分块矩阵的随机化Hessian近似拟牛顿法在无约束优化问题中的应用
字数 4170 2025-12-14 23:12:13

分块矩阵的随机化Hessian近似拟牛顿法在无约束优化问题中的应用

题目描述
考虑大规模无约束优化问题：

\[\min_{x \in \mathbb{R}^n} f(x) \]

其中 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 是二阶连续可微的函数，其Hessian矩阵 \(H(x) = \nabla^2 f(x)\) 通常是大型、稀疏或具有某种特殊结构（例如分块结构）。在拟牛顿法中，我们通过构造Hessian的近似矩阵 \(B_k\) 来避免直接计算Hessian。然而，当 \(n\) 极大时，即使是近似矩阵的存储和求逆也可能非常昂贵。本题目要求结合分块矩阵技术与随机化方法，设计一种高效的随机化Hessian近似拟牛顿算法，用于求解此类大规模无约束优化问题。具体来说，算法需在每次迭代中，利用随机采样技术构造一个分块结构的Hessian近似，并利用该分块结构高效求解拟牛顿方程（即 \(B_k s_k = -g_k\)，其中 \(g_k = \nabla f(x_k)\)），以更新迭代点 \(x_k\)。

解题过程循序渐进讲解

第一步：问题分析与背景知识回顾

  1. 拟牛顿法基本思想：拟牛顿法通过构造矩阵 \(B_k\) 近似 Hessian \(H(x_k)\)，满足拟牛顿方程（割线条件）：

\[ B_{k+1} s_k = y_k, \quad s_k = x_{k+1} - x_k, \quad y_k = g_{k+1} - g_k. \]

常用的BFGS和DFP等公式可更新 \(B_k\)，但需存储稠密的 \(n \times n\) 矩阵，计算复杂度为 \(O(n^2)\) 量级，难以应对大规模问题。
2. 分块矩阵技术：如果 \(B_k\) 具有分块对角或分块稀疏结构，则可利用该结构显著降低存储和求逆成本。例如，将变量分块为 \(x = [x_1^\top, \dots, x_m^\top]^\top\)，并假设 \(B_k\) 为分块对角矩阵，则拟牛顿方程可分解为多个低维子问题并行求解。
3. 随机化方法：通过随机采样部分梯度信息或函数值，以较低成本估计Hessian或其近似。例如，随机拟牛顿法（如SQN）通过随机子采样梯度差来构造 \(y_k\)，从而减少计算量。

第二步：算法框架设计
我们设计分块随机化BFGS（Block Randomized BFGS, BR-BFGS）算法，其核心步骤如下：

  • 将变量划分为 \(m\) 个块：\(x = [x_1^\top, \dots, x_m^\top]^\top\)，其中第 \(i\) 块维度为 \(n_i\)（\(\sum n_i = n\)）。
  • 在每次迭代 \(k\)：
    a. 计算梯度 \(g_k = \nabla f(x_k)\)。
    b. 通过随机采样技术构造分块对角的Hessian近似矩阵 \(B_k = \text{blkdiag}(B_k^{(1)}, \dots, B_k^{(m)})\)。
    c. 求解分块对角线性系统 \(B_k s_k = -g_k\)（每个块独立求解）。
    d. 沿方向 \(s_k\) 执行线搜索更新 \(x_{k+1} = x_k + \alpha_k s_k\)。
    e. 利用随机采样的梯度差信息，按分块更新每个 \(B_k^{(i)}\)。

第三步：分块Hessian近似的随机化构造

  1. 随机采样梯度差：
    设当前迭代点为 \(x_k\)。定义采样集合 \(S_k \subset \{1, \dots, N\}\)，其中 \(N\) 是用于估计梯度的样本总数（例如，\(f(x) = \frac{1}{N} \sum_{j=1}^N f_j(x)\) 的有限和形式）。随机选取子集 \(S_k\)（例如，均匀采样 \(|S_k| \ll N\)），计算随机梯度：

\[ \tilde{g}_k = \frac{1}{|S_k|} \sum_{j \in S_k} \nabla f_j(x_k). \]

类似地计算 \(\tilde{g}_{k+1}\)，并定义随机梯度差 \(\tilde{y}_k = \tilde{g}_{k+1} - \tilde{g}_k\)。

  1. 分块对角近似：
    假设变量分块后，Hessian近似矩阵具有分块对角结构，即不同变量块之间近似独立。我们将 \(\tilde{y}_k\) 按变量分块划分为 \(\tilde{y}_k = [\tilde{y}_k^{(1)\top}, \dots, \tilde{y}_k^{(m)\top}]^\top\)，对应每个块的梯度差。对每个块 \(i\)，构造局部拟牛顿方程：

\[ B_{k+1}^{(i)} s_k^{(i)} = \tilde{y}_k^{(i)}, \]

