基于核的密度峰值聚类（Kernel-based Density Peak Clustering, KDPC）算法原理与实现过程
字数 2279 2025-12-14 23:51:34

基于核的密度峰值聚类（Kernel-based Density Peak Clustering, KDPC）算法原理与实现过程

题目描述

我们探讨一个基于核技巧改进的密度峰值聚类算法。传统密度峰值聚类（DPC）算法通过计算数据点的局部密度和相对距离来识别聚类中心，但它依赖于数据点之间的距离（如欧氏距离），对噪声敏感且在高维或复杂流形上表现不佳。而核密度峰值聚类（KDPC） 通过核函数将原始数据映射到高维特征空间，在特征空间中计算局部密度和相对距离。这有助于更好地捕获非线性结构，提高聚类效果。我们的目标是理解KDPC的原理，掌握其核心步骤：核矩阵计算、密度估计、距离计算、中心识别和类别分配。

解题过程

第一步：回顾传统DPC的核心思想

传统DPC基于两个核心假设：

  1. 聚类中心：是那些局部密度较高，并且与其它更高密度点距离较远的点。
  2. 局部密度 ρᵢ：对于点 i，通常定义为在截断距离 d_c 内邻居点的数量（或使用高斯核平滑）。
  3. 相对距离 δᵢ：对于点 i，定义为与所有比其密度更高的点的最小距离。对于密度最高的点，其 δᵢ 定义为与所有点的最大距离。

第二步：引入核技巧

核技巧的核心思想是：不显式地将数据点 xᵢ 映射到高维特征空间 φ(xᵢ)，而是通过核函数 K(xᵢ, xⱼ) = φ(xᵢ)ᵀφ(xⱼ) 直接计算特征空间中的内积。常用的核函数有高斯核（RBF核）：K(xᵢ, xⱼ) = exp(-||xᵢ - xⱼ||² / (2σ²))，其中 σ 是带宽参数。

第三步：在特征空间中定义局部密度 ρᵢ

在原始空间中，高斯核密度估计为：ρᵢ = Σⱼ exp(-||xᵢ - xⱼ||² / (2σ²))。这等价于在特征空间中，每个点 φ(xᵢ) 的密度由所有点到其的高斯加权和表示。因此，KDPC中局部密度 ρᵢ 直接定义为：
ρᵢ = Σⱼ K(xᵢ, xⱼ) = Σⱼ exp(-||xᵢ - xⱼ||² / (2σ²))
这利用了核函数天然的高斯加权性质，σ 同时作为核函数的带宽和密度估计的平滑参数。ρᵢ 越大，表示点 i 在特征空间中附近点越多，局部密度越高。

第四步：在特征空间中定义相对距离 δᵢ

在特征空间中，两点 φ(xᵢ) 和 φ(xⱼ) 的距离为：
d²ᵢⱼ = ||φ(xᵢ) - φ(xⱼ)||² = φ(xᵢ)ᵀφ(xᵢ) + φ(xⱼ)ᵀφ(xⱼ) - 2φ(xᵢ)ᵀφ(xⱼ) = K(xᵢ, xᵢ) + K(xⱼ, xⱼ) - 2K(xᵢ, xⱼ)
对于高斯核，K(x, x)=1，因此 d²ᵢⱼ = 2 - 2K(xᵢ, xⱼ) = 2(1 - exp(-||xᵢ - xⱼ||² / (2σ²)))。由此可计算所有点对在特征空间中的距离。

相对距离 δᵢ 的定义与传统DPC一致：

  • 对于点 i，找到所有密度比其高的点集合 Sᵢ = {j | ρⱼ > ρᵢ}。
  • 若 Sᵢ 非空，则 δᵢ = min_{j∈Sᵢ} dᵢⱼ（与最近更高密度点的距离）。
  • 若 Sᵢ 为空（即点 i 是全局密度最高点），则 δᵢ = max_{j} dᵢⱼ（与最远点的距离）。

第五步：识别聚类中心

类似于传统DPC，我们可以绘制决策图（以 ρ 为横轴、δ 为纵轴，或以 γᵢ = ρᵢ * δᵢ 排序）。聚类中心是那些同时具有较高 ρ 和较高 δ 的点（即决策图中右上角的点）。在实际操作中，可以手动选择或通过设定阈值自动选取。

