基于线性规划的图最小带宽排序问题的多项式时间算法求解示例
字数 4319 2025-12-14 09:25:03

基于线性规划的图最小带宽排序问题的多项式时间算法求解示例

我们先明确“图的最小带宽排序”这个问题的定义。

1. 问题描述

给定一个无向图 \(G = (V, E)\)，其中 \(|V| = n\)，我们要找一个顶点排列（即一个双射函数 \(\pi: V \to \{1, 2, \dots, n\}\)），使得这个排列的带宽（bandwidth）最小。

带宽定义为：

\[B(\pi) = \max_{\{u,v\} \in E} |\pi(u) - \pi(v)| \]

即：所有边的两个端点在排列中位置编号之差的最大值。

最小带宽问题（Minimum Bandwidth Problem）是：找到排列 \(\pi\) 使得 \(B(\pi)\) 最小，这个最小值记为 \(B_{\min}(G)\)。

  • 在一般图中，求最小带宽是 NP-hard 问题。
  • 但对于某些特殊图（比如树），存在多项式时间算法，可以通过动态规划或转化为整数线性规划（ILP），但一般 ILP 求解是 NP-hard 的，我们需要利用它的特殊结构或者利用线性规划松弛加舍入技巧得到近似解。
    不过，这里我们考虑利用线性规划建模 + 特定结构（如路径图、区间图）可多项式求解的方法示例。

本例中，我们考虑一种可多项式求解的情况：当带宽的候选值固定为 \(k\) 时，判定是否存在排列使得带宽 \(\le k\) 可以在多项式时间完成（对某些图类），并且可转化为线性规划可行性问题。

2. 固定带宽的判定问题建模

给定一个整数 \(k\)（\(1 \le k \le n-1\)），判断是否存在排列 \(\pi\) 满足：

\[|\pi(u) - \pi(v)| \le k, \quad \forall \{u,v\} \in E \]

并且 \(\pi\) 是 1 到 n 的排列。

2.1 变量定义

设对每个顶点 \(v\) 定义一个位置变量 \(x_v \in [1, n]\) 的实数。但直接这样是连续的，我们要让它对应 1 到 n 的整数排列，这是组合约束，难以线性表达。
不过可以用区间约束来保证边的距离限制，然后用排序约束保证不同顶点位置不同且为排列。

一种常见建模思路（用于带宽固定时的可行性）是：

  1. 用连续变量 \(p_v \in [1, n]\) 表示顶点 \(v\) 的位置。
  2. 对每条边 \(\{u, v\} \in E\)，添加约束：

\[|p_u - p_v| \le k \]

即：

\[- k \le p_u - p_v \le k \]

这是线性约束。
3. 但我们还需要 \(p\) 是 1, 2, …, n 的一个排列（即 \(p\) 是整数且两两不同）。

2.2 处理排列条件

如果我们放宽整数排列条件，只要求：

  • 每个顶点位置在 1 到 n 之间
  • 任意两个不同顶点 \(u, v\) 的 \(p_u\) 和 \(p_v\) 相差至少 1？

不，这样会出问题，因为如果只是 \(p_u \neq p_v\) 但允许分数，可能可以挤在一起，但排列必须占用 n 个不同的整数位置，连续变量允许分数时会不满足“整数位置”的条件。

因此，为了判定“是否存在整数排列满足带宽 ≤ k”，我们可以用区间图着色的观点：

  • 如果我们把每个顶点 \(v\) 在排列中的允许位置集合定义为一个区间 \(I_v = [L_v, R_v]\)，其中 \(L_v\) 和 \(R_v\) 是整数变量，并保证区间长度适当，且区间有交集的性质能对应边关系，那么带宽约束可以变成区间约束，这就是著名的区间图完成方法。

3. 具体可多项式求解的情况

已知结论：对于任意固定整数 \(k\)，判断图的最小带宽是否 ≤ k 是 NP 完全的（对一般图），但对于树，存在多项式时间算法（Saxe 1980），但也不是直接解这个线性规划松弛就得到整数解，而是用动态规划。不过我们可以用线性规划建模来近似：

