基于交替变量方向法（Alternating Variable Direction Method, AVDM）的约束非凸非二次优化问题

字数 7772 2025-12-14 11:20:51

基于交替变量方向法（Alternating Variable Direction Method, AVDM）的约束非凸非二次优化问题

题目描述
我们考虑一个带约束的非线性规划问题，其中目标函数是非凸非二次的，并且包含多个决策变量。该问题具有多个非线性不等式约束和一个线性等式约束。具体问题形式如下：

最小化

\[f(x_1, x_2, x_3) = (x_1 - 2)^4 + (x_2 - 3)^2 + (x_3 - 1)^2 + 2 \sin(x_1 x_2) \]

满足约束：

\[g_1(x) = x_1^2 + x_2^2 - 4 \leq 0 \]

\[g_2(x) = -x_1 - x_2 + 1 \leq 0 \]

\[h(x) = x_1 + x_2 + x_3 - 5 = 0 \]

其中 $x = (x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3$，并且 $f$ 是非凸函数（由于四次项和正弦项），约束 $g_1$ 是非凸的二次约束（但约束区域是凸的，因为 $g_1 \leq 0$ 定义了一个圆盘），$g_2$ 是线性不等式，$h$ 是线性等式。这是一个具有非凸目标和非凸约束的小规模问题，适合用交替变量方向法（AVDM）来求解。AVDM 通过每次只优化一个变量（或一个子集）来简化问题，特别适合处理多变量、非凸、有约束的优化问题。

解题过程循序渐进讲解

步骤 1：理解交替变量方向法（AVDM）的基本思想
交替变量方向法是一种迭代优化算法，适用于多变量优化问题。核心思想是：在每次迭代中，固定其他所有变量，只优化一个变量（或一个变量子集）。这样就将一个高维问题分解为一系列低维子问题。对于约束问题，每个子问题在考虑约束时只处理当前变量的约束部分。AVDM 尤其适用于变量可分或近似可分的问题，即使非凸，也能通过求解一系列简单子问题逐步逼近最优解。

在本题中，变量是 $x_1, x_2, x_3$。我们将依次固定其中两个变量，优化第三个变量。每次子优化是一个单变量约束优化问题。

步骤 2：初始化迭代点
选择初始可行点 $x^{(0)}$。我们需要满足所有约束。可以简单选取一个满足等式约束 $h(x)=0$ 的点，并检查不等式约束。例如，取 $x_1 = 1, x_2 = 2$，则由 $h$ 得 $x_3 = 5 - 1 - 2 = 2$。检查约束：

$g_1(1,2) = 1^2 + 2^2 - 4 = 1 \leq 0$ 不满足（因为 1 > 0），所以不可行。
因此，我们调整：取 $x_1 = 1, x_2 = 1$，则 $x_3 = 5 - 1 - 1 = 3$。
检查：$g_1(1,1) = 1 + 1 - 4 = -2 \leq 0$ 满足；$g_2(1,1) = -1 - 1 + 1 = -1 \leq 0$ 满足。
所以 $x^{(0)} = (1, 1, 3)$ 是一个可行点。设迭代计数 $k = 0$。

步骤 3：定义子问题结构
在 AVDM 的一次迭代中，我们按顺序优化每个变量：

固定 $x_2 = x_2^{(k)}$ 和 $x_3 = x_3^{(k)}$，优化 $x_1$。
固定 $x_1 = x_1^{(k+1)}$ 和 $x_3 = x_3^{(k)}$，优化 $x_2$。
固定 $x_1 = x_1^{(k+1)}$ 和 $x_2 = x_2^{(k+1)}$，优化 $x_3$。

每个子问题是在约束下最小化关于单一变量的函数。因为约束涉及多个变量，当固定两个变量时，约束变为关于当前变量的简单约束（例如，$g_1$ 变为关于 $x_1$ 的二次不等式，但常数项包含固定变量）。

步骤 4：求解第一个子问题（优化 $x_1$）
在第 $k$ 次迭代，固定 $x_2^{(k)} = 1$，$x_3^{(k)} = 3$。目标函数中只保留与 $x_1$ 相关的项：

\[f_1(x_1) = (x_1 - 2)^4 + 2 \sin(x_1 \cdot 1) + \text{常数（与 $x_1$ 无关的项可忽略）} \]

