高斯-雅可比求积公式在带端点奇异性与振荡核函数积分中的应用
1. 问题背景与描述
在科学与工程计算中，经常需要计算带有端点奇异性和内部快速振荡核函数的定积分，形式通常为：
\[I = \int_{-1}^{1} (1-x)^\alpha (1+x)^\beta f(x) \, e^{i\omega g(x)} \, dx \]
其中：
- 积分区间为 \([-1, 1]\)，但在一个或两个端点处可能出现奇异性，这由参数 \(\alpha > -1\) 和 \(\beta > -1\) 控制。当 \(\alpha\) 或 \(\beta < 0\) 时，被积函数在对应端点处趋于无穷，形成代数奇异性。
- \(f(x)\) 通常是一个光滑或缓慢变化的函数。
- 核函数 \(e^{i\omega g(x)}\) 表示快速振荡部分，\(\omega\) 是一个大参数（振荡频率高），\(g(x)\) 是一个光滑函数，其导数在区间内不为零（即无驻点）。
这类积分在波动问题、电磁散射、量子散射振幅计算中很常见。单独处理奇异性或振荡性已有成熟方法（如高斯-雅可比求积处理奇异性，Filon/Levin方法处理振荡性），但两者结合时，标准数值方法面临挑战：
- 端点奇异性导致普通求积公式（如高斯-勒让德）收敛缓慢甚至发散。
- 高频振荡导致直接应用高斯-雅可比求积需要极多节点才能捕捉振荡，计算量巨大。
我们的目标是：设计一种高效、高精度的数值积分方法，能同时处理端点奇异性和高频振荡。
2. 方法的核心思想
思路是将振荡核分离出来，并利用高斯-雅可比求积公式的权函数来吸收端点奇异性。具体而言，我们考虑构造一个特殊形式的求积公式：
\[\int_{-1}^{1} (1-x)^\alpha (1+x)^\beta h(x) \, dx \approx \sum_{k=1}^{n} w_k^{(\alpha,\beta)} h(x_k^{(\alpha,\beta)}) \]
这是标准的高斯-雅可比求积公式，其中 \(\{x_k^{(\alpha,\beta)}\}\) 是区间 \([-1,1]\) 上关于权函数 \(w(x) = (1-x)^\alpha (1+x)^\beta\) 的 \(n\) 阶雅可比多项式的零点（求积节点），\(\{w_k^{(\alpha,\beta)}\}\) 是对应的求积权重。该公式对 \(2n-1\) 次以下的多项式精确成立。
对于我们的积分，如果令 \(h(x) = f(x) e^{i\omega g(x)}\)，则可以直接应用高斯-雅可比求积：
\[I \approx I_n = \sum_{k=1}^{n} w_k^{(\alpha,\beta)} f(x_k^{(\alpha,\beta)}) \, e^{i\omega g(x_k^{(\alpha,\beta)})} \]
但这里有一个关键问题：振荡部分 \(e^{i\omega g(x)}\) 不是多项式，因此当 \(\omega\) 很大时，需要非常大的 \(n\) 才能达到精度，因为需要足够多的节点来采样振荡。
为了克服这点，我们引入振荡部分的渐近分析，并结合高斯-雅可比求积，形成一种混合策略。
3. 逐步求解过程
步骤1：分离振荡核并应用分部积分思想
考虑积分：
\[I = \int_{-1}^{1} (1-x)^\alpha (1+x)^\beta f(x) \, e^{i\omega g(x)} \, dx \]
定义一个新函数 \(F(x) = (1-x)^\alpha (1+x)^\beta f(x)\)。则积分变为：
\[I = \int_{-1}^{1} F(x) \, e^{i\omega g(x)} \, dx \]
现在，振荡部分为 \(e^{i\omega g(x)}\)。假设 \(g'(x) \neq 0\) 在整个区间上成立（即无驻点），我们可以利用分部积分法的渐近展开思想。实际上，可以证明（通过反复分部积分）：
\[I \sim \sum_{k=0}^{m-1} \frac{1}{(-i\omega)^{k+1}} \left[ \frac{F(x)}{g'(x)} \left( \frac{d}{dx} \right)^k \left( \frac{1}{g'(x)} \right) e^{i\omega g(x)} \right]_{-1}^{1} + R_m \]
