鸡蛋掉落问题的变种——带成本限制的鸡蛋掉落

字数 3536 2025-12-14 12:10:54

鸡蛋掉落问题的变种——带成本限制的鸡蛋掉落

题目描述
你有 \(k\) 枚相同的鸡蛋，并可以进入一栋从 1 层到 \(n\) 层的建筑物。已知存在一个楼层 \(f\)（\(0 \leq f \leq n\)），从低于或等于 \(f\) 的楼层扔鸡蛋不会碎，而从高于 \(f\) 的楼层扔鸡蛋会碎。每次操作，你可以选择一座楼层 \(x\)（\(1 \leq x \leq n\)）并扔下一枚鸡蛋：

如果鸡蛋没碎，你可以继续使用这枚鸡蛋，并考虑更高的楼层（即 \(x+1\) 到 \(n\) 层）。
如果鸡蛋碎了，这枚鸡蛋就不能再用了，且你需要考虑更低的楼层（即 1 到 \(x-1\) 层）。

此外，每次扔鸡蛋都有成本：在第 \(i\) 层扔鸡蛋的成本为 \(c[i]\)（\(c[i] > 0\)）。你的目标是以最小的总成本，在最坏情况下确定 \(f\) 的具体值（即明确 \(f\) 是哪个楼层）。注意：如果鸡蛋在某一层碎了，后续的测试只能在更低的楼层进行；如果没碎，则可在更高楼层测试。你需要保证无论 \(f\) 的实际值是多少，你的测试方案都能确定它，并最小化最坏情况下的总成本。

解题思路
这是一个动态规划问题，结合了经典的“鸡蛋掉落”和最优化成本。我们需要一个策略，在最坏情况下（即对于所有可能的 \(f\)），都能确定临界楼层，并且使得总成本最小。

定义状态
设 \(dp[i][j]\) 表示：当你有 \(i\) 枚鸡蛋可用，并且需要测试的楼层范围为 \(1\) 到 \(j\) 层时，在最坏情况下确定临界楼层所需的最小总成本。

这里“测试的楼层范围”是指，我们已经知道临界楼层 \(f\) 在区间 \([1, j]\) 内（包括 0 层表示鸡蛋从 1 层就开始碎，但通常从 1 开始）。
目标：计算 \(dp[k][n]\)。

状态转移
假设我们当前有 \(i\) 枚鸡蛋，需要测试 \(j\) 层楼。我们选择在第 \(x\) 层（\(1 \leq x \leq j\)）扔一个鸡蛋。此时发生两种情况：

鸡蛋碎了：说明临界楼层 \(f\) 小于 \(x\)，即 \(f\) 在 \([1, x-1]\) 中。我们还剩 \(i-1\) 枚鸡蛋，需要测试 \(x-1\) 层楼。因此，此情况下的最坏成本是：
\(\text{cost}_{\text{broken}} = c[x] + dp[i-1][x-1]\)。
鸡蛋没碎：说明临界楼层 \(f\) 大于等于 \(x\)，即 \(f\) 在 \([x, j]\) 中。但注意，由于没碎，我们仍然有 \(i\) 枚鸡蛋可用，但只需测试从 \(x\) 到 \(j\) 的楼层。不过，我们已知 \(f \geq x\)，因此等价于测试 \(j-x\) 层楼（将楼层重新编号为 1 到 \(j-x\)）。此情况下的最坏成本是：
\(\text{cost}_{\text{survive}} = c[x] + dp[i][j-x]\)。

对于这个选择 \(x\)，最坏情况是两种情况下成本的最大值（因为我们不知道鸡蛋会不会碎，必须考虑最坏的情况）：

\[\text{cost}(x) = c[x] + \max(dp[i-1][x-1],\; dp[i][j-x]) \]

我们要最小化这个最坏成本，所以状态转移方程为：

\[dp[i][j] = \min_{1 \leq x \leq j} \left\{ c[x] + \max(dp[i-1][x-1], dp[i][j-x]) \right\} \]