其中 \(s_k^{(i)}\) 是 \(s_k\) 的第 \(i\) 块。通过局部BFGS更新：

\[ B_{k+1}^{(i)} = B_k^{(i)} + \frac{\tilde{y}_k^{(i)} \tilde{y}_k^{(i)\top}}{\tilde{y}_k^{(i)\top} s_k^{(i)}} - \frac{B_k^{(i)} s_k^{(i)} s_k^{(i)\top} B_k^{(i)}}{s_k^{(i)\top} B_k^{(i)} s_k^{(i)}}. \]

注意：此更新仅依赖于块内变量，计算复杂度仅为 \(O(n_i^2)\)。所有块可并行更新。

  1. 初始化与正则化：
    初始矩阵 \(B_0^{(i)}\) 可设为标量矩阵 \(\gamma_0 I_{n_i}\)，其中 \(\gamma_0\) 通过随机梯度信息估计（如 \(\gamma_0 = \frac{\tilde{y}_0^\top s_0}{s_0^\top s_0}\)）。为确保数值稳定性，可引入正则化项防止矩阵病态。

第四步：分块对角线性系统的求解
由于 \(B_k = \text{blkdiag}(B_k^{(1)}, \dots, B_k^{(m)})\)，拟牛顿方程 \(B_k s_k = -g_k\) 分解为 \(m\) 个独立子系统：

\[B_k^{(i)} s_k^{(i)} = -g_k^{(i)}, \quad i=1,\dots,m. \]

每个子系统维度为 \(n_i\)。求解方法可选：

  • 若 \(n_i\) 很小，可直接用Cholesky分解（\(B_k^{(i)}\) 对称正定）。
  • 若 \(n_i\) 中等，可用共轭梯度法（CG）迭代求解。
  • 由于分块独立，可并行求解所有子系统，大幅提升效率。

第五步：算法完整流程与伪代码

  1. 输入：初始点 \(x_0\)，划分块数 \(m\)，采样批量大小 \(|S_k|\)，线搜索参数，最大迭代次数 \(T\)。
  2. 初始化：对每个块 \(i\)，设 \(B_0^{(i)} = \gamma_0 I_{n_i}\)。
  3. For \(k = 0, 1, \dots, T-1\)：
    a. 随机采样集合 \(S_k\)，计算随机梯度 \(\tilde{g}_k\)。
    b. 并行求解 \(B_k^{(i)} s_k^{(i)} = -\tilde{g}_k^{(i)}\) 得到搜索方向 \(s_k\)。
    c. 执行线搜索（如Wolfe条件）确定步长 \(\alpha_k\)，更新 \(x_{k+1} = x_k + \alpha_k s_k\)。
    d. 随机采样集合 \(S_{k+1}\)，计算 \(\tilde{g}_{k+1}\) 和 \(\tilde{y}_k = \tilde{g}_{k+1} - \tilde{g}_k\)。
    e. 并行更新每个分块近似矩阵：

\[ B_{k+1}^{(i)} = \text{BFGS_update}(B_k^{(i)}, s_k^{(i)}, \tilde{y}_k^{(i)}). \]

  1. 输出：近似最优解 \(x_T\)。

第六步：算法特性与优势分析

  1. 计算效率：

    • 存储成本：分块对角结构仅需存储 \(\sum_{i=1}^m n_i^2 \ll n^2\) 个元素。
    • 求解成本：每个块独立求解，复杂度从 \(O(n^3)\) 降至 \(O(\max_i n_i^3)\)，且可并行化。
    • 梯度计算：随机采样将梯度计算成本从 \(O(Nn)\) 降至 \(O(|S_k| n)\)。

  2. 收敛性保证：

    • 在标准假设（如 \(f\) 强凸且Lipschitz光滑）下，若采样批量大小 \(|S_k|\) 随迭代适当增加，算法可收敛到最优解。
    • 分块对角近似相当于对Hessian做块对角近似，若原Hessian接近块对角结构，则近似误差小，收敛快。

  3. 灵活性：

    • 划分策略可根据问题结构（如变量分组独立性）调整，以平衡近似精度与计算成本。
    • 随机采样策略可结合方差缩减技术（如SVRG）进一步加速收敛。

总结
本算法将分块矩阵技术与随机化方法结合，针对大规模无约束优化问题，设计了分块随机化BFGS算法。它通过分块对角近似降低存储与计算复杂度，并利用随机采样减少梯度计算量，在保持拟牛顿法超线性收敛特性的同时，实现了计算效率的大幅提升。该框架可推广至其他拟牛顿更新公式（如SR1）及更复杂的矩阵分块结构。