但需要注意，由于等式约束 $h$ 的存在，当我们改变 $x_1$ 时，$x_3$ 可能需要调整以保持等式成立？不，在 AVDM 中，我们通常一次只改变一个变量，而等式约束会涉及所有变量，所以我们需要在子问题中考虑等式约束对当前变量的影响。
实际上，等式约束 $x_1 + x_2 + x_3 = 5$ 意味着当我们改变 $x_1$ 时，如果我们希望保持等式成立，则 $x_3 = 5 - x_1 - x_2$ 会随之变化。但这违反了“只优化一个变量”的设定。为了处理等式约束，常用方法是利用等式消去一个变量，或者将等式约束纳入每个子问题的约束中。这里我们采用后者：在优化 $x_1$ 时，将 $x_3$ 表达为 $x_3 = 5 - x_1 - x_2$，这样 $x_3$ 不再独立，子问题变为关于 $x_1$ 的单变量问题，但 $x_2$ 固定。

因此，在优化 $x_1$ 时，代入 $x_3 = 5 - x_1 - x_2$，其中 $x_2 = x_2^{(k)}$。然后目标函数变为：

\[\tilde{f}(x_1) = (x_1 - 2)^4 + (x_2 - 3)^2 + (5 - x_1 - x_2 - 1)^2 + 2 \sin(x_1 x_2) \]

化简常数项：$5 - x_1 - x_2 - 1 = 4 - x_1 - x_2$，所以 $(4 - x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2 - 4)^2$。

代入 $x_2 = 1$：

\[\tilde{f}(x_1) = (x_1 - 2)^4 + (1 - 3)^2 + (x_1 + 1 - 4)^2 + 2 \sin(x_1 \cdot 1) \]

\[= (x_1 - 2)^4 + 4 + (x_1 - 3)^2 + 2 \sin x_1 \]

忽略常数 4，最小化

\[\phi_1(x_1) = (x_1 - 2)^4 + (x_1 - 3)^2 + 2 \sin x_1 \]

约束需要考虑 $g_1$ 和 $g_2$。

$g_1: x_1^2 + 1^2 - 4 \leq 0 \Rightarrow x_1^2 \leq 3 \Rightarrow -\sqrt{3} \leq x_1 \leq \sqrt{3} \approx [-1.732, 1.732]$。
$g_2: -x_1 - 1 + 1 \leq 0 \Rightarrow -x_1 \leq 0 \Rightarrow x_1 \geq 0$。
结合得 $0 \leq x_1 \leq 1.732$。

另外，代入 $x_3 = 5 - x_1 - 1 = 4 - x_1$，没有对 $x_1$ 的直接约束。

因此子问题是：在区间 $[0, 1.732]$ 上最小化 $\phi_1(x_1) = (x_1 - 2)^4 + (x_1 - 3)^2 + 2 \sin x_1$。这是一个单变量非凸函数，可用一维搜索（如黄金分割法或梯度法）求解。这里我们手动分析一下：
求导：

\[\phi_1'(x_1) = 4(x_1 - 2)^3 + 2(x_1 - 3) + 2 \cos x_1 \]

在区间内取几个点计算：

$x_1=0$: $\phi_1'(0) = 4(-8) + 2(-3) + 2 \cos 0 = -32 -6 +2 = -36$，负，函数下降。
$x_1=1$: $\phi_1'(1) = 4(-1)^3 + 2(-2) + 2 \cos 1 = -4 -4 + 2*0.5403 = -7.9194$，负。
$x_1=1.732$: $\phi_1'(1.732) = 4( -0.268)^3 + 2(-1.268) + 2 \cos(1.732)$，$\cos 1.732 \approx -0.16$，计算得 $4*(-0.0192) -2.536 -0.32 = -0.0768 -2.856 = -2.9328$，仍为负。
导数在区间内始终为负，说明函数单调递减，最小值在右端点 $x_1 = 1.732$ 处取得。
所以 $x_1^{(k+1)} = 1.732$（保留三位小数）。