第六步：为剩余点分配簇标签

对于每个非中心点 i，将其分配给距离其最近且密度更高的点所属的簇。具体步骤如下：

  1. 将所有数据点按密度 ρ 降序排序。
  2. 对于排序后的每个点 i（从高密度到低密度处理）：
    • 如果点 i 是聚类中心，则其簇标签为自己。
    • 否则，找到比点 i 密度更高且距离最近的点 j（即满足 ρⱼ > ρᵢ 且 dᵢⱼ 最小的点 j），将点 i 分配给点 j 所属的簇。

由于特征空间中的距离已通过核函数计算，此分配过程在特征空间中进行，更好地反映了数据的非线性结构。

第七步：处理噪声点

在KDPC中，噪声点通常密度 ρ 很低。可以设置一个密度阈值 ρ_th，将 ρᵢ < ρ_th 的点标记为噪声（或离群点）。

第八步：算法总结与优势

KDPC算法步骤：

  1. 输入：数据集 X，高斯核带宽 σ，密度阈值 ρ_th（可选）。
  2. 计算核矩阵：对所有点对计算 K(xᵢ, xⱼ)。
  3. 计算局部密度 ρ：ρᵢ = Σⱼ K(xᵢ, xⱼ)（或仅对最近邻求和以提高效率）。
  4. 计算特征空间距离矩阵：d²ᵢⱼ = 2(1 - K(xᵢ, xⱼ))。
  5. 计算相对距离 δ：根据 ρ 和 dᵢⱼ 计算每个点的 δᵢ。
  6. 识别聚类中心：在决策图中选择 ρ 和 δ 均较大的点作为中心。
  7. 分配簇标签：按密度降序，将非中心点分配给最近更高密度点所属的簇。
  8. 输出：每个点的簇标签（及噪声标记）。

优势：

  • 非线性适应性：核函数隐式映射到高维空间，能捕捉复杂结构。
  • 鲁棒性：高斯核密度估计对噪声有一定平滑作用。
  • 无需预设簇数：通过决策图选择中心，但选择过程仍需人工判断或启发式规则。

总结

KDPC算法巧妙地将核技巧融入密度峰值框架，通过核矩阵在特征空间中计算密度和距离，从而提升了对非线性可分数据的聚类能力。其核心在于利用核函数隐式定义的特征空间，使密度估计和距离度量更符合数据的本质结构。实际应用中，核带宽 σ 的选择对结果影响较大，可通过交叉验证或经验规则调整。

