Rabin 公钥加密算法的加密与解密过程

字数 2605 2025-12-14 08:57:32

Rabin 公钥加密算法的加密与解密过程

1. 题目描述
Rabin 公钥加密算法由 Michael Rabin 在 1979 年提出，其安全性基于大整数分解的困难性（与 RSA 类似），但具有一个独特的性质：解密时会产生多个可能的明文，需要额外信息确定正确明文。本题将详解 Rabin 算法的完整过程，包括密钥生成、加密、解密步骤，并解释为何会得到多个解密结果。

2. 密钥生成
密钥生成与 RSA 类似，但公钥结构更简单：

随机选择两个大素数 \(p\) 和 \(q\)，满足 \(p \equiv q \equiv 3 \ (\text{mod} \ 4)\)。这个限制是为了简化解密运算。
计算 \(n = p \times q\)，\(n\) 即为公钥，\((p, q)\) 为私钥。

示例：
选 \(p = 3, q = 11\)（实际应用需数百位的大素数）。
则公钥 \(n = 33\)，私钥 \((p, q) = (3, 11)\)。

3. 加密过程
对明文 \(m\)（需满足 \(0 \leq m < n\) 的整数），加密为密文 \(c\)：

\[c = m^2 \ \text{mod} \ n \]

示例：
若 \(m = 4\)，则 \(c = 4^2 \ \text{mod} \ 33 = 16\)。

注意：

加密只需公钥 \(n\)，计算简单。
若明文较长，需分块处理。

4. 解密过程
解密是 Rabin 算法的核心，需解决同余方程 \(m^2 \equiv c \ (\text{mod} \ n)\)。
由于 \(n = p \times q\)，可分解为两个方程：

\[m^2 \equiv c \ (\text{mod} \ p), \quad m^2 \equiv c \ (\text{mod} \ q) \]

步骤详解：
（1）计算 \(c\) 在模 \(p\) 和模 \(q\) 下的平方根。
利用条件 \(p \equiv 3 \ (\text{mod} \ 4)\)，平方根公式为：

\[m_p = c^{\frac{p+1}{4}} \ \text{mod} \ p, \quad m_q = c^{\frac{q+1}{4}} \ \text{mod} \ q \]

推导：由费马小定理 \(c^{p-1} \equiv 1 \ (\text{mod} \ p)\)，且 \(c\) 是模 \(p\) 的二次剩余时，有 \(c^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 \ (\text{mod} \ p)\)。则：

\[(c^{\frac{p+1}{4}})^2 \equiv c \cdot c^{\frac{p-1}{2}} \equiv c \ (\text{mod} \ p) \]

同理计算 \(m_q\)。

（2）用中国剩余定理（CRT）组合四个解。
每个方程有两个平方根：\(\pm m_p\) 和 \(\pm m_q\)，共四种组合，对应四个解：

\[\begin{cases} m_1 = \text{CRT}(+m_p, +m_q) \\ m_2 = \text{CRT}(+m_p, -m_q) \\ m_3 = \text{CRT}(-m_p, +m_q) \\ m_4 = \text{CRT}(-m_p, -m_q) \end{cases} \]

其中 CRT 计算为：

\[m = (m_p \cdot q \cdot q^{-1} \ \text{mod} \ p + m_q \cdot p \cdot p^{-1} \ \text{mod} \ q) \ \text{mod} \ n \]

（\(p^{-1}\) 是 \(p\) 模 \(q\) 的逆元）

示例（接上例 \(c=16, p=3, q=11\)）：

模 \(p=3\)：\(m_p = 16^{\frac{3+1}{4}} \ \text{mod} \ 3 = 16^1 \ \text{mod} \ 3 = 1\)。
模 \(q=11\)：\(m_q = 16^{\frac{11+1}{4}} \ \text{mod} \ 11 = 16^3 \ \text{mod} \ 11 = 4\)（因 \(16 \equiv 5\)，\(5^3=125 \equiv 4 \ \text{mod} \ 11\)）。
四种组合计算（简化计算）：
\(m_1 = \text{CRT}(1,4) = 4\)（正确明文）
\(m_2 = \text{CRT}(1,-4) = 26\)（因 \(-4 \equiv 7 \ \text{mod} \ 11\)）
\(m_3 = \text{CRT}(-1,4) = 7\)
\(m_4 = \text{CRT}(-1,-4) = 29\)

5. 确定正确明文
解密得到四个整数 \(\{4, 26, 7, 29\}\)，但只有一个对应原始明文。常用方法：

在明文中添加固定格式冗余（如尾部重复位），解密后筛选。
或通过额外信息（如明文的语义校验）识别。

注意：若明文空间小于 \(n\)，可能仅有一个解在合理范围内。

6. 安全性说明

攻击者要从 \(c\) 和 \(n\) 恢复 \(m\)，需计算模 \(n\) 的平方根，这等价于分解 \(n\)（已知 \(p, q\) 才能高效计算）。
与 RSA 相比，Rabin 加密具有可证明安全性：破解加密等价于分解大整数（RSA 无严格证明）。
缺点：解密不唯一，需冗余信息；速度略慢于 RSA 解密。

7. 总结
Rabin 算法是经典的非对称加密方案，其加密为平方模 \(n\)，解密需解二次同余方程并通过 CRT 得到多个候选。它在理论上具有“攻破等价于分解”的优势，但实践中因解密歧义需结合填充方案（如 PKCS#1 的修改版）使用。