边界条件

如果 \(i = 0\)：没有鸡蛋可用，无法测试，但按题意不可能（因为鸡蛋数至少为 1）。我们可以设 \(dp[0][j] = \infty\)（无效）。
如果 \(i = 1\)：只有一枚鸡蛋，只能从低到高逐层尝试，直到鸡蛋碎掉或到达顶层。最坏情况下，我们需要尝试所有楼层，总成本是 \(\sum_{t=1}^j c[t]\)。
如果 \(j = 0\)：没有楼层需要测试，成本为 0。即 \(dp[i][0] = 0\)。

初始化和计算顺序
我们需要计算 \(dp[i][j]\) 对于 \(i = 1\) 到 \(k\)，\(j = 1\) 到 \(n\) 的值。

先初始化 \(i=1\) 的情况：\(dp[1][j] = \sum_{t=1}^j c[t]\)。
然后按 \(i\) 从小到大，\(j\) 从小到大计算。

时间复杂度
直接按上述转移计算，对每个 \((i, j)\) 需要枚举 \(x\) 从 1 到 \(j\)，总复杂度为 \(O(k n^2)\)。当 \(n\) 较大时可能较慢，但题目通常 \(n\) 和 \(k\) 不会特别大（如几百）。可以进一步优化，但这里我们先理解基础DP。

举例说明
假设 \(n=3\) 层楼，\(k=2\) 个鸡蛋，成本数组 \(c = [1, 2, 3]\)（楼层 1、2、3 的成本分别为 1、2、3）。

我们计算 \(dp[2][3]\)：

初始：\(dp[1][1] = 1\), \(dp[1][2] = 1+2=3\), \(dp[1][3] = 1+2+3=6\)。
对于 \(dp[2][1]\)：只有 1 层楼，只需在 1 层试一次，成本 \(c[1] = 1\)。也可以从公式：枚举 \(x=1\)：

\[ dp[2][1] = c[1] + \max(dp[1][0], dp[2][0]) = 1 + \max(0,0) = 1 \]

对于 \(dp[2][2]\)：枚举 \(x=1,2\)。
- \(x=1\)：成本 = \(c[1] + \max(dp[1][0], dp[2][1]) = 1 + \max(0,1) = 2\)。
- \(x=2\)：成本 = \(c[2] + \max(dp[1][1], dp[2][0]) = 2 + \max(1,0) = 3\)。
  取最小值 2，所以 \(dp[2][2] = 2\)。
对于 \(dp[2][3]\)：枚举 \(x=1,2,3\)。
- \(x=1\)：成本 = \(1 + \max(dp[1][0], dp[2][2]) = 1 + \max(0,2) = 3\)。
- \(x=2\)：成本 = \(2 + \max(dp[1][1], dp[2][1]) = 2 + \max(1,1) = 4\)。
- \(x=3\)：成本 = \(3 + \max(dp[1][2], dp[2][0]) = 3 + \max(3,0) = 6\)。
  取最小值 3，所以 \(dp[2][3] = 3\)。

因此，最小最坏总成本为 3。

算法总结

初始化 \(dp[1][j] = \sum_{t=1}^j c[t]\)，\(dp[i][0] = 0\)。
对于 \(i=2\) 到 \(k\)：
- 对于 \(j=1\) 到 \(n\)：
  - 枚举 \(x\) 从 1 到 \(j\)，计算：

\[ \text{cost} = c[x] + \max(dp[i-1][x-1], dp[i][j-x]) \]

 - 取最小值赋给 $ dp[i][j] $。

最终结果 = \(dp[k][n]\)。

进一步优化
对于固定的 \(i\)，注意到 \(dp[i-1][x-1]\) 随 \(x\) 增加而增加，而 \(dp[i][j-x]\) 随 \(x\) 增加而减少。因此，最优的 \(x\) 通常是两者接近的位置，可以用二分查找来优化，将时间复杂度降到 \(O(k n \log n)\)。不过，基础DP已足够理解问题本质。

