SM4分组密码算法的密钥扩展算法中常数FK与CK的详细作用与设计依据
字数 2318 2025-12-14 17:01:58

SM4分组密码算法的密钥扩展算法中常数FK与CK的详细作用与设计依据

题目描述

SM4是中国国家商用密码算法标准中的一种分组密码算法，其分组长度为128比特，密钥长度也为128比特。在密钥扩展过程中，算法使用了两个关键的常数集合：FK（固定密钥）和CK（常量密钥）。题目要求详细解释FK和CK在密钥扩展算法中的作用，并阐述它们的设计依据（如数学性质、安全性考虑等）。

解题过程

我们将循序渐进地讲解FK和CK的作用、计算方式及其设计原理。

1. SM4密钥扩展算法概览

SM4的密钥扩展算法用于从一个128比特的主密钥（MK）生成32个轮密钥（rk0, rk1, ..., rk31），每个轮密钥为32比特。这个过程分为两步：

  • 初始化变换：利用常数FK，将主密钥MK转换为一个中间状态（K0, K1, K2, K3）。
  • 迭代生成轮密钥：利用常量CK，通过轮函数F对中间状态进行迭代，生成32个轮密钥。

FK和CK是算法的固定参数，不依赖于主密钥，其目的是消除密钥中的对称性，增强算法抵抗相关密钥攻击等密码分析的能力。

2. 常数FK的作用与计算

作用：

  • FK用于在密钥扩展的初始化阶段，与主密钥MK进行异或操作，打破MK可能存在的结构或模式（例如，全0、全1或低熵密钥），增加密钥材料的随机性。
  • 这能确保即使主密钥具有某种规律性，经过FK的混淆后，生成的中间状态也会变得无规律，从而提高轮密钥的伪随机性。

FK的具体值：
FK由四个32比特的常数组成（FK0, FK1, FK2, FK3），其值以十六进制表示如下：

FK0 = 0xA3B1BAC6
FK1 = 0x56AA3350
FK2 = 0x677D9197
FK3 = 0xB27022DC

这些值是通过在密码学中常用的常数（如自然常数e、圆周率π的十六进制表示）中选取特定片段得到的，以尽可能避免任何隐藏的后门或结构。

计算步骤：

  1. 将128比特主密钥MK分为四个32比特字：MK = (MK0, MK1, MK2, MK3)。
  2. 计算中间状态K： 
    K0 = MK0 ⊕ FK0
K1 = MK1 ⊕ FK1
K2 = MK2 ⊕ FK2
K3 = MK3 ⊕ FK3
    这里⊕表示按位异或（XOR）操作。

设计依据：

  • 消除对称性：如果主密钥是全0（MK=0），则中间状态K就是FK本身，而FK是精心选择的、看似随机的常数，从而避免了轮密钥全0的弱密钥情况。
  • 数学无关性：FK的取值与算法中的S盒、线性变换L等组件无直接代数关系，减少了潜在的相关性攻击面。
  • 简单高效：仅使用异或操作，计算开销极低，适合软硬件实现。

3. 常数CK的作用与计算

作用：

  • CK在密钥扩展的迭代轮中作为轮常数输入，每一轮使用不同的CK值，确保各轮密钥生成过程具有差异性，防止轮密钥之间的简单关系。
  • 通过引入轮常数，可以抵抗滑动攻击（slide attacks），因为攻击者无法通过简单的“滑动”模式在不同轮之间建立等价关系。

CK的生成方法：
CK是一个包含32个32比特常数的数组（CK0, CK1, ..., CK31）。每个CK_j通过以下方式生成：

  1. 设CK_{j,i}表示CK_j的第i个字节（i=0,1,2,3），其中CK_j = (CK_{j,0}, CK_{j,1}, CK_{j,2}, CK_{j,3})。
  2. 计算： 
    CK_{j,i} = (4j + i) * 7 (mod 256)
    即，每个字节是(4j + i)乘以7后对256取模的结果。这里j是轮数（0 ≤ j ≤ 31），i是字节索引。

示例：对于第0轮（j=0）：

  • i=0: CK_{0,0} = (40 + 0) 7 mod 256 = 0
  • i=1: CK_{0,1} = (40 + 1) 7 mod 256 = 7
  • i=2: CK_{0,2} = (40 + 2) 7 mod 256 = 14
  • i=3: CK_{0,3} = (40 + 3) 7 mod 256 = 21
    因此，CK0 = 0x00070E15。