此时更新 $x_3 = 5 - 1.732 - 1 = 2.268$，但由于我们在优化 $x_1$ 时已经隐含更新了 $x_3$，所以实际上我们暂时不更新 $x_3$，等优化 $x_2$ 时再重新代入等式。在标准 AVDM 中，每次优化一个变量后，立即更新该变量，并利用等式约束重新计算被消去的变量（如果有）。这里我们采用更一致的做法：每次优化一个变量时，从等式解出该变量与固定变量的关系，从而将问题转化为无约束（或简单约束）的单变量优化。但这样在优化 $x_2$ 时等式形式会变。为了避免混乱，我们采用另一种处理等式约束的常用方法：惩罚函数法或增广拉格朗日法，但那样会复杂化。由于本题是基础题，我们采用简化方式：在每个子问题中，将等式约束直接代入，消去 $x_3$，这样变量只剩 $x_1, x_2$，然后交替优化 $x_1$ 和 $x_2$。因为 $x_3 = 5 - x_1 - x_2$，所以优化 $x_1$ 和 $x_2$ 后，$x_3$ 自动确定。

所以我们调整思路：用等式消去 $x_3$，问题变为关于 $x_1, x_2$ 的二维问题，约束为 $g_1$ 和 $g_2$（注意 $x_3$ 代入后可能影响约束？实际上 $g_1$ 和 $g_2$ 不涉及 $x_3$，所以不变）。目标函数变为：

\[F(x_1, x_2) = (x_1 - 2)^4 + (x_2 - 3)^2 + (5 - x_1 - x_2 - 1)^2 + 2 \sin(x_1 x_2) \]

\[= (x_1 - 2)^4 + (x_2 - 3)^2 + (4 - x_1 - x_2)^2 + 2 \sin(x_1 x_2) \]

约束：

\[g_1: x_1^2 + x_2^2 - 4 \leq 0 \]

\[g_2: -x_1 - x_2 + 1 \leq 0 \]

没有等式约束了（已消去）。

现在 AVDM 在二维上交替优化 $x_1$ 和 $x_2$。

步骤 5：重新从初始点开始用 AVDM 解二维问题
初始点 $x_1^{(0)} = 1, x_2^{(0)} = 1$，满足约束（已验证）。

迭代 1：优化 $x_1$，固定 $x_2 = 1$
目标关于 $x_1$ 的部分：

\[F_1(x_1) = (x_1 - 2)^4 + (1 - 3)^2 + (4 - x_1 - 1)^2 + 2 \sin(x_1 \cdot 1) \]

\[= (x_1 - 2)^4 + 4 + (3 - x_1)^2 + 2 \sin x_1 \]

常数 4 可忽略。
约束：

$g_1: x_1^2 + 1 - 4 \leq 0 \Rightarrow x_1^2 \leq 3 \Rightarrow |x_1| \leq 1.732$
$g_2: -x_1 - 1 + 1 \leq 0 \Rightarrow -x_1 \leq 0 \Rightarrow x_1 \geq 0$
所以 $x_1 \in [0, 1.732]$。

最小化 $\phi_1(x_1) = (x_1 - 2)^4 + (3 - x_1)^2 + 2 \sin x_1$。
与之前相同，导数在区间内为负，最小值在右端点 $x_1 = 1.732$。
取 $x_1^{(1)} = 1.732$。

迭代 1：优化 $x_2$，固定 $x_1 = 1.732$
目标关于 $x_2$ 的部分：

\[F_2(x_2) = (1.732 - 2)^4 + (x_2 - 3)^2 + (4 - 1.732 - x_2)^2 + 2 \sin(1.732 \cdot x_2) \]

计算常数：$(1.732 - 2)^4 = (-0.268)^4 \approx 0.00516$，$(4 - 1.732) = 2.268$，所以

\[F_2(x_2) = 0.00516 + (x_2 - 3)^2 + (2.268 - x_2)^2 + 2 \sin(1.732 x_2) \]

约束：

$g_1: (1.732)^2 + x_2^2 - 4 \leq 0 \Rightarrow 3 + x_2^2 - 4 \leq 0 \Rightarrow x_2^2 \leq 1 \Rightarrow |x_2| \leq 1$
$g_2: -1.732 - x_2 + 1 \leq 0 \Rightarrow -0.732 - x_2 \leq 0 \Rightarrow x_2 \geq -0.732$
结合得 $x_2 \in [-0.732, 1]$（但注意初始域通常取交集，从 $x_2^{(0)}=1$ 开始，我们在这个区间搜索）。