鸡蛋掉落问题的变种——带成本限制的鸡蛋掉落题目描述你有 \( k \) 枚相同的鸡蛋，并可以进入一栋从 1 层到 \( n \) 层的建筑物。已知存在一个楼层 \( f \)（\(0 \leq f \leq n\)），从低于或等于 \( f \) 的楼层扔鸡蛋不会碎，而从高于 \( f \) 的楼层扔鸡蛋会碎。每次操作，你可以选择一座楼层 \( x \)（\(1 \leq x \leq n\)）并扔下一枚鸡蛋：如果鸡蛋没碎，你可以继续使用这枚鸡蛋，并考虑更高的楼层（即 \( x+1 \) 到 \( n \) 层）。如果鸡蛋碎了，这枚鸡蛋就不能再用了，且你需要考虑更低的楼层（即 1 到 \( x-1 \) 层）。此外，每次扔鸡蛋都有成本：在第 \( i \) 层扔鸡蛋的成本为 \( c[ i] \)（\( c[ i] > 0 \)）。你的目标是以最小的总成本，在最坏情况下确定 \( f \) 的具体值（即明确 \( f \) 是哪个楼层）。注意：如果鸡蛋在某一层碎了，后续的测试只能在更低的楼层进行；如果没碎，则可在更高楼层测试。你需要保证无论 \( f \) 的实际值是多少，你的测试方案都能确定它，并最小化最坏情况下的总成本。解题思路这是一个动态规划问题，结合了经典的“鸡蛋掉落”和最优化成本。我们需要一个策略，在最坏情况下（即对于所有可能的 \( f \)），都能确定临界楼层，并且使得总成本最小。定义状态设 \( dp[ i][ j] \) 表示：当你有 \( i \) 枚鸡蛋可用，并且需要测试的楼层范围为 \( 1 \) 到 \( j \) 层时，在最坏情况下确定临界楼层所需的最小总成本。这里“测试的楼层范围”是指，我们已经知道临界楼层 \( f \) 在区间 \([ 1, j ]\) 内（包括 0 层表示鸡蛋从 1 层就开始碎，但通常从 1 开始）。目标：计算 \( dp[ k][ n ] \)。状态转移假设我们当前有 \( i \) 枚鸡蛋，需要测试 \( j \) 层楼。我们选择在第 \( x \) 层（\(1 \leq x \leq j\)）扔一个鸡蛋。此时发生两种情况：鸡蛋碎了：说明临界楼层 \( f \) 小于 \( x \)，即 \( f \) 在 \([ 1, x-1 ]\) 中。我们还剩 \( i-1 \) 枚鸡蛋，需要测试 \( x-1 \) 层楼。因此，此情况下的最坏成本是： \( \text{cost}_ {\text{broken}} = c[ x] + dp[ i-1][ x-1 ] \)。鸡蛋没碎：说明临界楼层 \( f \) 大于等于 \( x \)，即 \( f \) 在 \([ x, j ]\) 中。但注意，由于没碎，我们仍然有 \( i \) 枚鸡蛋可用，但只需测试从 \( x \) 到 \( j \) 的楼层。不过，我们已知 \( f \geq x \)，因此等价于测试 \( j-x \) 层楼（将楼层重新编号为 1 到 \( j-x \)）。此情况下的最坏成本是： \( \text{cost}_ {\text{survive}} = c[ x] + dp[ i][ j-x ] \)。对于这个选择 \( x \)，最坏情况是两种情况下成本的最大值（因为我们不知道鸡蛋会不会碎，必须考虑最坏的情况）： \[ \text{cost}(x) = c[ x] + \max(dp[ i-1][ x-1],\; dp[ i][ j-x ]) \] 我们要最小化这个最坏成本，所以状态转移方程为： \[ dp[ i][ j] = \min_ {1 \leq x \leq j} \left\{ c[ x] + \max(dp[ i-1][ x-1], dp[ i][ j-x ]) \right\} \] 边界条件如果 \( i = 0 \)：没有鸡蛋可用，无法测试，但按题意不可能（因为鸡蛋数至少为 1）。我们可以设 \( dp[ 0][ j ] = \infty \)（无效）。如果 \( i = 1 \)：只有一枚鸡蛋，只能从低到高逐层尝试，直到鸡蛋碎掉或到达顶层。