分块矩阵的随机化Hessian近似拟牛顿法在无约束优化问题中的应用 题目描述 考虑大规模无约束优化问题： \[ \min_ {x \in \mathbb{R}^n} f(x) \] 其中 \( f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) 是二阶连续可微的函数，其Hessian矩阵 \( H(x) = \nabla^2 f(x) \) 通常是大型、稀疏或具有某种特殊结构（例如分块结构）。在拟牛顿法中，我们通过构造Hessian的近似矩阵 \( B_ k \) 来避免直接计算Hessian。然而，当 \( n \) 极大时，即使是近似矩阵的存储和求逆也可能非常昂贵。本题目要求结合 分块矩阵技术 与 随机化方法 ，设计一种高效的随机化Hessian近似拟牛顿算法，用于求解此类大规模无约束优化问题。具体来说，算法需在每次迭代中，利用随机采样技术构造一个分块结构的Hessian近似，并利用该分块结构高效求解拟牛顿方程（即 \( B_ k s_ k = -g_ k \)，其中 \( g_ k = \nabla f(x_ k) \)），以更新迭代点 \( x_ k \)。 解题过程循序渐进讲解 第一步：问题分析与背景知识回顾 拟牛顿法基本思想 ：拟牛顿法通过构造矩阵 \( B_ k \) 近似 Hessian \( H(x_ k) \)，满足拟牛顿方程（割线条件）： \[ B_ {k+1} s_ k = y_ k, \quad s_ k = x_ {k+1} - x_ k, \quad y_ k = g_ {k+1} - g_ k. \] 常用的BFGS和DFP等公式可更新 \( B_ k \)，但需存储稠密的 \( n \times n \) 矩阵，计算复杂度为 \( O(n^2) \) 量级，难以应对大规模问题。 分块矩阵技术 ：如果 \( B_ k \) 具有分块对角或分块稀疏结构，则可利用该结构显著降低存储和求逆成本。例如，将变量分块为 \( x = [ x_ 1^\top, \dots, x_ m^\top]^\top \)，并假设 \( B_ k \) 为分块对角矩阵，则拟牛顿方程可分解为多个低维子问题并行求解。 随机化方法 ：通过随机采样部分梯度信息或函数值，以较低成本估计Hessian或其近似。例如，随机拟牛顿法（如SQN）通过随机子采样梯度差来构造 \( y_ k \)，从而减少计算量。 第二步：算法框架设计 我们设计 分块随机化BFGS（Block Randomized BFGS, BR-BFGS） 算法，其核心步骤如下： 将变量划分为 \( m \) 个块：\( x = [ x_ 1^\top, \dots, x_ m^\top]^\top \)，其中第 \( i \) 块维度为 \( n_ i \)（\( \sum n_ i = n \)）。 在每次迭代 \( k \)： a. 计算梯度 \( g_ k = \nabla f(x_ k) \)。 b. 通过随机采样技术构造 分块对角 的Hessian近似矩阵 \( B_ k = \text{blkdiag}(B_ k^{(1)}, \dots, B_ k^{(m)}) \)。 c. 求解分块对角线性系统 \( B_ k s_ k = -g_ k \)（每个块独立求解）。 d. 沿方向 \( s_ k \) 执行线搜索更新 \( x_ {k+1} = x_ k + \alpha_ k s_ k \)。 e. 利用随机采样的梯度差信息，按分块更新每个 \( B_ k^{(i)} \)。 第三步：分块Hessian近似的随机化构造 随机采样梯度差 ： 设当前迭代点为 \( x_ k \)。定义采样集合 \( S_ k \subset \{1, \dots, N\} \)，其中 \( N \) 是用于估计梯度的样本总数（例如，\( f(x) = \frac{1}{N} \sum_ {j=1}^N f_ j(x) \) 的有限和形式）。随机选取子集 \( S_ k \)（例如，均匀采样 \( |S_ k| \ll N \)），计算随机梯度： \[ \tilde{g} k = \frac{1}{|S_ k|} \sum {j \in S_ k} \nabla f_ j(x_ k). \] 类似地计算 \( \tilde{g}_ {k+1} \)，并定义随机梯度差 \( \tilde{y} k = \tilde{g} {k+1} - \tilde{g}_ k \)。 分块对角近似 ： 假设变量分块后，Hessian近似矩阵具有分块对角结构，即不同变量块之间近似独立。我们将 \( \tilde{y}_ k \) 按变量分块划分为 \( \tilde{y}_ k = [ \tilde{y}_ k^{(1)\top}, \dots, \tilde{y} k^{(m)\top} ]^\top \)，对应每个块的梯度差。