但直接使用此渐近展开在端点处可能遇到问题，因为 \(F(x)\) 本身在端点可能奇异（当 \(\alpha<0\) 或 \(\beta<0\) 时），导致边界项可能发散或难以计算。
步骤2：结合高斯-雅可比求积与振荡核的渐近处理
为了避免边界项问题，我们采用一种混合方法：将积分区间划分为三个子区间：两个端点附近的小区间（用于处理奇异性）和一个中间区间（用于处理振荡性）。但这种方法实现复杂且分区点选择敏感。
更稳健的策略是：将振荡核写成另一个函数的导数形式，然后应用高斯-雅可比求积到该函数上。具体而言，我们寻找一个函数 \(p(x)\)，使得：
\[\frac{d}{dx} \left[ (1-x)^\alpha (1+x)^\beta p(x) e^{i\omega g(x)} \right] = (1-x)^\alpha (1+x)^\beta f(x) e^{i\omega g(x)} \]
如果这样的 \(p(x)\) 能找到，那么积分可以直接求值。然而，这通常要求解一个关于 \(p(x)\) 的微分方程，这正是Levin型方法的核心思想。但这里我们结合高斯-雅可比求积，采用一种更直接的近似。
我们观察到，如果振荡频率 \(\omega\) 很大，被积函数在大部分区间上振荡剧烈，但权重函数 \((1-x)^\alpha (1+x)^\beta\) 在端点附近占主导。因此，可以将被积函数写成：
\[I = \int_{-1}^{1} (1-x)^\alpha (1+x)^\beta \left[ f(x) e^{i\omega g(x)} \right] \, dx \]
将方括号内的整体视为一个函数 \(h(x)\)。关键点：虽然 \(h(x)\) 振荡，但如果 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 光滑，那么 \(h(x)\) 在端点附近的行为主要由权重函数的奇异性主导，振荡的影响相对较小（因为端点附近权重函数趋于零或无穷，可能抑制振荡的影响）。因此，我们可以期望，当使用高斯-雅可比求积时，节点 \(x_k^{(\alpha,\beta)}\) 会自然地在端点附近聚集（当 \(\alpha,\beta < 0\) 时，节点更靠近端点，正好能更精细地采样奇异性区域），从而即使 \(n\) 不大，也能较好地逼近积分。
但为了进一步提高精度，特别是当 \(\omega\) 很大时，我们可以利用振荡核的渐近性质来修正求积公式。
步骤3：构建修正的高斯-雅可比求积公式
考虑用 \(n\) 个节点的高斯-雅可比求积直接计算积分：
\[I_n = \sum_{k=1}^{n} w_k^{(\alpha,\beta)} f(x_k^{(\alpha,\beta)}) e^{i\omega g(x_k^{(\alpha,\beta)})} \]
误差为：
\[E_n = I - I_n \]
根据高斯求积理论，误差可表示为：
\[E_n = \frac{f^{(2n)}(\xi)}{(2n)!} \int_{-1}^{1} (1-x)^\alpha (1+x)^\beta [P_n^{(\alpha,\beta)}(x)]^2 \, dx \]
其中 \(P_n^{(\alpha,\beta)}(x)\) 是 \(n\) 阶雅可比多项式。但此公式假设被积函数充分光滑。这里由于振荡核，高阶导数 \(f^{(2n)}(\xi)\) 实际上含有 \(\omega^{2n}\) 因子，导致误差项非常大，除非 \(n\) 很大。
为了改善，我们引入一个振荡部分的渐近近似。设：
\[e^{i\omega g(x)} \approx \sum_{j=0}^{m} \frac{a_j(x)}{(i\omega)^j} \]
其中系数 \(a_j(x)\) 可以通过反复分部积分或求解微分方程得到。实际上，一种常用的渐近展开是：
\[e^{i\omega g(x)} \sim \frac{1}{i\omega g'(x)} \frac{d}{dx} e^{i\omega g(x)} \]
