非线性规划中的内点反射信赖域-拟牛顿混合算法基础题

字数 5976 2025-12-14 08:19:41

非线性规划中的内点反射信赖域-拟牛顿混合算法基础题

题目描述
考虑一个带有不等式约束的非线性规划问题：

\[\begin{aligned} \min_{x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & c_i(x) \ge 0, \quad i = 1, 2, \dots, m \end{aligned} \]

其中目标函数 $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 和约束函数 $c_i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 均为二阶连续可微，且 $m$ 可能很大。假设约束函数满足约束规范（如线性独立约束规范）。本题目要求设计并分析一种混合优化算法，该算法将内点法的障碍函数思想、反射变换以保持在可行域内部、信赖域框架的全局收敛性保证，以及拟牛顿法（如BFGS）对Hessian矩阵的近似更新相结合，用于高效求解该问题。该混合算法需在每一步迭代中：

通过障碍函数将约束问题转化为一系列无约束子问题。
在子问题求解中使用反射变换确保迭代点严格满足不等式约束（即始终在可行域内部）。
在信赖域框架下构建局部二次模型，并利用拟牛顿法更新近似Hessian，避免计算精确二阶导数。
设计合适的接受准则和信赖域半径更新策略，保证全局收敛。

请详细解释该混合算法的每一步，包括数学模型构建、迭代格式、关键参数更新，并讨论其收敛性。

解题过程

第一步：问题重构与障碍函数法

原始问题包含不等式约束 $c_i(x) \ge 0$。内点法通过引入障碍函数，将约束问题转化为一系列无约束问题。这里使用对数障碍函数，对于障碍参数 $\mu > 0$：

\[\Phi(x; \mu) = f(x) - \mu \sum_{i=1}^{m} \ln(c_i(x)) \]

当 $\mu \to 0$ 时，$\Phi(x; \mu)$ 的最优解趋近于原始问题的最优解。算法将从某个初始 $\mu_0 > 0$ 开始，在每次迭代后减小 $\mu$（例如 $\mu_{k+1} = \sigma \mu_k$，其中 $\sigma \in (0,1)$），逐步逼近原始解。

关键点：为确保 $\ln(c_i(x))$ 有意义，必须始终保持 $c_i(x) > 0$，即迭代点严格可行。这通过后续的反射变换实现。

第二步：反射变换确保严格可行性

给定当前迭代点 $x_k$ 满足 $c_i(x_k) > 0$，在计算搜索方向时，可能尝试的步长会使点靠近约束边界。为防止越界，对变量进行反射变换。定义变换 $y = T(x)$，其中 $y$ 为“反射变量”，使得在 $y$ 空间中优化时，对应回 $x$ 空间总能满足 $c_i(x) > 0$。

一种常用方式是对数障碍的天然效应：障碍函数在边界处趋于无穷，但为增强数值稳定性，可结合投影反射。简单起见，本算法采用以下策略：在每一步求解子问题时，我们直接约束步长，使得新点 $x_{k+1}$ 满足 $c_i(x_{k+1}) \ge \epsilon > 0$（其中 $\epsilon$ 是一个小的正数，如 $10^{-6}$）。这可通过在信赖域子问题中添加线性化约束来实现，但更简便的方法是：如果试探步导致 $c_i(x_{\text{trial}}) \le \epsilon$，则缩短步长或反射试探点。

具体反射操作：设试探步为 $d$，$x_{\text{trial}} = x_k + d$。若存在 $i$ 使 $c_i(x_{\text{trial}}) \le \epsilon$，则定义边界法向量方向的反射。但更实用的方法是：在计算障碍函数梯度时，我们已经用到 $1/c_i(x)$，当 $c_i(x)$ 很小时，梯度会很大，自动阻碍越界。因此，实际上反射机制可理解为：在优化过程中，由于障碍函数的惩罚，算法自然远离边界，而反射作为一种安全保障，可在试探点太靠近边界时，将其“推回”可行域内部。在实现中，可简单采用截断：若 $c_i(x_{\text{trial}}) < \epsilon$，则设置 $c_i(x_{\text{trial}}) = \epsilon$ 并重新计算步长，但更严谨的方法是：

定义松弛变量 $s_i = c_i(x)$，并要求 $s_i \ge 0 \。内点法将 \( s_i$ 显式作为变量，并在搜索方向计算中通过线性化约束确保 $s_i \ge 0$。本算法采用内点反射：当 $s_i$ 接近零时，在 Newton 方程中对应分量会被反射（即改变符号）以保持正性，这等价于在原始空间对 $x$ 进行微小调整。然而，为简化，本题目中我们不显式引入松弛变量，而是通过障碍函数和信赖域约束共同保证可行性。

