基于自适应有理变换的半无限区间高振荡积分的Gauss-Laguerre优化

题目描述
在物理、工程等领域，常需计算形如

\[I = \int_{0}^{\infty} f(x) \sin(\omega x) \, dx \]

的积分，其中被积函数包含高频振荡因子 \(\sin(\omega x)\)（\(\omega \gg 1\)），且积分区间为半无限区间。直接使用标准数值积分方法（如高斯-拉盖尔求积）通常效率低下，因为需要极多节点才能捕捉振荡。本题目要求：设计一种基于自适应有理变换的技巧，对原积分进行变量替换，将振荡行为部分吸收到新变量中，再应用高斯-拉盖尔求积公式计算，从而在较少的节点下获得高精度。

逐步解题过程

1. 问题分析
   原积分难点：

   • 积分区间为 \([0, \infty)\)，需处理无穷上限。
   • 被积函数高频振荡（\(\omega\) 大），标准数值积分需要节点间距远小于振荡周期，导致计算量剧增。
     高斯-拉盖尔求积公式适用于积分 \(\int_{0}^{\infty} e^{-x} g(x) dx\)，其权重函数为 \(e^{-x}\)，节点为拉盖尔多项式零点。但此处被积函数无自然指数衰减因子，且包含振荡，直接应用将失效。

2. 核心思路
   引入自适应有理变换：

\[ x = \phi(t) = \frac{t}{1 - t} \quad \text{或更一般地} \quad x = \phi(t) = c \frac{t}{1 - t} \]

其中 \(c > 0\) 为可调参数，将 \(x \in [0, \infty)\) 映射到 \(t \in [0, 1)\)。该变换可将无穷区间变为有限区间，且当 \(t \to 1\) 时，\(x \sim c/(1-t)\) 增长迅速，有助于压缩振荡尾部。但仅此变换未直接处理振荡，需进一步设计。

3. 构造含振荡吸收的变换
   考虑更精巧的变换，目标是使新被积函数振荡减缓。令：

\[ x = \phi(t) = -\frac{1}{\omega} \ln(1 - t) \]

其导数为 \(\phi'(t) = \frac{1}{\omega(1-t)}\)。代入原积分：

\[ I = \int_{0}^{1} f\!\left( -\frac{\ln(1-t)}{\omega} \right) \sin\!\left( -\omega \cdot \frac{\ln(1-t)}{\omega} \right) \cdot \frac{1}{\omega(1-t)} \, dt \]

化简振荡部分：\(\sin(-\ln(1-t)) = -\sin(\ln(1-t))\)。于是：

\[ I = -\frac{1}{\omega} \int_{0}^{1} \frac{f\!\left( -\frac{\ln(1-t)}{\omega} \right) \sin(\ln(1-t))}{1-t} \, dt \]

此时振荡因子从 \(\sin(\omega x)\) 变为 \(\sin(\ln(1-t))\)，振荡频率与 \(\omega\) 无关，仅与 \(\ln(1-t)\) 相关。当 \(t \to 1\) 时，\(\ln(1-t) \to -\infty\)，但 \(\sin(\ln(1-t))\) 振荡不再依赖于大参数 \(\omega\)，故新被积函数在 \(t \in [0,1)\) 上振荡显著减缓。

4. 匹配高斯-拉盖尔求积形式
   高斯-拉盖尔求积适用于权函数 \(e^{-x}\) 在 \([0,\infty)\) 上的积分。为利用其高效性，将上述变换后的积分再通过一次变量替换转换为标准形式。但更直接的方法是将原积分拆解为实指数衰减形式。
   另一种实用方案：利用恒等式 \(\sin(\omega x) = \operatorname{Im}(e^{i\omega x})\)，考虑复积分

\[ I = \operatorname{Im} \int_{0}^{\infty} f(x) e^{i\omega x} \, dx \]

然后对积分 \(\int_{0}^{\infty} f(x) e^{i\omega x} dx\) 应用有理变换。例如，设

\[ x = \phi(t) = -\frac{1}{i\omega} \ln(1-t) = \frac{i}{\omega} \ln(1-t) \]

但此变换会引入复变量，计算较复杂。为保持实数域，可改用如下变形：
观察到原积分可视为傅里叶正弦变换，利用已知的振荡积分技巧，构造自适应有理变换：

\[ x = \phi(t) = \frac{t}{\omega (1-t)} \]

此时 \(\omega x = \frac{t}{1-t}\)，则

\[ I = \int_{0}^{1} f\!\left( \frac{t}{\omega(1-t)} \right) \sin\!\left( \frac{t}{1-t} \right) \cdot \frac{1}{\omega (1-t)^2} \, dt \]

振荡因子变为 \(\sin(t/(1-t))\)，其振荡频率在 \(t \to 1\) 时趋于无穷，仍不理想。需优化变换以“均匀化”振荡。

5. 优化变换——自适应有理变换
   设计变换的目标是使新变量下振荡相位线性化。设 \(x = \psi(t)\)，要求 \(\omega \psi(t) = \alpha t\)（线性函数），则振荡项变为 \(\sin(\alpha t)\)，在整个区间上振荡均匀。解出 \(\psi(t) = \alpha t / \omega\)，但这会将积分区间变为 \([0, \alpha/\omega \cdot \infty)\)，仍为无穷区间。
   改进：令

\[ \omega \phi(t) = \frac{\alpha t}{1-t} \quad \Rightarrow \quad \phi(t) = \frac{\alpha t}{\omega(1-t)} \]

其中 \(\alpha > 0\) 为可调参数，控制振荡压缩程度。此时积分变为：

\[ I = \int_{0}^{1} f\!\left( \frac{\alpha t}{\omega(1-t)} \right) \sin\!\left( \frac{\alpha t}{1-t} \right) \cdot \frac{\alpha}{\omega (1-t)^2} \, dt \]

