Kogbetliantz迭代算法计算矩阵奇异值
字数 3096 2025-12-14 18:39:32

Kogbetliantz迭代算法计算矩阵奇异值

1. 问题描述

假设我们有一个任意 \(m \times n\) 实矩阵 \(A\)，想计算它的所有奇异值（即矩阵 \(A^T A\) 的特征值的平方根）。
一种经典方法是Kogbetliantz迭代算法，也称为双对角化SVD算法的变体。它通过对矩阵反复进行平面旋转（Jacobi旋转），逐步将矩阵对角化，从而直接得到奇异值，而无需先形成 \(A^T A\)。
这个算法特别适合中小规模的稠密矩阵，且数值稳定性较好。

2. 算法基本思想

Kogbetliantz算法是双边Jacobi SVD算法的一种形式。其核心思想是：

  • 对 \(A\) 交替左乘和右乘正交矩阵（Givens旋转矩阵），每次消除一对非对角线元素。
  • 通过反复的相似变换，使 \(A\) 逐渐趋近于对角矩阵 \(\Sigma\)（其对角线就是奇异值）。
  • 最终得到分解：

\[ A = U \Sigma V^T \]

其中 \(U\) 和 \(V\) 是左右奇异向量构成的矩阵。

3. 核心步骤详解

步骤1：问题转换

给定矩阵 \(A \in \mathbb{R}^{m \times n}\)，假设 \(m \ge n\)（若 \(m < n\)，可对 \(A^T\) 计算）。
目标是找到正交矩阵 \(U\) 和 \(V\)，使得：

\[U^T A V = \Sigma = \text{diag}(\sigma_1, \dots, \sigma_n) \in \mathbb{R}^{m \times n} \]

这里 \(\Sigma\) 的上半部分是一个 \(n \times n\) 对角矩阵，下方是零矩阵。

步骤2：基本旋转操作

Kogbetliantz每次选取两个行列索引 \((p, q)\)（\(1 \le p < q \le n\)），构造一对Givens旋转矩阵 \(J_L\) 和 \(J_R\)：

  • 左乘 \(J_L^T\) 作用于第 \(p\) 行和第 \(q\) 行，使矩阵的 \((p, q)\) 位置元素为零。
  • 右乘 \(J_R\) 作用于第 \(p\) 列和第 \(q\) 列，使矩阵的 \((q, p)\) 位置元素为零。

具体来说：

  1. 设当前矩阵为 \(B\)（初始时 \(B = A\)）。
  2. 取子矩阵：

\[\begin{pmatrix} b_{pp} & b_{pq} \\ b_{qp} & b_{qq} \end{pmatrix} \]

目标是将其对角化，即通过正交变换使其非对角线元素为零。

步骤3：计算旋转参数

对于 \(2 \times 2\) 子矩阵：

\[S = \begin{pmatrix} b_{pp} & b_{pq} \\ b_{qp} & b_{qq} \end{pmatrix} \]

计算其SVD（对 \(2 \times 2\) 矩阵可直接解析求解）：

  • 找到正交矩阵 \(P, Q\) 使得 \(P^T S Q = D = \text{diag}(d_1, d_2)\)。

实际上，可以这样计算：

  1. 计算对称矩阵 \(S^T S\) 的特征值和特征向量：

\[S^T S = \begin{pmatrix} b_{pp}^2 + b_{qp}^2 & b_{pp}b_{pq} + b_{qp}b_{qq} \\ b_{pp}b_{pq} + b_{qp}b_{qq} & b_{pq}^2 + b_{qq}^2 \end{pmatrix} \]

  1. 对 \(S^T S\) 做Jacobi旋转使其对角化，得到旋转矩阵 \(Q\)。
  2. 类似对 \(S S^T\) 处理得到 \(P\)。

但更常用的简化做法是：

  • 直接对 \(S\) 做双边Jacobi旋转：
    取左旋 \(J_L\) 和右旋 \(J_R\) 使得：

\[ J_L^T S J_R = \text{diag}(d_1, d_2) \]

参数可通过解一个小型优化问题得到，其闭式解类似于对 \(2 \times 2\) 矩阵做SVD的显式公式。

步骤4：应用旋转到整个矩阵

  • 左乘 \(J_L^T\) 作用于 \(B\) 的第 \(p\) 行和第 \(q\) 行，更新 \(B\) 的这两行。
  • 右乘 \(J_R\) 作用于 \(B\) 的第 \(p\) 列和第 \(q\) 列，更新 \(B\) 的这两列。
  • 同时累计左右变换到 \(U\) 和 \(V\) 中：

\[ U := U \cdot J_L, \quad V := V \cdot J_R \]