最小化 $\phi_2(x_2) = (x_2 - 3)^2 + (2.268 - x_2)^2 + 2 \sin(1.732 x_2)$（忽略常数）。
展开：$(x_2^2 - 6x_2 + 9) + (x_2^2 - 4.536 x_2 + 5.144) = 2x_2^2 - 10.536 x_2 + 14.144$。
所以 $\phi_2(x_2) = 2x_2^2 - 10.536 x_2 + 14.144 + 2 \sin(1.732 x_2)$。

求导：

\[\phi_2'(x_2) = 4x_2 - 10.536 + 3.464 \cos(1.732 x_2) \]

在区间 $[-0.732, 1]$ 上，计算几个点：

$x_2 = -0.732$: $\phi_2'(-0.732) = 4(-0.732) - 10.536 + 3.464 \cos(-1.268) \approx -2.928 -10.536 + 3.464*0.300 \approx -13.464 + 1.039 = -12.425$，负。
$x_2 = 0$: $\phi_2'(0) = 0 - 10.536 + 3.464*1 = -7.072$，负。
$x_2 = 1$: $\phi_2'(1) = 4 - 10.536 + 3.464 \cos(1.732) \approx -6.536 + 3.464*(-0.16) \approx -6.536 -0.554 = -7.09$，负。
导数在整个区间为负，函数递减，最小值在右端点 $x_2 = 1$ 取得。
所以 $x_2^{(1)} = 1$（没有变化）。

因此第一次迭代后，点变为 $(1.732, 1)$，对应 $x_3 = 5 - 1.732 - 1 = 2.268$。

步骤 6：继续迭代直到收敛
第二次迭代：

优化 $x_1$，固定 $x_2=1$，约束区间 $x_1 \in [0,1.732]$，与第一次迭代相同，结果仍为 $x_1=1.732$。
优化 $x_2$，固定 $x_1=1.732$，约束区间 $x_2 \in [-0.732,1]$，导数仍为负，最小值在 $x_2=1$。
所以点不再变化，算法收敛到 $(1.732, 1, 2.268)$。

步骤 7：检查收敛性和最优性
AVDM 收敛到一个稳定点，即在该点处，沿每个坐标方向都无法改进。但该点可能是局部最优，不一定全局最优。我们计算该点的约束满足情况：

$g_1: 1.732^2 + 1^2 - 4 = 3 + 1 - 4 = 0$，满足等式（紧约束）。
$g_2: -1.732 -1 +1 = -1.732 \leq 0$，满足。
等式 $x_1+x_2+x_3=1.732+1+2.268=5$，满足。

目标函数值：

\[f = (1.732-2)^4 + (1-3)^2 + (2.268-1)^2 + 2 \sin(1.732*1) \approx 0.00516 + 4 + 1.607 + 2 \sin(1.732) \]

$\sin(1.732) \approx 0.987$，所以 $2 \sin(1.732) \approx 1.974$。
总和 $\approx 0.00516 + 4 + 1.607 + 1.974 = 7.586$。

我们可以尝试附近点，例如 $x_1=1.5, x_2=1.323$（满足 $g_1=0$），则 $x_3=5-2.823=2.177$，计算目标值可能略小，但本例中 AVDM 收敛到边界点。由于问题非凸，可能存在多个局部最优。AVDM 的结果是一个可行解，且满足一阶必要性条件（在子问题上）。

步骤 8：讨论 AVDM 的特点

优点：将复杂问题分解为简单子问题，易于实现。
缺点：收敛速度可能慢，且可能收敛到非驻点（由于约束边界导致的不可微）。
对于此问题，我们得到解 $(1.732, 1, 2.268)$，目标值约 7.586。