设计依据：

  • 线性无关序列：CK的生成公式(4j+i)*7 mod 256产生一个伪随机的字节序列。乘法因子7是一个在模256下与256互质的小奇数，确保该函数是一个满射（即输出覆盖0-255所有值），从而CK各字节在统计上分布均匀。
  • 简单性与确定性：生成规则非常简单，无需存储整个CK表（可实时计算），节省内存，且易于验证。
  • 抵抗弱密钥：通过轮常数引入非线性（相对于主密钥），使得即使主密钥有特殊值，轮密钥也会因CK的加入而产生足够的变化。

4. 密钥扩展的完整过程

结合FK和CK，SM4密钥扩展的步骤如下：

  1. 初始化： 
    (K0, K1, K2, K3) = (MK0⊕FK0, MK1⊕FK1, MK2⊕FK2, MK3⊕FK3)
  2. 迭代生成轮密钥（对j从0到31循环）：
    • 计算轮密钥：rk_j = K_{j+4} = K_j ⊕ T'(K_{j+1} ⊕ K_{j+2} ⊕ K_{j+3} ⊕ CK_j)
    • 其中T'是一个与加密轮函数类似但更简化的变换，由非线性变换τ（4个8进8出S盒）和线性变换L'（L'(B) = B ⊕ (B<<<13) ⊕ (B<<<23)）组成。

整个过程结束后，得到32个轮密钥rk_j (j=0,...,31)。

5. 安全性考量总结

  • 抗相关密钥攻击：FK和CK的引入使得轮密钥与主密钥之间的相关性变得复杂，攻击者难以通过操纵主密钥来预测轮密钥之间的差异。
  • 抗滑动攻击：CK确保每一轮的密钥扩展过程都不同，防止了“滑动”现象。
  • 避免弱密钥：FK和CK的固定值经过精心选择，与算法其他组件配合，确保不存在明显的弱密钥集合（例如，使得轮密钥全等或循环的密钥）。
  • 效率与简洁：设计兼顾了安全性和实现效率，FK是预定义的常数，CK可通过简单公式生成，适合资源受限环境。