初始时 \(U = I_m\), \(V = I_n\)。

步骤5：迭代策略

通常按循环顺序遍历所有索引对 \((p, q)\)：

  • 经典顺序：\((1,2), (1,3), \dots, (1,n), (2,3), \dots, (n-1,n)\)。
  • 重复扫描直到所有非对角线元素小于某个阈值 \(\epsilon\)。

步骤6：收敛判定

计算非对角线范数：

\[\text{off}(B) = \sqrt{ \sum_{i \neq j} b_{ij}^2 } \]

当 \(\text{off}(B) < \epsilon \cdot \|B\|_F\) 时停止。此时 \(B\) 的对角线元素即为奇异值的近似。

4. 数值注意事项

  • 每次旋转只改变两行和两列，因此计算量为 \(O(m+n)\) 每次旋转，总体为 \(O(k \cdot (m+n))\)，k 是迭代次数。
  • 对大型矩阵，Kogbetliantz通常不如分而治之的双对角化SVD快，但对中小矩阵是稳定且精确的。
  • 需注意累积正交变换时的数值误差，但Givens旋转本身是数值稳定的。

5. 示例（2×2矩阵单步演示）

设：

\[A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \]

目标：一次Kogbetliantz迭代将其对角化。

  1. 选 \((p,q) = (1,2)\)。
  2. 对 \(2 \times 2\) 矩阵自身做SVD：
    • 计算旋转矩阵 \(P, Q\) 使 \(P^T A Q\) 对角。
    • 这里可直接用解析SVD公式（或2×2 Jacobi SVD）。
  3. 对 \(A\) 应用 \(P, Q\) 得到对角矩阵 \(\Sigma\)，其对角线即为奇异值。

实际计算（简略）：

  • 奇异值约为 \(\sigma_1 \approx 5.398, \sigma_2 \approx 0.3715\)。
  • 一次旋转即完成对角化（因为矩阵本身是2×2）。

6. 总结

Kogbetliantz算法通过一系列双边Jacobi旋转，逐步将矩阵对角化，直接得到奇异值。它避免了显式计算 \(A^T A\)，因此数值稳定性优于先求特征值的方法。虽然对大规模矩阵较慢，但它是理解SVD迭代计算的一个经典算法，并且在需要高精度的小矩阵场景中仍有应用价值。

