带限制的区间合并最小操作次数问题

题目描述

给定一个长度为 \(n\) 的数组 nums 和一个整数 limit，你可以进行如下操作：

1. 选择两个相邻的区间（每个区间是原数组的一个连续子数组，且这两个区间在原数组中也是相邻的，即第一个区间的右端点+1等于第二个区间的左端点），
2. 如果这两个区间中所有元素的和都小于等于 limit，则可以将它们合并成一个新区间（合并后新区间的元素和是两个区间和的和）。

每次操作合并后，原数组的区间数减少 1。
问：最少需要多少次操作，可以将整个数组合并成一个区间？如果无法合并成一个区间，返回 -1。

示例

nums = [2, 3, 1, 5, 4]
limit = 6

初始区间划分：可以视为每个元素单独成一个区间：[2], [3], [1], [5], [4]。
合并只能在相邻区间和 ≤ limit 时进行。
一种最少操作的方式（需 4 次合并，因为 5 个区间合并成 1 个区间需要 4 次操作）：

1. 合并 [2] 和 [3]（和=5 ≤6）→ [5], [1], [5], [4]
2. 合并 [5] 和 [1]（和=6 ≤6）→ [6], [5], [4]
3. 合并 [6] 和 [5]（和=11>6，不行），所以先合并 [5] 和 [4]（和=9>6，不行）——这里需要尝试别的顺序。
   实际上，检查发现：初始时相邻区间和都 ≤6 吗？
   [2]+[3]=5 ≤6 ✅
   [3]+[1]=4 ≤6 ✅
   [1]+[5]=6 ≤6 ✅
   [5]+[4]=9>6 ❌
   所以 [5] 和 [4] 不能直接合并。
   但我们可以先合并前面的，使 5 和 4 不再相邻，从而避免无法合并到最后。
   最终最少操作次数是 4 吗？测试发现：

• 先合并 [2,3]→5
• 合并 [1,5]→6（因为此时区间是 [5],[1],[5],[4] → 合并 [1] 和 [5] 得到和=6）得到 [5],[6],[4]
• 此时 [5]+[6]=11>6 不能合并，[6]+[4]=10>6 不能合并，陷入死局，无法合并成一个区间。
  所以返回 -1。

但题目要求是：在必须合并到只剩一个区间的情况下，是否可能？
如果不可能，返回 -1。

问题分析

这是一个区间动态规划问题，因为：

• 涉及对数组的连续子数组（区间）进行操作。
• 操作有顺序，不同的合并顺序会影响后续能否继续合并。
• 我们需要判断能否合并到只剩一个区间，并求最小操作次数（操作次数 = 初始区间数 n - 最终区间数 1 = n-1，但前提是每次操作合法）。
  实际上，我们不在乎操作次数，只在乎能否合并成一个区间。能合并的话，操作次数固定为 n-1，但必须存在一种合并顺序使得每一步合并的两区间和 ≤ limit。
  所以问题变成：判断是否存在一种合并顺序，使得从初始 n 个单元素区间出发，每次合并两个相邻且和 ≤ limit 的区间，最终合并成一个区间。

等价于：在数组上不断合并相邻的段，每段的和不超过 limit 时才可与相邻段合并，问能否合并成一段。

动态规划思路

定义 dp[i][j] = 是否能将子数组 nums[i..j] 合并成一个区间（这个区间的和必须 ≤ limit 吗？不一定，因为最后整个数组的和可能大于 limit，但中间合并时要满足每次合并的两个子区间的各自和都 ≤ limit）。

注意：合并的条件是两个相邻区间的和分别 ≤ limit。
如果我们把 nums[i..j] 合并成了一个区间，那在合并的某个最后一步，一定是将 [i..k] 和 [k+1..j] 合并，且：

1. [i..k] 能合并成一个区间（其和记为 sum(i,k)）
2. [k+1..j] 能合并成一个区间（其和记为 sum(k+1,j)）
3. 在合并它们之前，[i..k] 已经是一个区间，[k+1..j] 已经是一个区间，它们的和都 ≤ limit，才能合并。

所以条件：

• sum(i,k) ≤ limit
• sum(k+1,j) ≤ limit

且 dp[i][k] = true 且 dp[k+1][j] = true。

另外，如果 i=j，则单个元素区间必然满足和 ≤ limit（只要 nums[i] ≤ limit），否则这个元素自己就 > limit，永远不能和任何区间合并，那么包含它的任何区间都不能合并成一个区间。