通过以上步骤，我们详细剖析了SM4密钥扩展中FK和CK的作用、计算方式及其设计依据。理解这些常数有助于深入掌握SM4算法的安全设计思想。

SM4分组密码算法的密钥扩展算法中常数FK与CK的详细作用与设计依据 题目描述 SM4是中国国家商用密码算法标准中的一种分组密码算法，其分组长度为128比特，密钥长度也为128比特。在密钥扩展过程中，算法使用了两个关键的常数集合：FK（固定密钥）和CK（常量密钥）。题目要求详细解释FK和CK在密钥扩展算法中的作用，并阐述它们的设计依据（如数学性质、安全性考虑等）。 解题过程 我们将循序渐进地讲解FK和CK的作用、计算方式及其设计原理。 1. SM4密钥扩展算法概览 SM4的密钥扩展算法用于从一个128比特的主密钥（MK）生成32个轮密钥（rk0, rk1, ..., rk31），每个轮密钥为32比特。这个过程分为两步： 初始化变换 ：利用常数FK，将主密钥MK转换为一个中间状态（K0, K1, K2, K3）。 迭代生成轮密钥 ：利用常量CK，通过轮函数F对中间状态进行迭代，生成32个轮密钥。 FK和CK是算法的固定参数，不依赖于主密钥，其目的是消除密钥中的对称性，增强算法抵抗相关密钥攻击等密码分析的能力。 2. 常数FK的作用与计算 作用 ： FK用于在密钥扩展的初始化阶段，与主密钥MK进行异或操作，打破MK可能存在的结构或模式（例如，全0、全1或低熵密钥），增加密钥材料的随机性。 这能确保即使主密钥具有某种规律性，经过FK的混淆后，生成的中间状态也会变得无规律，从而提高轮密钥的伪随机性。 FK的具体值 ： FK由四个32比特的常数组成（FK0, FK1, FK2, FK3），其值以十六进制表示如下： 这些值是通过在密码学中常用的常数（如自然常数e、圆周率π的十六进制表示）中选取特定片段得到的，以尽可能避免任何隐藏的后门或结构。 计算步骤 ： 将128比特主密钥MK分为四个32比特字：MK = (MK0, MK1, MK2, MK3)。 计算中间状态K： 这里⊕表示按位异或（XOR）操作。 设计依据 ： 消除对称性 ：如果主密钥是全0（MK=0），则中间状态K就是FK本身，而FK是精心选择的、看似随机的常数，从而避免了轮密钥全0的弱密钥情况。 数学无关性 ：FK的取值与算法中的S盒、线性变换L等组件无直接代数关系，减少了潜在的相关性攻击面。 简单高效 ：仅使用异或操作，计算开销极低，适合软硬件实现。 3. 常数CK的作用与计算 作用 ： CK在密钥扩展的迭代轮中作为轮常数输入，每一轮使用不同的CK值，确保各轮密钥生成过程具有差异性，防止轮密钥之间的简单关系。 通过引入轮常数，可以抵抗滑动攻击（slide attacks），因为攻击者无法通过简单的“滑动”模式在不同轮之间建立等价关系。 CK的生成方法 ： CK是一个包含32个32比特常数的数组（CK0, CK1, ..., CK31）。每个CK_ j通过以下方式生成： 设CK_ {j,i}表示CK_ j的第i个字节（i=0,1,2,3），其中CK_ j = (CK_ {j,0}, CK_ {j,1}, CK_ {j,2}, CK_ {j,3})。 计算： 即，每个字节是(4j + i)乘以7后对256取模的结果。这里j是轮数（0 ≤ j ≤ 31），i是字节索引。 示例 ：对于第0轮（j=0）： i=0: CK_ {0,0} = (4 0 + 0) 7 mod 256 = 0 i=1: CK_ {0,1} = (4 0 + 1) 7 mod 256 = 7 i=2: CK_ {0,2} = (4 0 + 2) 7 mod 256 = 14 i=3: CK_ {0,3} = (4 0 + 3) 7 mod 256 = 21 因此，CK0 = 0x00070E15。 设计依据 ： 线性无关序列 ：CK的生成公式(4j+i)* 7 mod 256产生一个伪随机的字节序列。乘法因子7是一个在模256下与256互质的小奇数，确保该函数是一个满射（即输出覆盖0-255所有值），从而CK各字节在统计上分布均匀。 简单性与确定性 ：生成规则非常简单，无需存储整个CK表（可实时计算），节省内存，且易于验证。 抵抗弱密钥 ：通过轮常数引入非线性（相对于主密钥），使得即使主密钥有特殊值，轮密钥也会因CK的加入而产生足够的变化。 4. 密钥扩展的完整过程 结合FK和CK，SM4密钥扩展的步骤如下： 初始化 ： 迭代生成轮密钥 （对j从0到31循环）： 计算轮密钥： rk_j = K_{j+4} = K_j ⊕ T'(K_{j+1} ⊕ K_{j+2} ⊕ K_{j+3} ⊕ CK_j) 其中T'是一个与加密轮函数类似但更简化的变换，由非线性变换τ（4个8进8出S盒）和线性变换L'（L'(B) = B ⊕ (B<<<13) ⊕ (B<< <23)）组成。 整个过程结束后，得到32个轮密钥rk_ j (j=0,...,31)。 5. 安全性考量总结 抗相关密钥攻击 ：FK和CK的引入使得轮密钥与主密钥之间的相关性变得复杂，攻击者难以通过操纵主密钥来预测轮密钥之间的差异。 抗滑动攻击 ：CK确保每一轮的密钥扩展过程都不同，防止了“滑动”现象。 避免弱密钥 ：FK和CK的固定值经过精心选择，与算法其他组件配合，确保不存在明显的弱密钥集合（例如，使得轮密钥全等或循环的密钥）。 效率与简洁 ：设计兼顾了安全性和实现效率，FK是预定义的常数，CK可通过简单公式生成，适合资源受限环境。 通过以上步骤，我们详细剖析了SM4密钥扩展中FK和CK的作用、计算方式及其设计依据。理解这些常数有助于深入掌握SM4算法的安全设计思想。