基于核的密度峰值聚类（Kernel-based Density Peak Clustering, KDPC）算法原理与实现过程 题目描述 我们探讨一个基于核技巧改进的密度峰值聚类算法。传统密度峰值聚类（DPC）算法通过计算数据点的局部密度和相对距离来识别聚类中心，但它依赖于数据点之间的距离（如欧氏距离），对噪声敏感且在高维或复杂流形上表现不佳。而 核密度峰值聚类（KDPC） 通过核函数将原始数据映射到高维特征空间，在特征空间中计算局部密度和相对距离。这有助于更好地捕获非线性结构，提高聚类效果。我们的目标是理解KDPC的原理，掌握其核心步骤：核矩阵计算、密度估计、距离计算、中心识别和类别分配。 解题过程 第一步：回顾传统DPC的核心思想 传统DPC基于两个核心假设： 聚类中心 ：是那些局部密度较高，并且与其它更高密度点距离较远的点。 局部密度 ρᵢ：对于点 i，通常定义为在截断距离 d_ c 内邻居点的数量（或使用高斯核平滑）。 相对距离 δᵢ：对于点 i，定义为与所有比其密度更高的点的最小距离。对于密度最高的点，其 δᵢ 定义为与所有点的最大距离。 第二步：引入核技巧 核技巧的核心思想是：不显式地将数据点 xᵢ 映射到高维特征空间 φ(xᵢ)，而是通过核函数 K(xᵢ, xⱼ) = φ(xᵢ)ᵀφ(xⱼ) 直接计算特征空间中的内积。常用的核函数有高斯核（RBF核）：K(xᵢ, xⱼ) = exp(-||xᵢ - xⱼ||² / (2σ²))，其中 σ 是带宽参数。 第三步：在特征空间中定义局部密度 ρᵢ 在原始空间中，高斯核密度估计为：ρᵢ = Σⱼ exp(-||xᵢ - xⱼ||² / (2σ²))。这等价于在特征空间中，每个点 φ(xᵢ) 的密度由所有点到其的高斯加权和表示。因此，KDPC中 局部密度 ρᵢ 直接定义为 ： ρᵢ = Σⱼ K(xᵢ, xⱼ) = Σⱼ exp(-||xᵢ - xⱼ||² / (2σ²)) 这利用了核函数天然的高斯加权性质，σ 同时作为核函数的带宽和密度估计的平滑参数。ρᵢ 越大，表示点 i 在特征空间中附近点越多，局部密度越高。 第四步：在特征空间中定义相对距离 δᵢ 在特征空间中，两点 φ(xᵢ) 和 φ(xⱼ) 的距离为： d²ᵢⱼ = ||φ(xᵢ) - φ(xⱼ)||² = φ(xᵢ)ᵀφ(xᵢ) + φ(xⱼ)ᵀφ(xⱼ) - 2φ(xᵢ)ᵀφ(xⱼ) = K(xᵢ, xᵢ) + K(xⱼ, xⱼ) - 2K(xᵢ, xⱼ) 对于高斯核，K(x, x)=1，因此 d²ᵢⱼ = 2 - 2K(xᵢ, xⱼ) = 2(1 - exp(-||xᵢ - xⱼ||² / (2σ²)))。由此可计算所有点对在特征空间中的距离。 相对距离 δᵢ 的定义与传统DPC一致： 对于点 i，找到所有密度比其高的点集合 Sᵢ = {j | ρⱼ > ρᵢ}。 若 Sᵢ 非空，则 δᵢ = min_ {j∈Sᵢ} dᵢⱼ（与最近更高密度点的距离）。 若 Sᵢ 为空（即点 i 是全局密度最高点），则 δᵢ = max_ {j} dᵢⱼ（与最远点的距离）。 第五步：识别聚类中心 类似于传统DPC，我们可以绘制决策图（以 ρ 为横轴、δ 为纵轴，或以 γᵢ = ρᵢ * δᵢ 排序）。 聚类中心 是那些同时具有较高 ρ 和较高 δ 的点（即决策图中右上角的点）。在实际操作中，可以手动选择或通过设定阈值自动选取。 第六步：为剩余点分配簇标签 对于每个非中心点 i，将其分配给距离其最近且密度更高的点所属的簇。具体步骤如下： 将所有数据点按密度 ρ 降序排序。 对于排序后的每个点 i（从高密度到低密度处理）： 如果点 i 是聚类中心，则其簇标签为自己。 否则，找到比点 i 密度更高且距离最近的点 j（即满足 ρⱼ > ρᵢ 且 dᵢⱼ 最小的点 j），将点 i 分配给点 j 所属的簇。 由于特征空间中的距离已通过核函数计算，此分配过程在特征空间中进行，更好地反映了数据的非线性结构。 第七步：处理噪声点 在KDPC中，噪声点通常密度 ρ 很低。可以设置一个密度阈值 ρ_ th，将 ρᵢ < ρ_ th 的点标记为噪声（或离群点）。 第八步：算法总结与优势 KDPC算法步骤： 输入 ：数据集 X，高斯核带宽 σ，密度阈值 ρ_ th（可选）。 计算核矩阵 ：对所有点对计算 K(xᵢ, xⱼ)。 计算局部密度 ρ ：ρᵢ = Σⱼ K(xᵢ, xⱼ)（或仅对最近邻求和以提高效率）。 计算特征空间距离矩阵 ：d²ᵢⱼ = 2(1 - K(xᵢ, xⱼ))。 计算相对距离 δ ：根据 ρ 和 dᵢⱼ 计算每个点的 δᵢ。 识别聚类中心 ：在决策图中选择 ρ 和 δ 均较大的点作为中心。 分配簇标签 ：按密度降序，将非中心点分配给最近更高密度点所属的簇。 输出 ：每个点的簇标签（及噪声标记）。 优势 ： 非线性适应性 ：核函数隐式映射到高维空间，能捕捉复杂结构。 鲁棒性 ：高斯核密度估计对噪声有一定平滑作用。 无需预设簇数 ：通过决策图选择中心，但选择过程仍需人工判断或启发式规则。 总结 KDPC算法巧妙地将核技巧融入密度峰值框架，通过核矩阵在特征空间中计算密度和距离，从而提升了对非线性可分数据的聚类能力。其核心在于利用核函数隐式定义的特征空间，使密度估计和距离度量更符合数据的本质结构。实际应用中，核带宽 σ 的选择对结果影响较大，可通过交叉验证或经验规则调整。