最坏情况下，我们需要尝试所有楼层，总成本是 \( \sum_ {t=1}^j c[ t ] \)。如果 \( j = 0 \)：没有楼层需要测试，成本为 0。即 \( dp[ i][ 0 ] = 0 \)。初始化和计算顺序我们需要计算 \( dp[ i][ j ] \) 对于 \( i = 1 \) 到 \( k \)，\( j = 1 \) 到 \( n \) 的值。先初始化 \( i=1 \) 的情况：\( dp[ 1][ j] = \sum_ {t=1}^j c[ t ] \)。然后按 \( i \) 从小到大，\( j \) 从小到大计算。时间复杂度直接按上述转移计算，对每个 \( (i, j) \) 需要枚举 \( x \) 从 1 到 \( j \)，总复杂度为 \( O(k n^2) \)。当 \( n \) 较大时可能较慢，但题目通常 \( n \) 和 \( k \) 不会特别大（如几百）。可以进一步优化，但这里我们先理解基础DP。举例说明假设 \( n=3 \) 层楼，\( k=2 \) 个鸡蛋，成本数组 \( c = [ 1, 2, 3 ] \)（楼层 1、2、3 的成本分别为 1、2、3）。我们计算 \( dp[ 2][ 3 ] \)：初始：\( dp[ 1][ 1] = 1 \), \( dp[ 1][ 2] = 1+2=3 \), \( dp[ 1][ 3 ] = 1+2+3=6 \)。对于 \( dp[ 2][ 1] \)：只有 1 层楼，只需在 1 层试一次，成本 \( c[ 1 ] = 1 \)。也可以从公式：枚举 \( x=1 \)： \[ dp[ 2][ 1] = c[ 1] + \max(dp[ 1][ 0], dp[ 2][ 0 ]) = 1 + \max(0,0) = 1 \] 对于 \( dp[ 2][ 2 ] \)：枚举 \( x=1,2 \)。 \( x=1 \)：成本 = \( c[ 1] + \max(dp[ 1][ 0], dp[ 2][ 1 ]) = 1 + \max(0,1) = 2 \)。 \( x=2 \)：成本 = \( c[ 2] + \max(dp[ 1][ 1], dp[ 2][ 0 ]) = 2 + \max(1,0) = 3 \)。取最小值 2，所以 \( dp[ 2][ 2 ] = 2 \)。对于 \( dp[ 2][ 3 ] \)：枚举 \( x=1,2,3 \)。 \( x=1 \)：成本 = \( 1 + \max(dp[ 1][ 0], dp[ 2][ 2 ]) = 1 + \max(0,2) = 3 \)。 \( x=2 \)：成本 = \( 2 + \max(dp[ 1][ 1], dp[ 2][ 1 ]) = 2 + \max(1,1) = 4 \)。 \( x=3 \)：成本 = \( 3 + \max(dp[ 1][ 2], dp[ 2][ 0 ]) = 3 + \max(3,0) = 6 \)。取最小值 3，所以 \( dp[ 2][ 3 ] = 3 \)。因此，最小最坏总成本为 3。算法总结初始化 \( dp[ 1][ j] = \sum_ {t=1}^j c[ t] \)，\( dp[ i][ 0 ] = 0 \)。对于 \( i=2 \) 到 \( k \)：对于 \( j=1 \) 到 \( n \)：枚举 \( x \) 从 1 到 \( j \)，计算： \[ \text{cost} = c[ x] + \max(dp[ i-1][ x-1], dp[ i][ j-x ]) \] 取最小值赋给 \( dp[ i][ j ] \)。最终结果 = \( dp[ k][ n ] \)。进一步优化对于固定的 \( i \)，注意到 \( dp[ i-1][ x-1] \) 随 \( x \) 增加而增加，而 \( dp[ i][ j-x ] \) 随 \( x \) 增加而减少。因此，最优的 \( x \) 通常是两者接近的位置，可以用二分查找来优化，将时间复杂度降到 \( O(k n \log n) \)。不过，基础DP已足够理解问题本质。