预处理：

• 前缀和数组 prefix 用于 O(1) 求区间和。
• 先检查每个元素是否 ≤ limit，如果某个元素 > limit，则包含它的任何区间都不能合并成一个区间（因为该元素单独成段时和>limit，不能参与合并）。
  不过，如果这个元素 > limit，但和别的元素加起来平均值小，但定义是合并前的两个区间各自和 ≤ limit，所以即使元素本身>limit，它自己一个区间就不能和别的合并，所以包含它的任何区间不可能合并成一个区间。
  所以先判断：若存在 nums[i] > limit，直接返回 -1。

DP 状态定义与转移

dp[i][j] = 是否能将 nums[i..j] 合并成一个区间（true/false）。

初始化：
dp[i][i] = true 当且仅当 nums[i] ≤ limit，否则 false。

转移：
枚举分界点 k 从 i 到 j-1：
如果 dp[i][k] && dp[k+1][j] && sum(i,k) ≤ limit && sum(k+1,j) ≤ limit，则 dp[i][j] = true。

最终答案：
如果 dp[0][n-1] = true，则最少操作次数固定为 n-1，否则返回 -1。

逐步计算示例

例：nums = [2, 3, 1, 5, 4], limit=6`

先检查每个元素：都 ≤6 ✅

前缀和：prefix = [0,2,5,6,11,15]

n=5
初始化 dp[i][i]=true

区间长度 len=2:

• [0,1]: sum(0,0)=2≤6, sum(1,1)=3≤6, dp[0][0]=true, dp[1][1]=true → dp[0][1]=true
• [1,2]: sum(1,1)=3≤6, sum(2,2)=1≤6 → dp[1][2]=true
• [2,3]: sum(2,2)=1≤6, sum(3,3)=5≤6 → dp[2][3]=true
• [3,4]: sum(3,3)=5≤6, sum(4,4)=4≤6 → dp[3][4]=true

len=3:

• [0,2]: 分界 k=1:
  [0,1] 和 [2,2]: sum(0,1)=5≤6✅, sum(2,2)=1≤6✅, dp[0][1]=true, dp[2][2]=true → dp[0][2]=true
• [1,3]: 分界 k=2:
  [1,2] 和 [3,3]: sum(1,2)=4≤6✅, sum(3,3)=5≤6✅, dp[1][2]=true, dp[3][3]=true → dp[1][3]=true
• [2,4]: 分界 k=3:
  [2,3] 和 [4,4]: sum(2,3)=6≤6✅, sum(4,4)=4≤6✅, dp[2][3]=true, dp[4][4]=true → dp[2][4]=true

len=4:

• [0,3]: 分界 k=2:
  [0,2] 和 [3,3]: sum(0,2)=6≤6✅, sum(3,3)=5≤6✅, dp[0][2]=true, dp[3][3]=true → dp[0][3]=true
• [1,4]: 分界 k=2:
  [1,2] 和 [3,4]: sum(1,2)=4≤6✅, sum(3,4)=9>6❌ → 不行
  k=3: [1,3] 和 [4,4]: sum(1,3)=9>6❌ → 不行 → dp[1][4]=false

len=5: [0,4]
分界 k=3: [0,3] 和 [4,4]: sum(0,3)=11>6❌
k=2: [0,2] 和 [3,4]: sum(0,2)=6≤6✅, sum(3,4)=9>6❌
k=1: [0,1] 和 [2,4]: sum(0,1)=5≤6✅, sum(2,4)=10>6❌
→ 所有分界都至少有一个区间和>6，所以 dp[0][4]=false

最终 dp[0][4]=false，无法合并成一个区间，返回 -1。

算法复杂度

• 时间复杂度：O(n³)，三重循环（len, i, k）。
• 空间复杂度：O(n²)。

代码框架（Python）

def min_operations_to_merge(nums, limit):
    n = len(nums)
    for x in nums:
        if x > limit:
            return -1
    
    prefix = [0] * (n + 1)
    for i in range(n):
        prefix[i+1] = prefix[i] + nums[i]
    
    def sum_range(l, r):
        return prefix[r+1] - prefix[l]
    
    dp = [[False] * n for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        dp[i][i] = (nums[i] <= limit)
    
    for length in range(2, n+1):
        for i in range(n-length+1):
            j = i + length - 1
            for k in range(i, j):
                if dp[i][k] and dp[k+1][j] and sum_range(i, k) <= limit and sum_range(k+1, j) <= limit:
                    dp[i][j] = True
                    break
    
    return n-1 if dp[0][n-1] else -1

总结

这道题是区间 DP 的可行性判断问题，关键点在于：

1. 合并条件是两个相邻区间各自的和 ≤ limit，而不是它们合并后的和 ≤ limit。
2. 如果存在单个元素 > limit，则不可能完成合并。
3. 状态转移时，必须枚举划分点，检查左右两部分是否能分别合并成一段，且这两段在合并前的和满足限制。