另一种可多项式求解的特殊情况是区间图（interval graph）的带宽问题——实际上区间图的带宽等于它的密度（最大团的大小）减 1 吗？不一定，但区间图的最小带宽可在多项式时间求得，通过转化为区间排序问题，可以建模为线性规划。

4. 转化为区间排序线性规划

设对每个顶点 \(v\) 分配一个区间 \([x_v, y_v]\)，其中 \(x_v\) 是起点，\(y_v\) 是终点，且区间长度固定 = 某个值 \(k\)？不对，我们不是在区间图上做带宽，而是将排列问题转为区间约束：

思路：带宽 ≤ k 意味着：如果 \(u\) 和 \(v\) 相邻，它们在排列中的位置距离 ≤ k。
于是对于每个顶点 \(v\)，我们可以定义一个实数变量 \(t_v\) 表示它在排列中的位置，但必须满足：

\[t_u - t_v \le k, \quad t_v - t_u \le k, \quad \forall \{u,v\} \in E \]

以及不同顶点对应的 \(t_v\) 要两两不同，并且最终可调整为 1, 2, …, n 的排列，即满足“排序约束”：对任意不同顶点 \(u, v\)，要么 \(t_u \ge t_v + 1\) 要么 \(t_v \ge t_u + 1\)（这是整数性条件）。

这个“要么”难以线性化，但如果我们固定一个“方向”，比如对顶点任意排序编号 1 到 n，用变量 \(t_v\) 表示 v 的位置，可以引入 0-1 变量 \(z_{uv}\) 表示 \(t_u < t_v\)，然后 \(t_v - t_u \ge 1 - M(1-z_{uv})\) 等，这样变成整数线性规划（ILP）。

但 ILP 是 NP-hard 的，所以我们不直接解 ILP，而是用它的线性规划松弛。

5. 求解方法概述

虽然一般图带宽是 NP-hard，但我们可以用以下多项式时间方法近似最小带宽：

  1. 用线性规划松弛忽略“排列”的整数约束，只保留：

\[1 \le t_v \le n, \quad \forall v \]

\[ - k \le t_u - t_v \le k, \quad \forall \{u,v\} \in E \]

以及松弛的排序约束，比如用时间差至少 0.5 来避免同一位置，但仍允许分数。

  1. 求解这个线性规划，得到一组分数解 \(t_v^*\)。

  2. 将 \(t_v^*\) 按值从小到大排序，得到一个排列（分数相同则任意排序）。可以证明，如果原问题存在带宽 ≤ k 的整数排列，这个线性规划就有可行解，但反过来，线性规划有可行解不一定有整数排列，不过我们可以证明舍入得到的排列带宽 ≤ 2k 或 k+O(...)，具体证明取决于约束设计。

  3. 再用二分法搜索最小的 k 使得这个线性规划可行，得到近似带宽。

6. 算法步骤

步骤 1：将最小带宽问题写成如下形式（精确 ILP）：

变量：

  • 实数 \(p_v \in [1, n]\)
  • 0-1 变量 \(x_{uv} = 1\) 表示 \(p_u < p_v\)

约束：

\[p_u - p_v \le k \cdot y_{uv} + (n-k)(1-y_{uv})? \]

更直接的方法：用 Miller–Tucker–Zemlin 类型的约束消除“要么”条件，但会增加大量变量。

步骤 2：松弛掉 0-1 变量 \(x_{uv}\) 的整数性，变成：

\[p_u - p_v \le k, \quad p_v - p_u \le k, \quad \forall (u,v) \in E \]

\[ p_u - p_v \ge 1 - M(1-w_{uv}), \quad p_v - p_u \ge 1 - M w_{uv}, \quad w_{uv} \in [0,1] \]

这里 \(M\) 是大的常数（如 n+1），\(w_{uv}\) 连续，表示顺序的指示。
但可以简化：完全去掉顺序约束，只保留边的带宽约束，然后任意排列。

步骤 3：求解线性规划：

\[\min\ 0 \]

\[ \text{s.t.} \quad 1 \le p_v \le n, \quad \forall v \]

\[ -k \le p_u - p_v \le k, \quad \forall \{u,v\} \in E \]

