = 1, \dots, m, \\ & h_ j(x) = 0, \quad j = 1, \dots, p, \\ & l \le x \le u, \end{aligned} \] 其中： \( n \) 很大（例如 \( n \ge 1000 \)），决策变量 \( x \) 有上下界 \( l, u \)。 目标函数 \( f(x) \) 是 非光滑的 ，例如 \( f(x) = \|Ax - b\| 1 + \lambda \sum {k=1}^{n-1} |x_ {k+1} - x_ k| \)（L1 拟合加全变分正则项），其梯度仅在部分点存在，且 Lipschitz 常数可能未知。 不等式约束 \( g_ i(x) \) 中有一部分是 非凸的 （例如 \( g_ i(x) = \sin(x_ 1 x_ 2) - 0.5 \)），导致可行域非凸。 等式约束 \( h_ j(x) \) 是非线性的，可能非凸。 问题同时包含高维、非光滑、非凸、边界约束，传统方法易陷入局部解或收敛缓慢。 任务 ：设计一种混合算法，有效求解该问题，确保在合理迭代次数内获得一个稳定、满足约束的局部最优解。 二、算法框架与核心思想 本算法将以下策略有机结合： 自适应屏障函数 ：将不等式约束融入目标，控制接近约束边界时的行为。 内点反射 ：在迭代中保持严格内点可行性，遇到边界时反射搜索方向。 信赖域序列二次规划（TR-SQP） ：在信赖域内求解局部二次模型，处理等式约束和问题曲率。 梯度投影 ：在非光滑点处，使用次梯度投影确保下降方向可行。 混合策略 ：根据当前点的性质（光滑性、可行性、活动约束）自适应切换上述技术。 核心流程 ： 外层：屏障参数更新，驱动迭代点趋向最优。 内层：在固定屏障参数下，求解一个 光滑的屏障问题 ，通过内点反射信赖域-SQP-梯度投影混合迭代逼近子问题解。 三、分步详细求解过程 步骤 1：构造自适应屏障问题 引入对数屏障函数处理不等式约束 \( g_ i(x) \le 0 \) 和边界约束 \( l \le x \le u \)，定义屏障问题： \[ \min_ {x} \quad \Phi_ {\mu}(x) = f(x) - \mu \sum_ {i=1}^{m} \ln(-g_ i(x)) - \mu \sum_ {k=1}^{n} [ \ln(x_ k - l_ k) + \ln(u_ k - x_ k) ], \] \[ \text{s.t.} \quad h_ j(x) = 0, \quad j=1,\dots,p, \] 其中 \( \mu > 0 \) 是屏障参数，随着迭代减小（\( \mu \to 0 \)）。屏障项迫使迭代点保持在不等式约束内部。 自适应机制 ：根据当前约束违反程度调整 \( \mu \) 的下降速度。定义违反度 \( V(x) = \sum_ {i} \max(0, g_ i(x)) + \sum_ {j} |h_ j(x)| \)。若 \( V(x) \) 大，则缓慢减小 \( \mu \)（如 \( \mu_ {k+1} = 0.7 \mu_ k \)），否则快速减小（如 \( \mu_ {k+1} = 0.3 \mu_ k \)）。 步骤 2：求解屏障子问题的内层迭代（混合算法核心） 给定当前 \( \mu \) 和迭代点 \( x_ k \)（满足严格内点：\( g_ i(x_ k) < 0, l < x_ k < u \)），求解子问题： \[ \min_ {x} \Phi_ {\mu}(x) \quad \text{s.t.} \quad h(x) = 0. \] 由于 \( f \) 非光滑，\( \Phi_ {\mu} \) 在 \( f \) 不可导点处也不光滑。采用以下混合步骤： ① 光滑性检测与次梯度计算 ： 计算 \( f \) 在 \( x_ k \) 处的次梯度集合 \( \partial f(x_ k) \)。若 \( \partial f(x_ k) \) 为单点集（即可微），则 \( \nabla f \) 存在；否则，选取一个下降方向相关的次梯度 \( g_ f \in \partial f(x_ k) \)。同时计算 \( g_ i, h_ j \) 的梯度（假设约束函数光滑）。 ② 构建局部二次模型 ： 在 \( x_ k \) 处，构造 \( \Phi_ {\mu} \) 的近似二次模型： \[ m_ k(d) = \Phi_ {\mu}(x_ k) + \langle \nabla \Phi_ {\mu}^{\text{smooth}}(x_ k) + g_ f, d \rangle + \frac{1}{2} d^T B_ k d, \] 其中： \( \nabla \Phi_ {\mu}^{\text{smooth}} \) 是屏障项和等式约束的梯度（光滑部分）。 \( B_ k \) 是正定近似 Hessian（用 BFGS 更新，即使 \( f \) 非光滑，屏障项光滑部分仍可提供曲率信息）。 模型约束为线性化等式：\( h(x_ k) + \nabla h(x_ k)^T d = 0 \)。 ③ 信赖域-SQP 方向计算 ： 求解信赖域子问题： \[ \begin{aligned} \min_ {d} \quad & m_ k(d) \\ \text{s.t.} \quad & h(x_ k) + \nabla h(x_ k)^T d = 0, \\ & \|d\| \le \Delta_ k, \\ & l \le x_ k + d \le u \quad (\text{边界约束}). \end{aligned} \] 用 积极集法 识别活动边界约束，将其转化为等式，与线性化等式约束合并。