快速幂法求解线性递推关系的高效矩阵算法

字数 2724 2025-12-14 21:10:53

快速幂法求解线性递推关系的高效矩阵算法

题目描述
给定一个k阶线性齐次递推关系，形如：

\[a_{n} = c_1 a_{n-1} + c_2 a_{n-2} + \dots + c_k a_{n-k}, \quad n \ge k \]

已知初始值 \(a_0, a_1, \dots, a_{k-1}\) 和系数 \(c_1, c_2, \dots, c_k\)，要求高效计算第n项 \(a_n\)，其中n通常很大（例如 \(n = 10^{18}\)）。直接递推需要 \(O(n)\) 时间，不可接受。本算法通过构造矩阵并利用矩阵快速幂，将时间复杂度降为 \(O(k^3 \log n)\)。

逐步讲解

问题转化：构造伴随矩阵
将递推式转化为矩阵形式。定义状态向量：

\[ \mathbf{v}_n = \begin{bmatrix} a_{n} \\ a_{n-1} \\ \vdots \\ a_{n-k+1} \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^k \]

根据递推关系，可写出：

\[ \mathbf{v}_n = \begin{bmatrix} c_1 & c_2 & \cdots & c_{k-1} & c_k \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \end{bmatrix} \mathbf{v}_{n-1} = M \mathbf{v}_{n-1} \]

矩阵 \(M\) 称为伴随矩阵（companion matrix），其第一行为递推系数，次对角线下方全为1，其余为0。

递推的矩阵表示
反复应用上述关系，得到：

\[ \mathbf{v}_n = M \mathbf{v}_{n-1} = M^2 \mathbf{v}_{n-2} = \dots = M^{n-k+1} \mathbf{v}_{k-1} \]

其中初始向量 \(\mathbf{v}_{k-1} = [a_{k-1}, a_{k-2}, \dots, a_0]^T\)。
目标 \(a_n\) 是 \(\mathbf{v}_n\) 的第一个分量，即 \(a_n = \mathbf{e}_1^T M^{n-k+1} \mathbf{v}_{k-1}\)，其中 \(\mathbf{e}_1 = [1,0,\dots,0]^T\)。

核心：矩阵快速幂
计算 \(M^{n-k+1}\) 若直接连乘需 \(O(n)\) 次矩阵乘法。利用快速幂思想（如计算标量 \(a^b\) 的二分幂）：
- 将指数 \(m = n-k+1\) 二进制分解：\(m = \sum_{i} 2^{b_i}\)。
- 预处理 \(M^{2^0}, M^{2^1}, M^{2^2}, \dots\) 通过反复平方：\(M^{2^{i+1}} = (M^{2^i})^2\)。
- 将对应的幂次矩阵相乘：\(M^m = \prod_{i} M^{2^{b_i}}\)。
  每次矩阵乘法（\(k \times k\) 矩阵）需 \(O(k^3)\) 时间，共有 \(O(\log n)\) 次乘法，总复杂度 \(O(k^3 \log n)\)。
算法步骤
(1) 输入：阶数k，系数数组 \(c[1..k]\)，初始值数组 \(a[0..k-1]\)，目标索引n。
(2) 若 \(n < k\)，直接返回 \(a[n]\)。
(3) 构造 \(k \times k\) 伴随矩阵 \(M\)：
- 第一行：\(M[1][j] = c_j\)（\(j=1..k\)）
- 第i行（\(i=2..k\)）：\(M[i][i-1] = 1\)，其余为0。
(4) 计算 \(m = n - k + 1\)，用快速幂计算 \(P = M^m\)。
(5) 构造初始向量 \(\mathbf{v} = [a_{k-1}, a_{k-2}, \dots, a_0]^T\)。
(6) 计算 \(\mathbf{u} = P \mathbf{v}\)（矩阵乘向量）。
(7) 输出 \(a_n = \mathbf{u}[1]\)（向量的第一个分量）。
举例说明（斐波那契数列）
递推：\(F_n = F_{n-1} + F_{n-2}\)，初始 \(F_0=0, F_1=1\)。
- 阶数 \(k=2\)，系数 \(c_1=1, c_2=1\)，初始向量 \(\mathbf{v}_1 = [F_1, F_0]^T = [1,0]^T\)。
- 伴随矩阵 \(M = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\)。
- 计算 \(F_{10}\)：\(m = 10-2+1 = 9\)。
  \(9 = 8+1\)，平方过程：
  \(M^1 = M\),
  \(M^2 = M \cdot M = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\),
  \(M^4 = (M^2)^2 = \begin{bmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}\),
  \(M^8 = (M^4)^2 = \begin{bmatrix} 34 & 21 \\ 21 & 13 \end{bmatrix}\)，
  则 \(M^9 = M^8 \cdot M^1 = \begin{bmatrix} 55 & 34 \\ 34 & 21 \end{bmatrix}\)。
- \(\mathbf{u} = M^9 \mathbf{v}_1 = [55, 34]^T\)，故 \(F_{10} = 55\)，正确。
优化与扩展
- 若只需单项 \(a_n\)，可只计算 \(M^m\) 的第一行（用快速幂结合线性递推性质，可优化到 \(O(k^2 \log n)\)）。
- 可推广到非齐次递推（增加常数项）或带前k项线性组合的递推。
- 在模算术下（如大数取模），矩阵元素在模意义下运算，适合大指数问题。

