无向图的平面性检测（Left-Right Planarity Test）
字数 2104 2025-12-14 16:56:31

无向图的平面性检测（Left-Right Planarity Test）

题目描述
给定一个无向图 \(G=(V,E)\)，判断它是否是一个平面图（planar graph），即能否在平面上画出该图，使得任意两条边除了在端点处外都不相交。平面性检测是图论中的一个经典问题，具有重要的理论价值和实际应用（如集成电路布线、地图绘制等）。Left-Right Planarity Test 是一种基于深度优先搜索（DFS）和嵌入思想的线性时间算法，能够高效判断一个图是否为平面图，并在平面时输出一个平面嵌入。

解题过程循序渐进讲解

1. 问题理解与基础知识
首先，我们需要理解平面图的基本概念和性质：

  • 一个图是平面的，当且仅当它不包含 \(K_5\)（5个顶点的完全图）或 \(K_{3,3}\)（完全二分图，每部分3个顶点）作为其子图的细分（库拉托夫斯基定理）。
  • 平面图满足欧拉公式：对于一个连通平面图，有 \(V - E + F = 2\)，其中 \(F\) 是面的数量。
  • 平面性检测算法通常基于“逐边添加”的思想，逐步构建平面嵌入，并检查新边是否会导致交叉。

Left-Right Planarity Test 是由 de Fraysseix, Ossona de Mendez 和 Rosenstiehl 在 2006 年提出的算法，其核心思想是利用 DFS 生成一棵生成树，然后处理回边（back edges），通过维护“左边”和“右边”的约束来判断平面性。

2. 算法框架
算法步骤如下：
(1) 对图进行 DFS，得到一棵生成树 \(T\)，并记录每个顶点的 DFS 序号（dfn）和低点（low）。
(2) 将每条非树边（回边）对应到生成树上的一条唯一路径，这些路径称为“回边路径”。
(3) 为每个回边路径分配“左边”或“右边”的方向，使得所有路径可以嵌入在平面中而不交叉。
(4) 通过构建并求解一个 2-SAT 问题（或等价地，检查约束一致性）来判断是否存在这样的分配。

3. 具体步骤详解
步骤1：DFS 生成树和回边路径

  • 对图进行 DFS，得到一棵生成树，并为每个顶点 \(v\) 记录：
    • \(dfs(v)\)：DFS 序号（从 1 开始）。
    • \(low(v)\)：通过一条回边能到达的最小 DFS 序号。
  • 每条回边 \(e = (u,v)\)（假设 \(dfs(u) > dfs(v)\)）对应生成树上从 \(u\) 到 \(v\) 的路径 \(P_e\)。这条路径上的边都是树边。
  • 算法将处理所有回边路径，并确保它们可以嵌入在平面的同一侧（左或右）而不冲突。

步骤2：约束图的构建

  • 为每个回边路径定义一个布尔变量 \(x_e\)，表示该路径嵌入在“左边”（True）或“右边”（False）。
  • 当两条回边路径 \(P_a\) 和 \(P_b\) 在生成树上有交错时，它们必须嵌入在不同的侧，否则会产生交叉。具体来说，如果两条路径的端点区间交错，即一个路径的起点和终点分别位于另一个路径的内部，则它们不能在同一侧。
  • 这会产生一个约束：\(x_a \neq x_b\)（即 \(x_a = \neg x_b\)）。
  • 所有约束形成一个 2-SAT 问题，其中每个子句是两个文字（变量或其否定）的析取。

步骤3：约束求解

  • 2-SAT 问题可以在线性时间内解决（例如使用 Tarjan 算法求强连通分量）。
  • 如果存在一组对变量 \(x_e\) 的真值赋值满足所有约束，则原图是平面图；否则，不是平面图。

步骤4：平面嵌入的构建（可选）

  • 如果图是平面的，算法还可以输出一个平面嵌入：
    • 根据 \(x_e\) 的值，将每条回边路径放置在生成树的左侧或右侧。
    • 通过维护每个顶点处边的循环顺序（通常按角度排序），可以得到一个具体的平面绘制。

4. 复杂度分析

  • DFS 和路径处理需要 \(O(V+E)\) 时间。
  • 约束图的大小为 \(O(E)\)，2-SAT 求解需要 \(O(E)\) 时间。
  • 总体时间复杂度为 \(O(V+E)\)，即线性时间，这是最优的。

5. 实例演示
考虑一个简单图：一个四边形加一条对角线（即 \(K_4\) 减去一条边）。

  • DFS 生成树：假设顶点顺序为 1-2-3-4，树边为 (1,2), (2,3), (3,4)。
  • 回边：假设有 (1,3) 和 (2,4)。
  • 路径 \(P_{(1,3)}\)：1-2-3；路径 \(P_{(2,4)}\)：2-3-4。
  • 这两条路径交错（端点区间重叠），因此约束为 \(x_{(1,3)} \neq x_{(2,4)}\)。
  • 2-SAT 可满足（例如 \(x_{(1,3)}=True, x_{(2,4)}=False\)），所以图是平面的。

总结
Left-Right Planarity Test 是一个优雅且高效的平面性检测算法，它通过将平面性条件转化为 2-SAT 问题，在线性时间内解决。这个算法不仅用于判断平面性，还能构造嵌入，是理论计算机科学和算法设计中的一个重要成果。