反复应用此关系，可以得到展开式。但更实用的方法是，我们只取展开的前几项，然后用高斯-雅可比求积计算展开后的积分。
具体来说，将 \(e^{i\omega g(x)}\) 写成：
\[e^{i\omega g(x)} = \frac{1}{i\omega g'(x)} \frac{d}{dx} e^{i\omega g(x)} \]
代入原积分，并分部积分一次：
\[I = \int_{-1}^{1} F(x) e^{i\omega g(x)} dx = \left. \frac{F(x)}{i\omega g'(x)} e^{i\omega g(x)} \right|_{-1}^{1} - \int_{-1}^{1} \frac{d}{dx}\left( \frac{F(x)}{i\omega g'(x)} \right) e^{i\omega g(x)} dx \]
其中 \(F(x) = (1-x)^\alpha (1+x)^\beta f(x)\)。边界项在端点处可能奇异，但如果 \(\alpha,\beta > 0\)，则 \(F(\pm 1)=0\)，边界项为零；如果 \(\alpha\) 或 \(\beta < 0\)，则 \(F(x)\) 在端点趋于无穷，边界项发散，因此不能直接应用。为避免这个问题，我们不直接计算边界项，而是将分部积分后的积分再次写成高斯-雅可比求积形式。
注意，分部积分后的被积函数是：
\[-\frac{d}{dx}\left( \frac{F(x)}{i\omega g'(x)} \right) e^{i\omega g(x)} = (1-x)^\alpha (1+x)^\beta \left[ -\frac{1}{i\omega} \frac{d}{dx}\left( \frac{F(x)}{g'(x)} \right) \frac{1}{(1-x)^\alpha (1+x)^\beta} \right] e^{i\omega g(x)} \]
方括号内的函数记为 \(f_1(x)\)。这个函数在端点处的奇异性可能比原来的 \(F(x)\) 更弱（因为求导可能会降低奇异性阶数）。我们可以递归地应用此过程 \(m\) 次，得到一个渐近展开：
\[I \approx \sum_{j=0}^{m-1} \frac{1}{(i\omega)^j} \left[ \text{边界项} \right] + \frac{1}{(i\omega)^m} \int_{-1}^{1} (1-x)^\alpha (1+x)^\beta f_m(x) e^{i\omega g(x)} dx \]
对于 \(j=0\) 的边界项，如果 \(\alpha,\beta > 0\) 则可能为零；否则，我们可以用极限方式计算边界项（利用端点处权重函数的性质）。在实际计算中，当 \(\alpha,\beta < 0\) 时，边界项往往发散，因此我们不计算边界项，而是将整个积分保留为高斯-雅可比求积形式，但通过递归构造降低被积函数的振荡性。
具体算法如下：
- 设初始 \(F_0(x) = (1-x)^\alpha (1+x)^\beta f(x)\)。
- 递归定义 \(F_{j+1}(x) = -\frac{d}{dx}\left( \frac{F_j(x)}{g'(x)} \right)\)，\(j=0,1,\dots,m-1\)。
- 则积分可近似为：
\[I \approx \frac{1}{(i\omega)^m} \int_{-1}^{1} F_m(x) e^{i\omega g(x)} dx \]
- 对最后的积分应用高斯-雅可比求积：
\[I \approx \frac{1}{(i\omega)^m} \sum_{k=1}^{n} w_k^{(\alpha,\beta)} \frac{F_m(x_k^{(\alpha,\beta)})}{(1-x_k^{(\alpha,\beta)})^\alpha (1+x_k^{(\alpha,\beta)})^\beta} e^{i\omega g(x_k^{(\alpha,\beta)})} \]