Rabin 公钥加密算法的加密与解密过程 1. 题目描述 Rabin 公钥加密算法由 Michael Rabin 在 1979 年提出，其安全性基于大整数分解的困难性（与 RSA 类似），但具有一个独特的性质：解密时会产生多个可能的明文，需要额外信息确定正确明文。本题将详解 Rabin 算法的完整过程，包括密钥生成、加密、解密步骤，并解释为何会得到多个解密结果。 2. 密钥生成密钥生成与 RSA 类似，但公钥结构更简单：随机选择两个大素数 \( p \) 和 \( q \)，满足 \( p \equiv q \equiv 3 \ (\text{mod} \ 4) \)。这个限制是为了简化解密运算。计算 \( n = p \times q \)，\( n \) 即为公钥，\( (p, q) \) 为私钥。示例：选 \( p = 3, q = 11 \)（实际应用需数百位的大素数）。则公钥 \( n = 33 \)，私钥 \( (p, q) = (3, 11) \)。 3. 加密过程对明文 \( m \)（需满足 \( 0 \leq m < n \) 的整数），加密为密文 \( c \)： \[ c = m^2 \ \text{mod} \ n \] 示例：若 \( m = 4 \)，则 \( c = 4^2 \ \text{mod} \ 33 = 16 \)。注意：加密只需公钥 \( n \)，计算简单。若明文较长，需分块处理。 4. 解密过程解密是 Rabin 算法的核心，需解决同余方程 \( m^2 \equiv c \ (\text{mod} \ n) \)。由于 \( n = p \times q \)，可分解为两个方程： \[ m^2 \equiv c \ (\text{mod} \ p), \quad m^2 \equiv c \ (\text{mod} \ q) \] 步骤详解：（1）计算 \( c \) 在模 \( p \) 和模 \( q \) 下的平方根。利用条件 \( p \equiv 3 \ (\text{mod} \ 4) \)，平方根公式为： \[ m_ p = c^{\frac{p+1}{4}} \ \text{mod} \ p, \quad m_ q = c^{\frac{q+1}{4}} \ \text{mod} \ q \] 推导：由费马小定理 \( c^{p-1} \equiv 1 \ (\text{mod} \ p) \)，且 \( c \) 是模 \( p \) 的二次剩余时，有 \( c^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 \ (\text{mod} \ p) \)。则： \[ (c^{\frac{p+1}{4}})^2 \equiv c \cdot c^{\frac{p-1}{2}} \equiv c \ (\text{mod} \ p) \] 同理计算 \( m_ q \)。（2）用中国剩余定理（CRT）组合四个解。每个方程有两个平方根：\( \pm m_ p \) 和 \( \pm m_ q \)，共四种组合，对应四个解： \[ \begin{cases} m_ 1 = \text{CRT}(+m_ p, +m_ q) \\ m_ 2 = \text{CRT}(+m_ p, -m_ q) \\ m_ 3 = \text{CRT}(-m_ p, +m_ q) \\ m_ 4 = \text{CRT}(-m_ p, -m_ q) \end{cases} \] 其中 CRT 计算为： \[ m = (m_ p \cdot q \cdot q^{-1} \ \text{mod} \ p + m_ q \cdot p \cdot p^{-1} \ \text{mod} \ q) \ \text{mod} \ n \] （\( p^{-1} \) 是 \( p \) 模 \( q \) 的逆元）示例（接上例 \( c=16, p=3, q=11 \)）：模 \( p=3 \)：\( m_ p = 16^{\frac{3+1}{4}} \ \text{mod} \ 3 = 16^1 \ \text{mod} \ 3 = 1 \)。模 \( q=11 \)：\( m_ q = 16^{\frac{11+1}{4}} \ \text{mod} \ 11 = 16^3 \ \text{mod} \ 11 = 4 \)（因 \( 16 \equiv 5 \)，\( 5^3=125 \equiv 4 \ \text{mod} \ 11 \)）。四种组合计算（简化计算）： \( m_ 1 = \text{CRT}(1,4) = 4 \)（正确明文） \( m_ 2 = \text{CRT}(1,-4) = 26 \)（因 \(-4 \equiv 7 \ \text{mod} \ 11\)） \( m_ 3 = \text{CRT}(-1,4) = 7 \) \( m_ 4 = \text{CRT}(-1,-4) = 29 \) 5. 确定正确明文解密得到四个整数 \( \{4, 26, 7, 29\} \)，但只有一个对应原始明文。常用方法：在明文中添加固定格式冗余（如尾部重复位），解密后筛选。或通过额外信息（如明文的语义校验）识别。注意：若明文空间小于 \( n \)，可能仅有一个解在合理范围内。 6. 安全性说明攻击者要从 \( c \) 和 \( n \) 恢复 \( m \)，需计算模 \( n \) 的平方根，这等价于分解 \( n \)（已知 \( p, q \) 才能高效计算）。与 RSA 相比，Rabin 加密具有可证明安全性：破解加密等价于分解大整数（RSA 无严格证明）。缺点：解密不唯一，需冗余信息；速度略慢于 RSA 解密。 7. 总结 Rabin 算法是经典的非对称加密方案，其加密为平方模 \( n \)，解密需解二次同余方程并通过 CRT 得到多个候选。它在理论上具有“攻破等价于分解”的优势，但实践中因解密歧义需结合填充方案（如 PKCS#1 的修改版）使用。