无向图的平面性检测（Left-Right Planarity Test） 题目描述 给定一个无向图 \(G=(V,E)\)，判断它是否是一个平面图（planar graph），即能否在平面上画出该图，使得任意两条边除了在端点处外都不相交。平面性检测是图论中的一个经典问题，具有重要的理论价值和实际应用（如集成电路布线、地图绘制等）。Left-Right Planarity Test 是一种基于深度优先搜索（DFS）和嵌入思想的线性时间算法，能够高效判断一个图是否为平面图，并在平面时输出一个平面嵌入。 解题过程循序渐进讲解 1. 问题理解与基础知识 首先，我们需要理解平面图的基本概念和性质： 一个图是平面的，当且仅当它不包含 \(K_ 5\)（5个顶点的完全图）或 \(K_ {3,3}\)（完全二分图，每部分3个顶点）作为其子图的细分（库拉托夫斯基定理）。 平面图满足欧拉公式：对于一个连通平面图，有 \(V - E + F = 2\)，其中 \(F\) 是面的数量。 平面性检测算法通常基于“逐边添加”的思想，逐步构建平面嵌入，并检查新边是否会导致交叉。 Left-Right Planarity Test 是由 de Fraysseix, Ossona de Mendez 和 Rosenstiehl 在 2006 年提出的算法，其核心思想是利用 DFS 生成一棵生成树，然后处理回边（back edges），通过维护“左边”和“右边”的约束来判断平面性。 2. 算法框架 算法步骤如下： (1) 对图进行 DFS，得到一棵生成树 \(T\)，并记录每个顶点的 DFS 序号（dfn）和低点（low）。 (2) 将每条非树边（回边）对应到生成树上的一条唯一路径，这些路径称为“回边路径”。 (3) 为每个回边路径分配“左边”或“右边”的方向，使得所有路径可以嵌入在平面中而不交叉。 (4) 通过构建并求解一个 2-SAT 问题（或等价地，检查约束一致性）来判断是否存在这样的分配。 3. 具体步骤详解 步骤1：DFS 生成树和回边路径 对图进行 DFS，得到一棵生成树，并为每个顶点 \(v\) 记录： \(dfs(v)\)：DFS 序号（从 1 开始）。 \(low(v)\)：通过一条回边能到达的最小 DFS 序号。 每条回边 \(e = (u,v)\)（假设 \(dfs(u) > dfs(v)\)）对应生成树上从 \(u\) 到 \(v\) 的路径 \(P_ e\)。这条路径上的边都是树边。 算法将处理所有回边路径，并确保它们可以嵌入在平面的同一侧（左或右）而不冲突。 步骤2：约束图的构建 为每个回边路径定义一个布尔变量 \(x_ e\)，表示该路径嵌入在“左边”（True）或“右边”（False）。 当两条回边路径 \(P_ a\) 和 \(P_ b\) 在生成树上有交错时，它们必须嵌入在不同的侧，否则会产生交叉。具体来说，如果两条路径的端点区间交错，即一个路径的起点和终点分别位于另一个路径的内部，则它们不能在同一侧。 这会产生一个约束：\(x_ a \neq x_ b\)（即 \(x_ a = \neg x_ b\)）。 所有约束形成一个 2-SAT 问题，其中每个子句是两个文字（变量或其否定）的析取。 步骤3：约束求解 2-SAT 问题可以在线性时间内解决（例如使用 Tarjan 算法求强连通分量）。 如果存在一组对变量 \(x_ e\) 的真值赋值满足所有约束，则原图是平面图；否则，不是平面图。 步骤4：平面嵌入的构建（可选） 如果图是平面的，算法还可以输出一个平面嵌入： 根据 \(x_ e\) 的值，将每条回边路径放置在生成树的左侧或右侧。 通过维护每个顶点处边的循环顺序（通常按角度排序），可以得到一个具体的平面绘制。 4. 复杂度分析 DFS 和路径处理需要 \(O(V+E)\) 时间。 约束图的大小为 \(O(E)\)，2-SAT 求解需要 \(O(E)\) 时间。 总体时间复杂度为 \(O(V+E)\)，即线性时间，这是最优的。 5. 实例演示 考虑一个简单图：一个四边形加一条对角线（即 \(K_ 4\) 减去一条边）。 DFS 生成树：假设顶点顺序为 1-2-3-4，树边为 (1,2), (2,3), (3,4)。 回边：假设有 (1,3) 和 (2,4)。 路径 \(P_ {(1,3)}\)：1-2-3；路径 \(P_ {(2,4)}\)：2-3-4。 这两条路径交错（端点区间重叠），因此约束为 \(x_ {(1,3)} \neq x_ {(2,4)}\)。 2-SAT 可满足（例如 \(x_ {(1,3)}=True, x_ {(2,4)}=False\)），所以图是平面的。 总结 Left-Right Planarity Test 是一个优雅且高效的平面性检测算法，它通过将平面性条件转化为 2-SAT 问题，在线性时间内解决。这个算法不仅用于判断平面性，还能构造嵌入，是理论计算机科学和算法设计中的一个重要成果。