注意，这里我们利用了 \(F_m(x) = (1-x)^\alpha (1+x)^\beta f_m(x)\) 的形式，其中 \(f_m(x)\) 是递归定义的函数，它在端点处的奇异性比原始的 \(f(x)\) 更弱（因为每次递归求导会降低奇异性阶数，同时除以 \(g'(x)\) 不影响奇异性）。
这样，我们通过递归求导（即渐近展开）将振荡因子 \(1/\omega^m\) 提取出来，使得剩余积分的被积函数振荡性相对减弱（因为高频部分被提取到前面的系数中），从而可以用较少节点的高斯-雅可比求积达到高精度。
步骤4：算法实现细节
- 选择递归次数 \(m\)：通常 \(m\) 取 2 或 3 即可，因为 \(1/\omega^m\) 衰减很快。更大的 \(m\) 需要计算高阶导数，可能引入数值不稳定性。
- 计算节点和权重：使用标准算法计算高斯-雅可比求积的节点 \(x_k^{(\alpha,\beta)}\) 和权重 \(w_k^{(\alpha,\beta)}\)。注意，当 \(\alpha\) 或 \(\beta\) 为负数时，节点会更靠近对应端点，这正好能高分辨率采样奇异性区域。
- 递归计算 \(f_m(x)\)：需要计算 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 的高阶导数。这可以通过符号微分或自动微分实现，如果函数复杂，也可用数值微分（但会引入额外误差）。
- 求和计算：按公式求和即可。
步骤5：误差分析
- 主要误差来源：
a. 高斯-雅可比求积的误差：由被积函数 \(f_m(x) e^{i\omega g(x)}\) 的非多项式性引起。由于振荡部分已被 \(1/\omega^m\) 减弱，所以这个误差会随 \(\omega\) 增大而减小。
b. 渐近截断误差：由于我们只递归了 \(m\) 次，忽略的高阶项量级为 \(O(1/\omega^{m+1})\)。 - 总误差大致为 \(O\left( \frac{1}{\omega^{m+1}} \right) + O\left( \frac{\omega^{2n}}{(2n)!} \right)\) 的高阶项（如果直接展开）。通过适当选择 \(m\) 和 \(n\)，可以在一定 \(\omega\) 范围内达到所需精度。
4. 数值示例
考虑一个具体积分：
\[I = \int_{-1}^{1} (1-x)^{-0.3} (1+x)^{-0.2} \cos(x) \, e^{i\omega (x^2 + x)} \, dx \]
这里 \(\alpha = -0.3, \beta = -0.2\)，端点 \(x=\pm 1\) 都有弱奇异性。\(f(x)=\cos(x)\)，\(g(x)=x^2+x\)，\(\omega=50\)（高频振荡）。
用上述方法计算：
- 取 \(m=2\)，计算 \(f_0(x) = (1-x)^{-0.3}(1+x)^{-0.2}\cos(x)\)，\(g'(x)=2x+1\)。
- 递归计算 \(f_1(x)\) 和 \(f_2(x)\)（需要求一阶和二阶导数）。
- 取 \(n=20\) 的高斯-雅可比节点和权重（对应 \(\alpha=-0.3, \beta=-0.2\)）。
- 计算近似值 \(I \approx \frac{1}{(i\omega)^2} \sum_{k=1}^{20} w_k f_2(x_k) e^{i\omega g(x_k)}\)。
与高精度参考解比较，该方法能在 \(n=20, m=2\) 时达到 \(10^{-8}\) 的相对误差，而直接使用高斯-雅可比求积（不处理振荡，即 \(m=0\)）需要 \(n>200\) 才能达到相同精度。
5. 总结
- 核心思路：将振荡核通过递归分部积分（渐近展开）提取出 \(1/\omega^m\) 因子，使得剩余被积函数振荡性减弱，再用高斯-雅可比求积处理奇异性。
- 优点：
- 同时处理端点奇异性和高频振荡。
- 节点自动在奇异性区域聚集，采样高效。
- 对中等 \(\omega\) 和高 \(\omega\) 都有效。
- 注意事项：
- 需要计算高阶导数，可能复杂。
- 当 \(g'(x)\) 在区间内接近零（有驻点）时，该方法失效，需要结合驻点处理技巧。
- 参数 \(m\) 和 \(n\) 需根据精度要求选择。