通过以上步骤，我们完成了用 AVDM 求解该约束非凸优化问题的过程。

基于交替变量方向法（Alternating Variable Direction Method, AVDM）的约束非凸非二次优化问题题目描述我们考虑一个带约束的非线性规划问题，其中目标函数是非凸非二次的，并且包含多个决策变量。该问题具有多个非线性不等式约束和一个线性等式约束。具体问题形式如下：最小化 \[ f(x_ 1, x_ 2, x_ 3) = (x_ 1 - 2)^4 + (x_ 2 - 3)^2 + (x_ 3 - 1)^2 + 2 \sin(x_ 1 x_ 2) \] 满足约束： \[ g_ 1(x) = x_ 1^2 + x_ 2^2 - 4 \leq 0 \] \[ g_ 2(x) = -x_ 1 - x_ 2 + 1 \leq 0 \] \[ h(x) = x_ 1 + x_ 2 + x_ 3 - 5 = 0 \] 其中 $x = (x_ 1, x_ 2, x_ 3) \in \mathbb{R}^3$，并且 $f$ 是非凸函数（由于四次项和正弦项），约束 $g_ 1$ 是非凸的二次约束（但约束区域是凸的，因为 $g_ 1 \leq 0$ 定义了一个圆盘），$g_ 2$ 是线性不等式，$h$ 是线性等式。这是一个具有非凸目标和非凸约束的小规模问题，适合用交替变量方向法（AVDM）来求解。AVDM 通过每次只优化一个变量（或一个子集）来简化问题，特别适合处理多变量、非凸、有约束的优化问题。解题过程循序渐进讲解步骤 1：理解交替变量方向法（AVDM）的基本思想交替变量方向法是一种迭代优化算法，适用于多变量优化问题。核心思想是：在每次迭代中，固定其他所有变量，只优化一个变量（或一个变量子集）。这样就将一个高维问题分解为一系列低维子问题。对于约束问题，每个子问题在考虑约束时只处理当前变量的约束部分。AVDM 尤其适用于变量可分或近似可分的问题，即使非凸，也能通过求解一系列简单子问题逐步逼近最优解。在本题中，变量是 $x_ 1, x_ 2, x_ 3$。我们将依次固定其中两个变量，优化第三个变量。每次子优化是一个单变量约束优化问题。步骤 2：初始化迭代点选择初始可行点 $x^{(0)}$。我们需要满足所有约束。可以简单选取一个满足等式约束 $h(x)=0$ 的点，并检查不等式约束。例如，取 $x_ 1 = 1, x_ 2 = 2$，则由 $h$ 得 $x_ 3 = 5 - 1 - 2 = 2$。检查约束： $g_ 1(1,2) = 1^2 + 2^2 - 4 = 1 \leq 0$ 不满足（因为 1 > 0），所以不可行。因此，我们调整：取 $x_ 1 = 1, x_ 2 = 1$，则 $x_ 3 = 5 - 1 - 1 = 3$。检查：$g_ 1(1,1) = 1 + 1 - 4 = -2 \leq 0$ 满足；$g_ 2(1,1) = -1 - 1 + 1 = -1 \leq 0$ 满足。所以 $x^{(0)} = (1, 1, 3)$ 是一个可行点。设迭代计数 $k = 0$。步骤 3：定义子问题结构在 AVDM 的一次迭代中，我们按顺序优化每个变量：固定 $x_ 2 = x_ 2^{(k)}$ 和 $x_ 3 = x_ 3^{(k)}$，优化 $x_ 1$。固定 $x_ 1 = x_ 1^{(k+1)}$ 和 $x_ 3 = x_ 3^{(k)}$，优化 $x_ 2$。固定 $x_ 1 = x_ 1^{(k+1)}$ 和 $x_ 2 = x_ 2^{(k+1)}$，优化 $x_ 3$。每个子问题是在约束下最小化关于单一变量的函数。因为约束涉及多个变量，当固定两个变量时，约束变为关于当前变量的简单约束（例如，$g_ 1$ 变为关于 $x_ 1$ 的二次不等式，但常数项包含固定变量）。步骤 4：求解第一个子问题（优化 $x_ 1$）在第 $k$ 次迭代，固定 $x_ 2^{(k)} = 1$，$x_ 3^{(k)} = 3$。目标函数中只保留与 $x_ 1$ 相关的项： \[ f_ 1(x_ 1) = (x_ 1 - 2)^4 + 2 \sin(x_ 1 \cdot 1) + \text{常数（与 $x_ 1$ 无关的项可忽略）} \] 但需要注意，由于等式约束 $h$ 的存在，当我们改变 $x_ 1$ 时，$x_ 3$ 可能需要调整以保持等式成立？