这是可行性问题（k 固定）。
这组约束定义了一个凸多面体。如果这个 LP 无可行解，则原问题（整数排列）一定无解；如果有可行解，我们得到一组分数解。

步骤 4：对解 \(p_v\) 按值排序，得到排列 \(\pi\)，并计算这个排列的实际带宽 \(B(\pi)\)。
可证明：如果原图存在带宽 ≤ k 的排列，这个舍入得到的排列的带宽 ≤ 2k（对树的情况可证明 ≤ k 的近似比有更好结果，这里不详述）。

步骤 5：在 1 到 n-1 之间用二分法求最小的 k 使得 LP 可行，并得到对应的排列和带宽。

7. 举例说明

考虑一个简单路径图 \(P_4\)：顶点 1-2-3-4 依次相连。

我们猜测 k=1 是否可行。
约束：

\[p_1, p_2, p_3, p_4 \in [1,4] \]

\[ |p_1 - p_2| \le 1 \]

\[ |p_2 - p_3| \le 1 \]

\[ |p_3 - p_4| \le 1 \]

我们要求 \(p\) 是 1,2,3,4 的排列（整数约束），但先忽略整数约束，只检查可行性。

分数解例子：\(p_1=1, p_2=2, p_3=3, p_4=4\) 满足，它是整数排列，带宽=1。
所以路径图 \(P_4\) 的最小带宽是 1。

8. 多项式时间性

  • 检查固定的 k 是否可行（线性规划）只需要解一个 O(|V|+|E|) 个变量、O(|V|+|E|) 个约束的线性规划，可在多项式时间完成。
  • 用二分法对 k 在 1 到 n-1 之间搜索，需要 O(log n) 次 LP 求解。
  • 因此整体是多项式时间算法（但只是判断“分数解”存在性，对某些特殊图，分数解存在时整数解也存在，比如区间图、弦图等）。
基于线性规划的图最小带宽排序问题的多项式时间算法求解示例 我们先明确“图的最小带宽排序”这个问题的定义。 1. 问题描述 给定一个无向图 \(G = (V, E)\)，其中 \(|V| = n\)，我们要找一个 顶点排列 （即一个双射函数 \(\pi: V \to \{1, 2, \dots, n\}\)），使得这个排列的 带宽 （bandwidth）最小。 带宽 定义为： \[ B(\pi) = \max_ {\{u,v\} \in E} |\pi(u) - \pi(v)| \] 即：所有边的两个端点在排列中位置编号之差的最大值。 最小带宽问题 （Minimum Bandwidth Problem）是：找到排列 \(\pi\) 使得 \(B(\pi)\) 最小，这个最小值记为 \(B_ {\min}(G)\)。 在一般图中，求最小带宽是 NP-hard 问题。 但对于某些特殊图（比如树），存在多项式时间算法，可以通过动态规划或转化为整数线性规划（ILP），但一般 ILP 求解是 NP-hard 的，我们需要利用它的特殊结构或者利用线性规划松弛加舍入技巧得到近似解。 不过，这里我们考虑 利用线性规划建模 + 特定结构（如路径图、区间图）可多项式求解 的方法示例。 本例中，我们考虑一种可多项式求解的情况： 当带宽的候选值固定为 \(k\) 时，判定是否存在排列使得带宽 \(\le k\) 可以在多项式时间完成 （对某些图类），并且可 转化为线性规划可行性问题 。 2. 固定带宽的判定问题建模 给定一个整数 \(k\)（\(1 \le k \le n-1\)），判断是否存在排列 \(\pi\) 满足： \[ |\pi(u) - \pi(v)| \le k, \quad \forall \{u,v\} \in E \] 并且 \(\pi\) 是 1 到 n 的排列。 2.1 变量定义 设对每个顶点 \(v\) 定义一个 位置变量 \(x_ v \in [ 1, n ]\) 的实数。但直接这样是连续的，我们要让它对应 1 到 n 的整数排列，这是组合约束，难以线性表达。 不过可以用 区间约束 来保证边的距离限制，然后用 排序约束 保证不同顶点位置不同且为排列。 