实现方式：在信赖域子问题中，我们使用当前点 $x_k$ 处的线性化约束近似：
$c_i(x_k) + \nabla c_i(x_k)^T d \ge \epsilon$。
这确保了在步长 $d$ 内，约束仍满足严格正性。该线性约束与信赖域约束 $\|d\| \le \Delta_k$ 一起构成子问题。

第三步：构建拟牛顿-信赖域子问题

在当前点 $x_k$ 和当前障碍参数 $\mu$ 下，我们最小化障碍函数 $\Phi(x; \mu)$。在 $x_k$ 处，构建二次模型：

\[m_k(d) = \Phi(x_k; \mu) + \nabla \Phi(x_k; \mu)^T d + \frac{1}{2} d^T B_k d \]

其中：

$\nabla \Phi(x_k; \mu) = \nabla f(x_k) - \mu \sum_{i=1}^{m} \frac{\nabla c_i(x_k)}{c_i(x_k)}$
$B_k \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 是对 Hessian $\nabla^2 \Phi(x_k; \mu)$ 的拟牛顿近似，采用 BFGS 更新。

BFGS 更新公式（注意这里是针对障碍函数 $\Phi$ 的近似 Hessian）：
令 $s_k = x_{k+1} - x_k$，$y_k = \nabla \Phi(x_{k+1}; \mu) - \nabla \Phi(x_k; \mu)$。
若 $s_k^T y_k > 0$（曲率条件），则更新：

\[B_{k+1} = B_k - \frac{B_k s_k s_k^T B_k}{s_k^T B_k s_k} + \frac{y_k y_k^T}{s_k^T y_k} \]

否则，$B_{k+1} = B_k$（不更新）。

信赖域子问题：

\[\begin{aligned} \min_{d \in \mathbb{R}^n} \quad & m_k(d) \\ \text{s.t.} \quad & \|d\| \le \Delta_k, \\ & c_i(x_k) + \nabla c_i(x_k)^T d \ge \epsilon, \quad i=1,\dots,m \end{aligned} \]

其中 $\Delta_k > 0$ 是信赖域半径，$\epsilon > 0$ 是一个小的正数（如 $10^{-6}$）确保严格可行性。

该子问题是带有线性不等式约束的二次约束二次规划，但由于约束简单，可用投影梯度法或积极集法在信赖域内快速求解。

第四步：接受试探步与更新信赖域半径

设子问题解为 $d_k$，计算实际下降量 $\text{ared}_k = \Phi(x_k; \mu) - \Phi(x_k + d_k; \mu)$ 和预测下降量 $\text{pred}_k = m_k(0) - m_k(d_k)$。
定义比值 $\rho_k = \frac{\text{ared}_k}{\text{pred}_k}$。

更新规则：

若 $\rho_k \ge \eta_1$（例如 $\eta_1 = 0.01$），接受试探步：$x_{k+1} = x_k + d_k$。
否则，拒绝试探步：$x_{k+1} = x_k$。

信赖域半径更新（标准策略）：

如果 $\rho_k < \eta_1$，减小半径：$\Delta_{k+1} = \gamma_1 \Delta_k$（例如 $\gamma_1 = 0.25$）。
如果 $\rho_k \ge \eta_1$ 且 $\|d_k\| < \gamma_2 \Delta_k$（例如 $\gamma_2 = 0.9$），保持半径：$\Delta_{k+1} = \Delta_k$。
如果 $\rho_k \ge \eta_2$（例如 $\eta_2 = 0.75$）且 $\|d_k\| = \Delta_k$，增大半径：$\Delta_{k+1} = \gamma_3 \Delta_k$（例如 $\gamma_3 = 2$）。

注意：在更新 $x_{k+1}$ 后，需验证是否满足 $c_i(x_{k+1}) > 0$。若不满足（由于线性化误差），需减小步长或采用反射调整，直到满足。实际中，由于线性约束 $c_i(x_k) + \nabla c_i(x_k)^T d \ge \epsilon$ 和足够小的 $\Delta_k$，通常能保证。

第五步：障碍参数 $\mu$ 的更新

在每次成功迭代若干步后（或当 $\| \nabla \Phi(x_k; \mu) \|$ 足够小），减小障碍参数：

\[\mu_{k+1} = \sigma \mu_k, \quad \sigma \in (0,1) \text{（例如 } \sigma = 0.1 \text{）} \]

更新 $\mu$ 后，需重新计算梯度 $\nabla \Phi(x; \mu)$ 并可能重置拟牛顿矩阵 $B_k$（或继续使用当前 $B_k$，但需注意函数变化）。