不，在 AVDM 中，我们通常一次只改变一个变量，而等式约束会涉及所有变量，所以我们需要在子问题中考虑等式约束对当前变量的影响。实际上，等式约束 $x_ 1 + x_ 2 + x_ 3 = 5$ 意味着当我们改变 $x_ 1$ 时，如果我们希望保持等式成立，则 $x_ 3 = 5 - x_ 1 - x_ 2$ 会随之变化。但这违反了“只优化一个变量”的设定。为了处理等式约束，常用方法是利用等式消去一个变量，或者将等式约束纳入每个子问题的约束中。这里我们采用后者：在优化 $x_ 1$ 时，将 $x_ 3$ 表达为 $x_ 3 = 5 - x_ 1 - x_ 2$，这样 $x_ 3$ 不再独立，子问题变为关于 $x_ 1$ 的单变量问题，但 $x_ 2$ 固定。因此，在优化 $x_ 1$ 时，代入 $x_ 3 = 5 - x_ 1 - x_ 2$，其中 $x_ 2 = x_ 2^{(k)}$。然后目标函数变为： \[ \tilde{f}(x_ 1) = (x_ 1 - 2)^4 + (x_ 2 - 3)^2 + (5 - x_ 1 - x_ 2 - 1)^2 + 2 \sin(x_ 1 x_ 2) \] 化简常数项：$5 - x_ 1 - x_ 2 - 1 = 4 - x_ 1 - x_ 2$，所以 $(4 - x_ 1 - x_ 2)^2 = (x_ 1 + x_ 2 - 4)^2$。代入 $x_ 2 = 1$： \[ \tilde{f}(x_ 1) = (x_ 1 - 2)^4 + (1 - 3)^2 + (x_ 1 + 1 - 4)^2 + 2 \sin(x_ 1 \cdot 1) \] \[ = (x_ 1 - 2)^4 + 4 + (x_ 1 - 3)^2 + 2 \sin x_ 1 \] 忽略常数 4，最小化 \[ \phi_ 1(x_ 1) = (x_ 1 - 2)^4 + (x_ 1 - 3)^2 + 2 \sin x_ 1 \] 约束需要考虑 $g_ 1$ 和 $g_ 2$。 $g_ 1: x_ 1^2 + 1^2 - 4 \leq 0 \Rightarrow x_ 1^2 \leq 3 \Rightarrow -\sqrt{3} \leq x_ 1 \leq \sqrt{3} \approx [ -1.732, 1.732 ]$。 $g_ 2: -x_ 1 - 1 + 1 \leq 0 \Rightarrow -x_ 1 \leq 0 \Rightarrow x_ 1 \geq 0$。结合得 $0 \leq x_ 1 \leq 1.732$。另外，代入 $x_ 3 = 5 - x_ 1 - 1 = 4 - x_ 1$，没有对 $x_ 1$ 的直接约束。因此子问题是：在区间 $[ 0, 1.732]$ 上最小化 $\phi_ 1(x_ 1) = (x_ 1 - 2)^4 + (x_ 1 - 3)^2 + 2 \sin x_ 1$。这是一个单变量非凸函数，可用一维搜索（如黄金分割法或梯度法）求解。这里我们手动分析一下：求导： \[ \phi_ 1'(x_ 1) = 4(x_ 1 - 2)^3 + 2(x_ 1 - 3) + 2 \cos x_ 1 \] 在区间内取几个点计算： $x_ 1=0$: $\phi_ 1'(0) = 4(-8) + 2(-3) + 2 \cos 0 = -32 -6 +2 = -36$，负，函数下降。 $x_ 1=1$: $\phi_ 1'(1) = 4(-1)^3 + 2(-2) + 2 \cos 1 = -4 -4 + 2* 0.5403 = -7.9194$，负。 $x_ 1=1.732$: $\phi_ 1'(1.732) = 4( -0.268)^3 + 2(-1.268) + 2 \cos(1.732)$，$\cos 1.732 \approx -0.16$，计算得 $4* (-0.0192) -2.536 -0.32 = -0.0768 -2.856 = -2.9328$，仍为负。导数在区间内始终为负，说明函数单调递减，最小值在右端点 $x_ 1 = 1.732$ 处取得。所以 $x_ 1^{(k+1)} = 1.732$（保留三位小数）。此时更新 $x_ 3 = 5 - 1.732 - 1 = 2.268$，但由于我们在优化 $x_ 1$ 时已经隐含更新了 $x_ 3$，所以实际上我们暂时不更新 $x_ 3$，等优化 $x_ 2$ 时再重新代入等式。