一种常见建模思路（用于带宽固定时的可行性）是： 用连续变量 \(p_ v \in [ 1, n ]\) 表示顶点 \(v\) 的位置。 对每条边 \(\{u, v\} \in E\)，添加约束： \[ |p_ u - p_ v| \le k \] 即： \[ k \le p_ u - p_ v \le k \] 这是线性约束。 但我们还需要 \(p\) 是 1, 2, …, n 的一个排列（即 \(p\) 是整数且两两不同）。 2.2 处理排列条件 如果我们放宽整数排列条件，只要求： 每个顶点位置在 1 到 n 之间 任意两个不同顶点 \(u, v\) 的 \(p_ u\) 和 \(p_ v\) 相差至少 1？ 不，这样会出问题，因为如果只是 \(p_ u \neq p_ v\) 但允许分数，可能可以挤在一起，但排列必须占用 n 个不同的整数位置，连续变量允许分数时会不满足“整数位置”的条件。 因此，为了判定“是否存在整数排列满足带宽 ≤ k”，我们可以用 区间图着色 的观点： 如果我们把每个顶点 \(v\) 在排列中的允许位置集合定义为一个区间 \(I_ v = [ L_ v, R_ v]\)，其中 \(L_ v\) 和 \(R_ v\) 是整数变量，并保证区间长度适当，且区间有交集的性质能对应边关系，那么带宽约束可以变成区间约束，这就是著名的 区间图完成 方法。 3. 具体可多项式求解的情况 已知结论 ：对于任意固定整数 \(k\)， 判断图的最小带宽是否 ≤ k 是 NP 完全的 （对一般图），但对于树，存在多项式时间算法（Saxe 1980），但也不是直接解这个线性规划松弛就得到整数解，而是用动态规划。不过我们可以用线性规划建模来近似： 另一种可多项式求解的特殊情况是 区间图 （interval graph）的带宽问题——实际上区间图的带宽等于它的 密度 （最大团的大小）减 1 吗？不一定，但区间图的最小带宽可在多项式时间求得，通过转化为 区间排序问题 ，可以建模为线性规划。 4. 转化为区间排序线性规划 设对每个顶点 \(v\) 分配一个区间 \([ x_ v, y_ v]\)，其中 \(x_ v\) 是起点，\(y_ v\) 是终点，且区间长度固定 = 某个值 \(k\)？不对，我们不是在区间图上做带宽，而是 将排列问题转为区间约束 ： 思路 ：带宽 ≤ k 意味着：如果 \(u\) 和 \(v\) 相邻，它们在排列中的位置距离 ≤ k。 于是对于每个顶点 \(v\)，我们可以定义一个实数变量 \(t_ v\) 表示它在排列中的位置，但必须满足： \[ t_ u - t_ v \le k, \quad t_ v - t_ u \le k, \quad \forall \{u,v\} \in E \] 以及 不同顶点对应的 \(t_ v\) 要两两不同 ，并且最终可调整为 1, 2, …, n 的排列，即满足“排序约束”：对任意不同顶点 \(u, v\)，要么 \(t_ u \ge t_ v + 1\) 要么 \(t_ v \ge t_ u + 1\)（这是整数性条件）。 这个“要么”难以线性化，但如果我们固定一个“方向”，比如对顶点任意排序编号 1 到 n，用变量 \(t_ v\) 表示 v 的位置，可以引入 0-1 变量 \(z_ {uv}\) 表示 \(t_ u < t_ v\)，然后 \(t_ v - t_ u \ge 1 - M(1-z_ {uv})\) 等，这样变成整数线性规划（ILP）。 但 ILP 是 NP-hard 的，所以我们不直接解 ILP，而是用它的线性规划松弛。 5. 求解方法概述 虽然一般图带宽是 NP-hard，但我们可以用以下多项式时间方法 近似 最小带宽： 用 线性规划松弛 忽略“排列”的整数约束，只保留： \[ 1 \le t_ v \le n, \quad \forall v \] \[ k \le t_ u - t_ v \le k, \quad \forall \{u,v\} \in E \] 以及 松弛的排序约束 ，比如用 时间差至少 0.5 来避免同一位置，但仍允许分数。 