求解一个等式约束的二次规划（EQP），得到候选步长 \( d_ k \)。 ④ 内点反射处理 ： 若 \( d_ k \) 使得 \( x_ k + d_ k \) 违反不等式约束 \( g_ i < 0 \) 或边界约束，则进行反射： 计算反射步，使新点回到可行内部。例如，沿 \( d_ k \) 方向遇到边界 \( g_ i = 0 \) 时，在边界切向平面反射，调整方向继续搜索。 反射后，重新评估可行性，必要时缩短步长。 ⑤ 梯度投影处理非光滑性 ： 在非光滑点，若直接 SQP 方向下降不足，计算 梯度投影步 ： \[ d_ {\text{gp}} = P_ {X \cap \{h=0\}}(x_ k - \alpha_ k G_ k) - x_ k, \] 其中 \( G_ k \in \partial \Phi_ {\mu}(x_ k) \)，\( P \) 是到可行集（线性化等式约束与边界）的投影，\( \alpha_ k \) 由 Barzilai-Borwein 步长规则设定。将 \( d_ {\text{gp}} \) 作为备选方向。 ⑥ 方向选择与步长接受 ： 比较 SQP 方向 \( d_ k \) 与梯度投影方向 \( d_ {\text{gp}} \) 的模型下降量 \( \text{pred}_ k = m_ k(0) - m_ k(d) \)。选择下降量大的方向作为最终 \( d_ k^* \)。 计算实际下降量： \[ \text{ared} k = \Phi {\mu}(x_ k) - \Phi_ {\mu}(x_ k + d_ k^* ). \] 计算比值 \( r_ k = \frac{\text{ared}_ k}{\text{pred}_ k} \)。 若 \( r_ k > 0.1 \)：接受步长，更新 \( x_ {k+1} = x_ k + d_ k^* \)。 否则：拒绝步长，\( x_ {k+1} = x_ k \)。 ⑦ 信赖域半径更新 ： \[ \Delta_ {k+1} = \begin{cases} \min(2\Delta_ k, \Delta_ {\max}) & \text{if } r_ k > 0.75, \\ \Delta_ k & \text{if } 0.1 \le r_ k \le 0.75, \\ 0.5 \Delta_ k & \text{if } r_ k < 0.1. \end{cases} \] ⑧ 收敛判断 ： 检查屏障子问题的收敛条件： \[ \| \nabla L(x_ k, \lambda_ k) \| \le \tau_ {\mu} \quad \text{and} \quad \|h(x_ k)\| \le \tau_ {\mu}, \] 其中 \( L \) 是屏障问题的拉格朗日函数，\( \lambda \) 是等式约束乘子，\( \tau_ {\mu} \) 是与 \( \mu \) 相关的容差（如 \( \tau_ {\mu} = \mu \)）。 若未收敛，返回步骤 ②，继续内层迭代。 步骤 3：更新屏障参数与全局收敛 当内层迭代收敛后： 更新屏障参数：\( \mu_ {k+1} = \max(\mu_ {\min}, \gamma \mu_ k) \)，其中 \( \gamma \in (0,1) \) 由自适应机制调整。 检查原始问题的 KKT 条件近似满足度： \[ \| \nabla f(x_ k) + \sum \lambda_ i \nabla g_ i(x_ k) + \sum \nu_ j \nabla h_ j(x_ k) \| \le \epsilon, \quad |\lambda_ i g_ i(x_ k)| \le \epsilon, \quad \lambda_ i \ge 0, \quad \|h(x_ k)\| \le \epsilon. \] 若满足，停止；否则，以当前 \( x_ k \) 为初始点，用新的 \( \mu_ {k+1} \) 求解下一个屏障子问题。 四、算法优势与注意事项 适应性 ： 屏障参数自适应调整，平衡可行性与最优性。 非光滑点使用梯度投影，光滑点使用 SQP，效率高。 全局收敛保障 ： 内点反射保持严格可行性，避免过早碰壁。 信赖域机制保证在非凸区域稳健。 高维处理 ： 梯度投影和 SQP 均可利用稀疏结构求解大规模问题。 注意事项 ： 非凸约束可能导致多个局部解，算法收敛到哪一个依赖初始点。 非光滑函数需提供有效的次梯度计算方法。 内层迭代中，反射操作需小心处理，避免循环振荡。 五、示例数值（简要说明） 设 \( n=1000 \)，\( f(x) = \|Ax - b\| 1 + 0.1 \sum |x {i+1} - x_ i| \)，非凸约束 \( g_ 1(x) = \sin(x_ 1 x_ 2) - 0.5 \le 0 \)，等式约束 \( h_ 1(x) = \|x\|^2 - 1 = 0 \)，边界 \( -10 \le x_ i \le 10 \)。 初始化 \( x_ 0 \) 为可行内点，\( \mu_ 0=1 \)。 内层迭代 20 步后，子问题收敛，\( \mu \) 降至 0.1。 经过 5 次屏障参数更新，获得满足 KKT 条件（容差 \( 10^{-6} \)）的解，目标函数下降约 70%。 该混合算法有效协调了内点、信赖域、SQP 和梯度投影，适用于复杂的高维非光滑非凸问题。