对每个块 \( i \)，构造局部拟牛顿方程： \[ B {k+1}^{(i)} s_ k^{(i)} = \tilde{y} k^{(i)}, \] 其中 \( s_ k^{(i)} \) 是 \( s_ k \) 的第 \( i \) 块。通过 局部BFGS更新 ： \[ B {k+1}^{(i)} = B_ k^{(i)} + \frac{\tilde{y}_ k^{(i)} \tilde{y}_ k^{(i)\top}}{\tilde{y}_ k^{(i)\top} s_ k^{(i)}} - \frac{B_ k^{(i)} s_ k^{(i)} s_ k^{(i)\top} B_ k^{(i)}}{s_ k^{(i)\top} B_ k^{(i)} s_ k^{(i)}}. \] 注意：此更新仅依赖于块内变量，计算复杂度仅为 \( O(n_ i^2) \)。所有块可并行更新。 初始化与正则化 ： 初始矩阵 \( B_ 0^{(i)} \) 可设为标量矩阵 \( \gamma_ 0 I_ {n_ i} \)，其中 \( \gamma_ 0 \) 通过随机梯度信息估计（如 \( \gamma_ 0 = \frac{\tilde{y}_ 0^\top s_ 0}{s_ 0^\top s_ 0} \)）。为确保数值稳定性，可引入正则化项防止矩阵病态。 第四步：分块对角线性系统的求解 由于 \( B_ k = \text{blkdiag}(B_ k^{(1)}, \dots, B_ k^{(m)}) \)，拟牛顿方程 \( B_ k s_ k = -g_ k \) 分解为 \( m \) 个独立子系统： \[ B_ k^{(i)} s_ k^{(i)} = -g_ k^{(i)}, \quad i=1,\dots,m. \] 每个子系统维度为 \( n_ i \)。求解方法可选： 若 \( n_ i \) 很小，可直接用Cholesky分解（\( B_ k^{(i)} \) 对称正定）。 若 \( n_ i \) 中等，可用共轭梯度法（CG）迭代求解。 由于分块独立，可并行求解所有子系统，大幅提升效率。 第五步：算法完整流程与伪代码 输入：初始点 \( x_ 0 \)，划分块数 \( m \)，采样批量大小 \( |S_ k| \)，线搜索参数，最大迭代次数 \( T \)。 初始化：对每个块 \( i \)，设 \( B_ 0^{(i)} = \gamma_ 0 I_ {n_ i} \)。 For \( k = 0, 1, \dots, T-1 \)： a. 随机采样集合 \( S_ k \)，计算随机梯度 \( \tilde{g} k \)。 b. 并行求解 \( B_ k^{(i)} s_ k^{(i)} = -\tilde{g} k^{(i)} \) 得到搜索方向 \( s_ k \)。 c. 执行线搜索（如Wolfe条件）确定步长 \( \alpha_ k \)，更新 \( x {k+1} = x_ k + \alpha_ k s_ k \)。 d. 随机采样集合 \( S {k+1} \)，计算 \( \tilde{g}_ {k+1} \) 和 \( \tilde{y} k = \tilde{g} {k+1} - \tilde{g} k \)。 e. 并行更新每个分块近似矩阵： \[ B {k+1}^{(i)} = \text{BFGS_ update}(B_ k^{(i)}, s_ k^{(i)}, \tilde{y}_ k^{(i)}). \] 输出：近似最优解 \( x_ T \)。 第六步：算法特性与优势分析 计算效率 ： 存储成本：分块对角结构仅需存储 \( \sum_ {i=1}^m n_ i^2 \ll n^2 \) 个元素。 求解成本：每个块独立求解，复杂度从 \( O(n^3) \) 降至 \( O(\max_ i n_ i^3) \)，且可并行化。 梯度计算：随机采样将梯度计算成本从 \( O(Nn) \) 降至 \( O(|S_ k| n) \)。 收敛性保证 ： 在标准假设（如 \( f \) 强凸且Lipschitz光滑）下，若采样批量大小 \( |S_ k| \) 随迭代适当增加，算法可收敛到最优解。 分块对角近似相当于对Hessian做块对角近似，若原Hessian接近块对角结构，则近似误差小，收敛快。 灵活性 ： 划分策略可根据问题结构（如变量分组独立性）调整，以平衡近似精度与计算成本。 随机采样策略可结合方差缩减技术（如SVRG）进一步加速收敛。 总结 本算法将 分块矩阵技术 与 随机化方法 结合，针对大规模无约束优化问题，设计了分块随机化BFGS算法。它通过分块对角近似降低存储与计算复杂度，并利用随机采样减少梯度计算量，在保持拟牛顿法超线性收敛特性的同时，实现了计算效率的大幅提升。该框架可推广至其他拟牛顿更新公式（如SR1）及更复杂的矩阵分块结构。