Kogbetliantz迭代算法计算矩阵奇异值 1. 问题描述 假设我们有一个任意 \( m \times n \) 实矩阵 \( A \)，想计算它的 所有奇异值 （即矩阵 \( A^T A \) 的特征值的平方根）。 一种经典方法是 Kogbetliantz迭代算法 ，也称为 双对角化SVD算法 的变体。它通过对矩阵反复进行 平面旋转 （Jacobi旋转），逐步将矩阵对角化，从而直接得到奇异值，而无需先形成 \( A^T A \)。 这个算法特别适合中小规模的稠密矩阵，且数值稳定性较好。 2. 算法基本思想 Kogbetliantz算法是 双边Jacobi SVD算法 的一种形式。其核心思想是： 对 \( A \) 交替左乘和右乘 正交矩阵 （Givens旋转矩阵），每次消除一对 非对角线元素 。 通过反复的相似变换，使 \( A \) 逐渐趋近于对角矩阵 \( \Sigma \)（其对角线就是奇异值）。 最终得到分解： \[ A = U \Sigma V^T \] 其中 \( U \) 和 \( V \) 是左右奇异向量构成的矩阵。 3. 核心步骤详解 步骤1：问题转换 给定矩阵 \( A \in \mathbb{R}^{m \times n} \)，假设 \( m \ge n \)（若 \( m < n \)，可对 \( A^T \) 计算）。 目标是找到正交矩阵 \( U \) 和 \( V \)，使得： \[ U^T A V = \Sigma = \text{diag}(\sigma_ 1, \dots, \sigma_ n) \in \mathbb{R}^{m \times n} \] 这里 \( \Sigma \) 的上半部分是一个 \( n \times n \) 对角矩阵，下方是零矩阵。 步骤2：基本旋转操作 Kogbetliantz每次选取两个行列索引 \( (p, q) \)（\( 1 \le p < q \le n \)），构造 一对Givens旋转矩阵 \( J_ L \) 和 \( J_ R \)： 左乘 \( J_ L^T \) 作用于第 \( p \) 行和第 \( q \) 行，使矩阵的 \( (p, q) \) 位置元素为零。 右乘 \( J_ R \) 作用于第 \( p \) 列和第 \( q \) 列，使矩阵的 \( (q, p) \) 位置元素为零。 具体来说： 设当前矩阵为 \( B \)（初始时 \( B = A \)）。 取子矩阵： \[ \begin{pmatrix} b_ {pp} & b_ {pq} \\ b_ {qp} & b_ {qq} \end{pmatrix} \] 目标是将其对角化，即通过正交变换使其非对角线元素为零。 步骤3：计算旋转参数 对于 \( 2 \times 2 \) 子矩阵： \[ S = \begin{pmatrix} b_ {pp} & b_ {pq} \\ b_ {qp} & b_ {qq} \end{pmatrix} \] 计算其 SVD （对 \( 2 \times 2 \) 矩阵可直接解析求解）： 找到正交矩阵 \( P, Q \) 使得 \( P^T S Q = D = \text{diag}(d_ 1, d_ 2) \)。 实际上，可以这样计算： 计算对称矩阵 \( S^T S \) 的特征值和特征向量： \[ S^T S = \begin{pmatrix} b_ {pp}^2 + b_ {qp}^2 & b_ {pp}b_ {pq} + b_ {qp}b_ {qq} \\ b_ {pp}b_ {pq} + b_ {qp}b_ {qq} & b_ {pq}^2 + b_ {qq}^2 \end{pmatrix} \] 对 \( S^T S \) 做Jacobi旋转使其对角化，得到旋转矩阵 \( Q \)。 类似对 \( S S^T \) 处理得到 \( P \)。 但更常用的简化做法是： 直接对 \( S \) 做 双边Jacobi旋转 ： 取左旋 \( J_ L \) 和右旋 \( J_ R \) 使得： \[ J_ L^T S J_ R = \text{diag}(d_ 1, d_ 2) \] 参数可通过解一个小型优化问题得到，其闭式解类似于对 \( 2 \times 2 \) 矩阵做SVD的显式公式。 步骤4：应用旋转到整个矩阵 左乘 \( J_ L^T \) 作用于 \( B \) 的第 \( p \) 行和第 \( q \) 行，更新 \( B \) 的这两行。 右乘 \( J_ R \) 作用于 \( B \) 的第 \( p \) 列和第 \( q \) 列，更新 \( B \) 的这两列。 同时累计左右变换到 \( U \) 和 \( V \) 中： \[ U := U \cdot J_ L, \quad V := V \cdot J_ R \] 初始时 \( U = I_ m \), \( V = I_ n \)。 步骤5：迭代策略 通常按 循环顺序 遍历所有索引对 \( (p, q) \)： 经典顺序：\( (1,2), (1,3), \dots, (1,n), (2,3), \dots, (n-1,n) \)。 重复扫描直到所有非对角线元素小于某个阈值 \( \epsilon \)。 步骤6：收敛判定 计算 非对角线范数 ： \[ \text{off}(B) = \sqrt{ \sum_ {i \neq j} b_ {ij}^2 } \] 当 \( \text{off}(B) < \epsilon \cdot \|B\|_ F \) 时停止。此时 \( B \) 的对角线元素即为奇异值的近似。 4. 数值注意事项 每次旋转只改变两行和两列，因此计算量为 \( O(m+n) \) 每次旋转，总体为 \( O(k \cdot (m+n)) \)，k 是迭代次数。 对大型矩阵，Kogbetliantz通常不如分而治之的双对角化SVD快，但对中小矩阵是稳定且精确的。 需注意累积正交变换时的数值误差，但Givens旋转本身是数值稳定的。 5. 示例（2×2矩阵单步演示） 设： \[ A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \] 目标：一次Kogbetliantz迭代将其对角化。 选 \( (p,q) = (1,2) \)。 对 \( 2 \times 2 \) 矩阵自身做SVD： 计算旋转矩阵 \( P, Q \) 使 \( P^T A Q \) 对角。 这里可直接用解析SVD公式（或2×2 Jacobi SVD）。 对 \( A \) 应用 \( P, Q \) 得到对角矩阵 \( \Sigma \)，其对角线即为奇异值。 实际计算（简略）： 奇异值约为 \( \sigma_ 1 \approx 5.398, \sigma_ 2 \approx 0.3715 \)。 一次旋转即完成对角化（因为矩阵本身是2×2）。 6. 总结 Kogbetliantz算法通过一系列 双边Jacobi旋转 ，逐步将矩阵对角化，直接得到奇异值。它避免了显式计算 \( A^T A \)，因此数值稳定性优于先求特征值的方法。虽然对大规模矩阵较慢，但它是理解SVD迭代计算的一个经典算法，并且在需要高精度的小矩阵场景中仍有应用价值。