总结
本算法将线性递推转化为矩阵幂问题，利用快速幂大幅降低计算量，是处理大索引递推问题的标准技术，广泛应用于动态规划加速、多项式计算、组合计数等领域。

快速幂法求解线性递推关系的高效矩阵算法题目描述给定一个k阶线性齐次递推关系，形如： \[ a_ {n} = c_ 1 a_ {n-1} + c_ 2 a_ {n-2} + \dots + c_ k a_ {n-k}, \quad n \ge k \] 已知初始值 \(a_ 0, a_ 1, \dots, a_ {k-1}\) 和系数 \(c_ 1, c_ 2, \dots, c_ k\)，要求高效计算第n项 \(a_ n\)，其中n通常很大（例如 \(n = 10^{18}\)）。直接递推需要 \(O(n)\) 时间，不可接受。本算法通过构造矩阵并利用矩阵快速幂，将时间复杂度降为 \(O(k^3 \log n)\)。逐步讲解问题转化：构造伴随矩阵将递推式转化为矩阵形式。定义状态向量： \[ \mathbf{v} n = \begin{bmatrix} a {n} \\ a_ {n-1} \\ \vdots \\ a_ {n-k+1} \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^k \] 根据递推关系，可写出： \[ \mathbf{v} n = \begin{bmatrix} c_ 1 & c_ 2 & \cdots & c {k-1} & c_ k \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \end{bmatrix} \mathbf{v} {n-1} = M \mathbf{v} {n-1} \] 矩阵 \(M\) 称为伴随矩阵（companion matrix），其第一行为递推系数，次对角线下方全为1，其余为0。递推的矩阵表示反复应用上述关系，得到： \[ \mathbf{v} n = M \mathbf{v} {n-1} = M^2 \mathbf{v} {n-2} = \dots = M^{n-k+1} \mathbf{v} {k-1} \] 其中初始向量 \(\mathbf{v} {k-1} = [ a {k-1}, a_ {k-2}, \dots, a_ 0 ]^T\)。目标 \(a_ n\) 是 \(\mathbf{v}_ n\) 的第一个分量，即 \(a_ n = \mathbf{e} 1^T M^{n-k+1} \mathbf{v} {k-1}\)，其中 \(\mathbf{e}_ 1 = [ 1,0,\dots,0 ]^T\)。核心：矩阵快速幂计算 \(M^{n-k+1}\) 若直接连乘需 \(O(n)\) 次矩阵乘法。利用快速幂思想（如计算标量 \(a^b\) 的二分幂）：将指数 \(m = n-k+1\) 二进制分解：\(m = \sum_ {i} 2^{b_ i}\)。预处理 \(M^{2^0}, M^{2^1}, M^{2^2}, \dots\) 通过反复平方：\(M^{2^{i+1}} = (M^{2^i})^2\)。将对应的幂次矩阵相乘：\(M^m = \prod_ {i} M^{2^{b_ i}}\)。每次矩阵乘法（\(k \times k\) 矩阵）需 \(O(k^3)\) 时间，共有 \(O(\log n)\) 次乘法，总复杂度 \(O(k^3 \log n)\)。算法步骤 (1) 输入：阶数k，系数数组 \(c[ 1..k]\)，初始值数组 \(a[ 0..k-1 ]\)，目标索引n。 (2) 若 \(n < k\)，直接返回 \(a[ n ]\)。 (3) 构造 \(k \times k\) 伴随矩阵 \(M\)： - 第一行：\(M[ 1][ j] = c_ j\)（\(j=1..k\)） - 第i行（\(i=2..k\)）：\(M[ i][ i-1 ] = 1\)，其余为0。 (4) 计算 \(m = n - k + 1\)，用快速幂计算 \(P = M^m\)。 (5) 构造初始向量 \(\mathbf{v} = [ a_ {k-1}, a_ {k-2}, \dots, a_ 0 ]^T\)。 (6) 计算 \(\mathbf{u} = P \mathbf{v}\)（矩阵乘向量）。 (7) 输出 \(a_ n = \mathbf{u}[ 1 ]\)（向量的第一个分量）。举例说明（斐波那契数列）递推：\(F_ n = F_ {n-1} + F_ {n-2}\)，初始 \(F_ 0=0, F_ 1=1\)。阶数 \(k=2\)，系数 \(c_ 1=1, c_ 2=1\)，初始向量 \(\mathbf{v}_ 1 = [ F_ 1, F_ 0]^T = [ 1,0 ]^T\)。伴随矩阵 \(M = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\)。计算 \(F_ {10}\)：\(m = 10-2+1 = 9\)。 \(9 = 8+1\)，平方过程： \(M^1 = M\), \(M^2 = M \cdot M = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\), \(M^4 = (M^2)^2 = \begin{bmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}\), \(M^8 = (M^4)^2 = \begin{bmatrix} 34 & 21 \\ 21 & 13 \end{bmatrix}\)，则 \(M^9 = M^8 \cdot M^1 = \begin{bmatrix} 55 & 34 \\ 34 & 21 \end{bmatrix}\)。 \(\mathbf{u} = M^9 \mathbf{v} 1 = [ 55, 34]^T\)，故 \(F {10} = 55\)，正确。优化与扩展若只需单项 \(a_ n\)，可只计算 \(M^m\) 的第一行（用快速幂结合线性递推性质，可优化到 \(O(k^2 \log n)\)）。可推广到非齐次递推（增加常数项）或带前k项线性组合的递推。在模算术下（如大数取模），矩阵元素在模意义下运算，适合大指数问题。总结本算法将线性递推转化为矩阵幂问题，利用快速幂大幅降低计算量，是处理大索引递推问题的标准技术，广泛应用于动态规划加速、多项式计算、组合计数等领域。