求解这个线性规划，得到一组分数解 \(t_ v^* \)。 将 \(t_ v^* \) 按值从小到大排序，得到一个排列（分数相同则任意排序）。可以证明，如果原问题存在带宽 ≤ k 的整数排列，这个线性规划就有可行解，但反过来，线性规划有可行解不一定有整数排列，不过我们可以证明舍入得到的排列带宽 ≤ 2k 或 k+O(...)，具体证明取决于约束设计。 再用二分法搜索最小的 k 使得这个线性规划可行，得到近似带宽。 6. 算法步骤 步骤 1 ：将最小带宽问题写成如下形式（精确 ILP）： 变量： 实数 \(p_ v \in [ 1, n ]\) 0-1 变量 \(x_ {uv} = 1\) 表示 \(p_ u < p_ v\) 约束： \[ p_ u - p_ v \le k \cdot y_ {uv} + (n-k)(1-y_ {uv})? \] 更直接的方法：用 Miller–Tucker–Zemlin 类型的约束消除“要么”条件，但会增加大量变量。 步骤 2 ：松弛掉 0-1 变量 \(x_ {uv}\) 的整数性，变成： \[ p_ u - p_ v \le k, \quad p_ v - p_ u \le k, \quad \forall (u,v) \in E \] \[ p_ u - p_ v \ge 1 - M(1-w_ {uv}), \quad p_ v - p_ u \ge 1 - M w_ {uv}, \quad w_ {uv} \in [ 0,1 ] \] 这里 \(M\) 是大的常数（如 n+1），\(w_ {uv}\) 连续，表示顺序的指示。 但可以简化：完全去掉顺序约束，只保留边的带宽约束，然后任意排列。 步骤 3 ：求解线性规划： \[ \min\ 0 \] \[ \text{s.t.} \quad 1 \le p_ v \le n, \quad \forall v \] \[ -k \le p_ u - p_ v \le k, \quad \forall \{u,v\} \in E \] 这是可行性问题（k 固定）。 这组约束定义了一个凸多面体。如果这个 LP 无可行解，则原问题（整数排列）一定无解；如果有可行解，我们得到一组分数解。 步骤 4 ：对解 \(p_ v\) 按值排序，得到排列 \(\pi\)，并计算这个排列的实际带宽 \(B(\pi)\)。 可证明：如果原图存在带宽 ≤ k 的排列，这个舍入得到的排列的带宽 ≤ 2k（对树的情况可证明 ≤ k 的近似比有更好结果，这里不详述）。 步骤 5 ：在 1 到 n-1 之间用二分法求最小的 k 使得 LP 可行，并得到对应的排列和带宽。 7. 举例说明 考虑一个简单路径图 \(P_ 4\)：顶点 1-2-3-4 依次相连。 我们猜测 k=1 是否可行。 约束： \[ p_ 1, p_ 2, p_ 3, p_ 4 \in [ 1,4 ] \] \[ |p_ 1 - p_ 2| \le 1 \] \[ |p_ 2 - p_ 3| \le 1 \] \[ |p_ 3 - p_ 4| \le 1 \] 我们要求 \(p\) 是 1,2,3,4 的排列（整数约束），但先忽略整数约束，只检查可行性。 分数解例子：\(p_ 1=1, p_ 2=2, p_ 3=3, p_ 4=4\) 满足，它是整数排列，带宽=1。 所以路径图 \(P_ 4\) 的最小带宽是 1。 8. 多项式时间性 检查固定的 k 是否可行（线性规划）只需要解一个 O(|V|+|E|) 个变量、O(|V|+|E|) 个约束的线性规划，可在多项式时间完成。 用二分法对 k 在 1 到 n-1 之间搜索，需要 O(log n) 次 LP 求解。 因此整体是多项式时间算法（但只是判断“分数解”存在性，对某些特殊图，分数解存在时整数解也存在，比如区间图、弦图等）。