在标准 AVDM 中，每次优化一个变量后，立即更新该变量，并利用等式约束重新计算被消去的变量（如果有）。这里我们采用更一致的做法：每次优化一个变量时，从等式解出该变量与固定变量的关系，从而将问题转化为无约束（或简单约束）的单变量优化。但这样在优化 $x_ 2$ 时等式形式会变。为了避免混乱，我们采用另一种处理等式约束的常用方法：惩罚函数法或增广拉格朗日法，但那样会复杂化。由于本题是基础题，我们采用简化方式：在每个子问题中，将等式约束直接代入，消去 $x_ 3$，这样变量只剩 $x_ 1, x_ 2$，然后交替优化 $x_ 1$ 和 $x_ 2$。因为 $x_ 3 = 5 - x_ 1 - x_ 2$，所以优化 $x_ 1$ 和 $x_ 2$ 后，$x_ 3$ 自动确定。所以我们调整思路：用等式消去 $x_ 3$，问题变为关于 $x_ 1, x_ 2$ 的二维问题，约束为 $g_ 1$ 和 $g_ 2$（注意 $x_ 3$ 代入后可能影响约束？实际上 $g_ 1$ 和 $g_ 2$ 不涉及 $x_ 3$，所以不变）。目标函数变为： \[ F(x_ 1, x_ 2) = (x_ 1 - 2)^4 + (x_ 2 - 3)^2 + (5 - x_ 1 - x_ 2 - 1)^2 + 2 \sin(x_ 1 x_ 2) \] \[ = (x_ 1 - 2)^4 + (x_ 2 - 3)^2 + (4 - x_ 1 - x_ 2)^2 + 2 \sin(x_ 1 x_ 2) \] 约束： \[ g_ 1: x_ 1^2 + x_ 2^2 - 4 \leq 0 \] \[ g_ 2: -x_ 1 - x_ 2 + 1 \leq 0 \] 没有等式约束了（已消去）。现在 AVDM 在二维上交替优化 $x_ 1$ 和 $x_ 2$。步骤 5：重新从初始点开始用 AVDM 解二维问题初始点 $x_ 1^{(0)} = 1, x_ 2^{(0)} = 1$，满足约束（已验证）。迭代 1：优化 $x_ 1$，固定 $x_ 2 = 1$ 目标关于 $x_ 1$ 的部分： \[ F_ 1(x_ 1) = (x_ 1 - 2)^4 + (1 - 3)^2 + (4 - x_ 1 - 1)^2 + 2 \sin(x_ 1 \cdot 1) \] \[ = (x_ 1 - 2)^4 + 4 + (3 - x_ 1)^2 + 2 \sin x_ 1 \] 常数 4 可忽略。约束： $g_ 1: x_ 1^2 + 1 - 4 \leq 0 \Rightarrow x_ 1^2 \leq 3 \Rightarrow |x_ 1| \leq 1.732$ $g_ 2: -x_ 1 - 1 + 1 \leq 0 \Rightarrow -x_ 1 \leq 0 \Rightarrow x_ 1 \geq 0$ 所以 $x_ 1 \in [ 0, 1.732 ]$。最小化 $\phi_ 1(x_ 1) = (x_ 1 - 2)^4 + (3 - x_ 1)^2 + 2 \sin x_ 1$。与之前相同，导数在区间内为负，最小值在右端点 $x_ 1 = 1.732$。取 $x_ 1^{(1)} = 1.732$。迭代 1：优化 $x_ 2$，固定 $x_ 1 = 1.732$ 目标关于 $x_ 2$ 的部分： \[ F_ 2(x_ 2) = (1.732 - 2)^4 + (x_ 2 - 3)^2 + (4 - 1.732 - x_ 2)^2 + 2 \sin(1.732 \cdot x_ 2) \] 计算常数：$(1.732 - 2)^4 = (-0.268)^4 \approx 0.00516$，$(4 - 1.732) = 2.268$，所以 \[ F_ 2(x_ 2) = 0.00516 + (x_ 2 - 3)^2 + (2.268 - x_ 2)^2 + 2 \sin(1.732 x_ 2) \] 约束： $g_ 1: (1.732)^2 + x_ 2^2 - 4 \leq 0 \Rightarrow 3 + x_ 2^2 - 4 \leq 0 \Rightarrow x_ 2^2 \leq 1 \Rightarrow |x_ 2| \leq 1$ $g_ 2: -1.732 - x_ 2 + 1 \leq 0 \Rightarrow -0.732 - x_ 2 \leq 0 \Rightarrow x_ 2 \geq -0.732$ 结合得 $x_ 2 \in [ -0.732, 1]$（但注意初始域通常取交集，从 $x_ 2^{(0)}=1$ 开始，我们在这个区间搜索）。