振荡因子为 \(\sin(\alpha t/(1-t))\)，当 \(t\) 接近 1 时振荡加剧，但可通过选择较小的 \(\alpha\)（如 \(\alpha=1\)）来控制振荡强度。至此，积分区间变为有限区间 \([0,1]\)，但被积函数在 \(t=1\) 处可能具有奇异性（因分母 \((1-t)^2\)）。为处理此奇异性，可再结合高斯-雅可比求积，但本题目要求用高斯-拉盖尔求积，故需进一步处理。

6. 转换为高斯-拉盖尔形式
   令 \(t = 1 - e^{-s}\)，则 \(s = -\ln(1-t) \in [0, \infty)\)，且 \(dt = e^{-s} ds\)。代入：

\[ I = \int_{0}^{\infty} f\!\left( \frac{\alpha (1-e^{-s})}{\omega e^{-s}} \right) \sin\!\left( \frac{\alpha (1-e^{-s})}{e^{-s}} \right) \cdot \frac{\alpha}{\omega e^{-2s}} \cdot e^{-s} \, ds \]

化简：\(\frac{1-e^{-s}}{e^{-s}} = e^{s} - 1\)，于是：

\[ I = \frac{\alpha}{\omega} \int_{0}^{\infty} f\!\left( \frac{\alpha (e^{s}-1)}{\omega} \right) \sin\!\left( \alpha (e^{s}-1) \right) e^{-s} \, ds \]

此时积分已化为标准高斯-拉盖尔形式 \(\int_{0}^{\infty} e^{-s} F(s) \, ds\)，其中

\[ F(s) = \frac{\alpha}{\omega} f\!\left( \frac{\alpha (e^{s}-1)}{\omega} \right) \sin\!\left( \alpha (e^{s}-1) \right) \]

注意 \(F(s)\) 仍包含振荡项 \(\sin(\alpha(e^{s}-1))\)，但指数 \(e^{s}\) 增长迅速，当 \(s\) 稍大时振荡频率极高。然而，指数衰减项 \(e^{-s}\) 能抑制大 \(s\) 区域的贡献，因此实际积分主要贡献来自 \(s\) 较小的区域，其中振荡频率可控。

7. 参数选择与自适应策略
   参数 \(\alpha\) 的选择影响收敛速度。若 \(f(x)\) 在无穷远处衰减（如代数衰减），可调整 \(\alpha\) 使振荡项 \(\sin(\alpha(e^{s}-1))\) 在主要积分区域变化平缓。一个经验法则是：令 \(\alpha = \omega / A\)，其中 \(A\) 是 \(f(x)\) 的特征尺度，使得新变量 \(s\) 下振荡周期与 \(e^{-s}\) 衰减尺度匹配。可通过数值试验自适应选取：先以较小的高斯-拉盖尔节点数（如 \(n=10\)）计算积分，然后倍增节点数，比较结果变化，若未收敛则调整 \(\alpha\)（例如 \(\alpha \leftarrow \alpha/2\)）并重新计算，直至相邻两次结果的相对误差小于指定容差。

8. 高斯-拉盖尔求积的应用
   采用 \(n\) 点高斯-拉盖尔求积公式：

\[ I \approx \sum_{k=1}^{n} w_k^{\text{GL}} F(s_k^{\text{GL}}) \]

其中 \(s_k^{\text{GL}}\) 是 \(n\) 次拉盖尔多项式 \(L_n(s)\) 的零点，\(w_k^{\text{GL}} = \frac{s_k^{\text{GL}}}{(n+1)^2 [L_{n+1}(s_k^{\text{GL}})]^2}\) 为对应权重。计算时需对每个节点 \(s_k^{\text{GL}}\) 求值 \(F(s_k^{\text{GL}})\)，即需计算 \(f\) 和正弦函数。

9. 误差分析
   误差来源：

   • 变换误差：变量替换的近似性。若 \(f(x)\) 在无穷远处衰减足够快，且变换后的被积函数足够光滑，则误差小。
   • 求积误差：高斯-拉盖尔公式的误差为 \(E_n = \frac{(n!)^2}{(2n)!} F^{(2n)}(\xi)\)，\(\xi \in (0,\infty)\)。当 \(F(s)\) 的高阶导数受控时，误差随 \(n\) 指数衰减。
   • 振荡残留误差：若 \(\alpha\) 选择不当，\(F(s)\) 在部分区间仍剧烈振荡，则需更多节点。自适应调整 \(\alpha\) 可缓解。

10. 数值验证示例
    以 \(f(x) = e^{-x^2}\)，\(\omega=100\) 为例。原积分解析解可用虚误差函数表示，但数值上直接计算困难。
    步骤：
    a. 取初始 \(\alpha = 1\)，\(n=20\)。
    b. 计算高斯-拉盖尔近似值 \(I_1\)。
    c. 倍增节点至 \(n=40\)，得 \(I_2\)。
    d. 若 \(|I_2 - I_1| < \text{tol}\)，接受结果；否则将 \(\alpha\) 减半，重复 b–d。
    实际计算中，通常迭代几次即可得到稳定结果。本例中，适当选取 \(\alpha \approx 0.1\) 可使 \(F(s)\) 振荡显著降低，用较少节点（如 \(n=30\)）即得高精度。

总结
本方法通过自适应有理变换将半无限区间的高振荡积分转化为高斯-拉盖尔求积形式，关键是将振荡因子通过非线性变换部分吸收，使新被积函数振荡减缓，再利用高斯-拉盖尔公式的高精度特性。自适应参数调整确保变换后的函数适合求积，从而在较小计算量下获得精确结果。此技巧适用于物理、工程中常见的振荡衰减型无穷积分。