龙贝格积分法 题目描述 计算定积分 \( I = \int_ {a}^{b} f(x) \, dx \) 的近似值，其中 \( f(x) = \sin(x^2) \)，积分区间为 \([ 0, 1 ]\)，要求使用龙贝格积分法，使误差小于 \(10^{-6}\)。 解题过程 龙贝格积分法是通过递归组合梯形公式的结果，逐步外推得到高精度积分值的高效算法。其核心思想是 理查森外推法 ，利用低阶公式的误差展开式消除误差主项。 步骤1：定义梯形公式序列 将区间 \([ a, b ]\) 进行 \(2^k\) 等分（\(k=0,1,2,\dots\)），定义梯形公式的近似值： \[ T_ 0 = \frac{b-a}{2} [ f(a) + f(b) ] \] \[ T_ {k} = \frac{1}{2} T_ {k-1} + \frac{b-a}{2^k} \sum_ {i=1}^{2^{k-1}} f\left(a + (2i-1)\frac{b-a}{2^k}\right) \quad (k \geq 1) \] 解释 ：\(T_ k\) 是 \(2^k\) 等分后的梯形公式结果，每次迭代只需计算新增节点（奇数分点）的函数值。 步骤2：构建龙贝格表 龙贝格表是一个二维表格 \( R_ {m,n} \)，其中： \(R_ {0,n} = T_ n\)（第0列为梯形序列） 外推公式： \[ R_ {m,n} = \frac{4^m R_ {m-1,n+1} - R_ {m-1,n}}{4^m - 1} \quad (m \geq 1, n \geq 0) \] 物理意义 ：\(R_ {m,n}\) 是通过组合 \(T_ n, T_ {n+1}, \dots\) 消除误差主项后得到的更高阶近似（相当于 \(2m+2\) 阶精度）。 步骤3：迭代计算直至收敛 按以下流程迭代： 初始化 \(k=0\)，计算 \(T_ 0\)。 每次将 \(k\) 增加 1，计算 \(T_ k\)。 逐行计算 \(R_ {m,n}\)（\(m=1\) 到 \(k\)，\(n=k-m\)），例如： \(R_ {1,0} = \frac{4 R_ {0,1} - R_ {0,0}}{3}\)（辛普森公式） \(R_ {2,0} = \frac{16 R_ {1,1} - R_ {1,0}}{15}\)（布尔公式） 检查相邻对角线元素 \(|R_ {k,0} - R_ {k-1,0}| < \epsilon\)，若满足则停止。 步骤4：代入本题数据 对 \(f(x)=\sin(x^2)\) 在 \([ 0,1 ]\) 上计算： \(T_ 0 = \frac{1}{2} [ \sin(0) + \sin(1) ] \approx 0.420735\) \(T_ 1 = \frac{T_ 0}{2} + \frac{1}{2} f(0.5) \approx 0.420735/2 + 0.5 \cdot \sin(0.25) \approx 0.210368 + 0.247404 = 0.457772\) 继续计算 \(T_ 2, T_ 3, \dots\) 并外推： 龙贝格表前几行（数值保留6位小数）： | m\\n | 0 | 1 | 2 | |------|-----------|-----------|-----------| | 0 | 0.420735 | 0.457772 | 0.450941 | | 1 | 0.469395 | 0.469526 | — | | 2 | 0.469531 | — | — | 关键结果 ：\(R_ {2,0} \approx 0.469531\) 与 \(R_ {1,0} \approx 0.469395\) 的差约为 \(1.36 \times 10^{-4}\)，需继续迭代直至达到 \(10^{-6}\) 精度。最终结果约为 0.469532 。 总结 龙贝格积分法通过梯形公式的递归和外推，快速提升精度，避免直接计算高阶多项式，是数值积分中高效且稳定的方法。