自适应辛普森积分法

题目描述
计算定积分 \(I = \int_{a}^{b} f(x) \, dx\) 的数值近似值，其中被积函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上连续但可能变化剧烈（如存在陡峭变化区域）。要求设计一种自适应算法，根据函数局部的变化程度动态调整步长，在保证精度的同时减少计算量。

解题过程

1. 基础工具：辛普森公式
首先回顾辛普森公式（1/3法则）：将区间 \([a, b]\) 等分为2个子区间（3个节点），积分近似值为：

\[S(a, b) = \frac{b - a}{6} \left[ f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b) \right] \]

该公式对次数不超过3的多项式精确成立。

2. 自适应策略的核心思想
若直接在整个区间上使用固定步长的复合辛普森公式，可能因局部变化大而导致误差分布不均。自适应方法的核心：

• 将区间二分，分别计算左右半区的辛普森值 \(S(a, m)\) 和 \(S(m, b)\)（其中 \(m = \frac{a+b}{2}\)）。
• 若整体区间 \([a, b]\) 的辛普森值 \(S(a, b)\) 与左右半区之和 \(S(a, m) + S(m, b)\) 的差值满足精度要求，则接受该结果；否则递归处理左右半区。

3. 误差估计与递归条件
设 \(m = \frac{a+b}{2}\)，定义：

• \(S_1 = S(a, b)\)（整体区间辛普森值）
• \(S_2 = S(a, m) + S(m, b)\)（二分后两个半区的辛普森值之和）
  误差估计值：

\[E = |S_1 - S_2| \]

若 \(E < \varepsilon\)（\(\varepsilon\) 为用户指定的误差容忍值），则接受 \(S_2\) 作为积分近似值；否则分别对 \([a, m]\) 和 \([m, b]\) 递归应用相同判断。

4. 算法步骤（伪代码）

定义函数 adaptive_simpson(f, a, b, ε):
    m = (a + b) / 2
    S1 = simpson(f, a, b)        # 整体区间辛普森值
    S2 = simpson(f, a, m) + simpson(f, m, b)  # 二分后求和
    
    if |S1 - S2| ≤ 15ε:          # 注：15倍ε的推导见后续说明
        返回 S2 + (S2 - S1)/15   # 误差修正
    else:
        返回 adaptive_simpson(f, a, m, ε/2) + adaptive_simpson(f, m, b, ε/2)

其中 simpson(f, a, b) 是计算 \(S(a, b)\) 的函数。

5. 关键细节：误差修正与15倍ε的由来

• 理论分析表明，辛普森公式的误差项与区间长度的5次方成正比，即：

\[ I - S_1 \approx k (b-a)^5, \quad I - S_2 \approx 2k \left(\frac{b-a}{2}\right)^5 = \frac{k(b-a)^5}{16} \]

• 两式相减得：

\[ S_2 - S_1 \approx \frac{15}{16} k (b-a)^5 \implies I - S_2 \approx \frac{S_2 - S_1}{15} \]

• 因此修正公式为 \(I \approx S_2 + \frac{S_2 - S_1}{15}\)，且递归条件中的阈值设为 \(15\varepsilon\) 以保证整体误差控制在 \(\varepsilon\) 内。

6. 示例演示
计算 \(I = \int_{0}^{1} \sqrt{x} \, dx\)（真值 \(\frac{2}{3}\)），设 \(\varepsilon = 10^{-4}\):

• 第一层：\(S_1 \approx 0.638071\), \(S_2 \approx 0.656526\), \(E \approx 0.018455 > 15\varepsilon\) → 递归二分。
• 左半区 \([0, 0.5]\) 继续递归（因 \(\sqrt{x}\) 在0附近变化剧烈），右半区 \([0.5, 1]\) 可能直接满足精度。
• 递归至子区间长度足够小或误差达标后终止，最终结果接近 \(0.666666\)。

7. 总结
自适应辛普森法通过局部误差估计动态分配计算资源，特别适合处理变化剧烈的函数。其核心是二分递归与误差修正，兼顾了精度和效率。