最小化 $\phi_ 2(x_ 2) = (x_ 2 - 3)^2 + (2.268 - x_ 2)^2 + 2 \sin(1.732 x_ 2)$（忽略常数）。展开：$(x_ 2^2 - 6x_ 2 + 9) + (x_ 2^2 - 4.536 x_ 2 + 5.144) = 2x_ 2^2 - 10.536 x_ 2 + 14.144$。所以 $\phi_ 2(x_ 2) = 2x_ 2^2 - 10.536 x_ 2 + 14.144 + 2 \sin(1.732 x_ 2)$。求导： \[ \phi_ 2'(x_ 2) = 4x_ 2 - 10.536 + 3.464 \cos(1.732 x_ 2) \] 在区间 $[ -0.732, 1 ]$ 上，计算几个点： $x_ 2 = -0.732$: $\phi_ 2'(-0.732) = 4(-0.732) - 10.536 + 3.464 \cos(-1.268) \approx -2.928 -10.536 + 3.464* 0.300 \approx -13.464 + 1.039 = -12.425$，负。 $x_ 2 = 0$: $\phi_ 2'(0) = 0 - 10.536 + 3.464* 1 = -7.072$，负。 $x_ 2 = 1$: $\phi_ 2'(1) = 4 - 10.536 + 3.464 \cos(1.732) \approx -6.536 + 3.464* (-0.16) \approx -6.536 -0.554 = -7.09$，负。导数在整个区间为负，函数递减，最小值在右端点 $x_ 2 = 1$ 取得。所以 $x_ 2^{(1)} = 1$（没有变化）。因此第一次迭代后，点变为 $(1.732, 1)$，对应 $x_ 3 = 5 - 1.732 - 1 = 2.268$。步骤 6：继续迭代直到收敛第二次迭代：优化 $x_ 1$，固定 $x_ 2=1$，约束区间 $x_ 1 \in [ 0,1.732]$，与第一次迭代相同，结果仍为 $x_ 1=1.732$。优化 $x_ 2$，固定 $x_ 1=1.732$，约束区间 $x_ 2 \in [ -0.732,1]$，导数仍为负，最小值在 $x_ 2=1$。所以点不再变化，算法收敛到 $(1.732, 1, 2.268)$。步骤 7：检查收敛性和最优性 AVDM 收敛到一个稳定点，即在该点处，沿每个坐标方向都无法改进。但该点可能是局部最优，不一定全局最优。我们计算该点的约束满足情况： $g_ 1: 1.732^2 + 1^2 - 4 = 3 + 1 - 4 = 0$，满足等式（紧约束）。 $g_ 2: -1.732 -1 +1 = -1.732 \leq 0$，满足。等式 $x_ 1+x_ 2+x_ 3=1.732+1+2.268=5$，满足。目标函数值： \[ f = (1.732-2)^4 + (1-3)^2 + (2.268-1)^2 + 2 \sin(1.732* 1) \approx 0.00516 + 4 + 1.607 + 2 \sin(1.732) \] $\sin(1.732) \approx 0.987$，所以 $2 \sin(1.732) \approx 1.974$。总和 $\approx 0.00516 + 4 + 1.607 + 1.974 = 7.586$。我们可以尝试附近点，例如 $x_ 1=1.5, x_ 2=1.323$（满足 $g_ 1=0$），则 $x_ 3=5-2.823=2.177$，计算目标值可能略小，但本例中 AVDM 收敛到边界点。由于问题非凸，可能存在多个局部最优。AVDM 的结果是一个可行解，且满足一阶必要性条件（在子问题上）。步骤 8：讨论 AVDM 的特点优点：将复杂问题分解为简单子问题，易于实现。缺点：收敛速度可能慢，且可能收敛到非驻点（由于约束边界导致的不可微）。对于此问题，我们得到解 $(1.732, 1, 2.268)$，目标值约 7.586。通过以上步骤，我们完成了用 AVDM 求解该约束非凸优化问题的过程。