第六步：算法流程

初始化：选择初始点 $x_0$ 满足 $c_i(x_0) > 0$，初始障碍参数 $\mu_0 > 0$，初始信赖域半径 $\Delta_0 > 0$，初始拟牛顿矩阵 $B_0 = I$（单位阵），设定常数 $\sigma, \eta_1, \eta_2, \gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \epsilon$，以及收敛容差 $\tau > 0$。
循环（对于 $k=0,1,2,\dots$）：
a. 计算当前障碍函数梯度 $\nabla \Phi(x_k; \mu)$。
b. 如果 $\| \nabla \Phi(x_k; \mu) \| \le \tau$ 且 $\mu \le \tau$，则终止（近似满足 KKT 条件）。
c. 如果 $\| \nabla \Phi(x_k; \mu) \| \le \sqrt{\mu}$，则更新障碍参数：$\mu = \sigma \mu$。
d. 构建二次模型 $m_k(d)$ 并求解信赖域子问题（带线性化约束 $c_i(x_k) + \nabla c_i(x_k)^T d \ge \epsilon$ 和 $\|d\| \le \Delta_k$），得到 $d_k$。
e. 计算实际下降与预测下降之比 $\rho_k$。
f. 根据 $\rho_k$ 决定是否接受 $d_k$ 并更新 $x_{k+1}$ 与 $\Delta_{k+1}$。
g. 若接受 $d_k$，则用 BFGS 公式更新 $B_{k+1}$（需满足曲率条件）。
输出最终解 $x_k$。

第七步：收敛性分析要点

全局收敛：由于信赖域框架保证每次迭代要么接受步长并减少目标，要么缩短半径，且障碍函数在可行域内下有界，算法能产生迭代点列使得 $\| \nabla \Phi(x_k; \mu) \| \to 0$ 当 $\mu \to 0$。结合障碍参数减小策略，序列的极限点满足原始问题的 KKT 条件。
局部超线性收敛：如果 $B_k$ 通过 BFGS 更新且最终逼近真实 Hessian，在接近解时算法等效于牛顿型内点法，可达到超线性收敛。但需注意约束规范与严格互补条件。
内点性保持：线性化约束 $c_i(x_k) + \nabla c_i(x_k)^T d \ge \epsilon$ 确保子问题解满足严格可行性，且通过反射/缩短步长，迭代点始终满足 $c_i(x_k) > 0$。

总结
本算法结合了内点法（处理不等式约束）、反射思想（保持严格可行）、拟牛顿法（近似二阶信息）和信赖域法（全局收敛），适用于中等规模、约束函数光滑的非线性规划。关键实现点在于信赖域子问题的构建与求解，以及障碍参数、信赖域半径的协调更新。

非线性规划中的内点反射信赖域-拟牛顿混合算法基础题题目描述考虑一个带有不等式约束的非线性规划问题： $$ \begin{aligned} \min_ {x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & c_ i(x) \ge 0, \quad i = 1, 2, \dots, m \end{aligned} $$ 其中目标函数 $ f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} $ 和约束函数 $ c_ i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} $ 均为二阶连续可微，且 $ m $ 可能很大。假设约束函数满足约束规范（如线性独立约束规范）。本题目要求设计并分析一种混合优化算法，该算法将内点法的障碍函数思想、反射变换以保持在可行域内部、信赖域框架的全局收敛性保证，以及拟牛顿法（如BFGS）对Hessian矩阵的近似更新相结合，用于高效求解该问题。该混合算法需在每一步迭代中：通过障碍函数将约束问题转化为一系列无约束子问题。在子问题求解中使用反射变换确保迭代点严格满足不等式约束（即始终在可行域内部）。在信赖域框架下构建局部二次模型，并利用拟牛顿法更新近似Hessian ，避免计算精确二阶导数。设计合适的接受准则和信赖域半径更新策略，保证全局收敛。请详细解释该混合算法的每一步，包括数学模型构建、迭代格式、关键参数更新，并讨论其收敛性。解题过程第一步：问题重构与障碍函数法原始问题包含不等式约束 $ c_ i(x) \ge 0 $。内点法通过引入障碍函数，将约束问题转化为一系列无约束问题。这里使用对数障碍函数，对于障碍参数 $ \mu > 0 $： $$ \Phi(x; \mu) = f(x) - \mu \sum_ {i=1}^{m} \ln(c_ i(x)) $$ 当 $ \mu \to 0 $ 时，$ \Phi(x; \mu) $ 的最优解趋近于原始问题的最优解。算法将从某个初始 $ \mu_ 0 > 0 $ 开始，在每次迭代后减小 $ \mu $（例如 $ \mu_ {k+1} = \sigma \mu_ k $，其中 $ \sigma \in (0,1) $），逐步逼近原始解。关键点：为确保 $ \ln(c_ i(x)) $ 有意义，必须始终保持 $ c_ i(x) > 0 $，即迭代点严格可行。这通过后续的反射变换实现。第二步：反射变换确保严格可行性给定当前迭代点 $ x_ k $ 满足 $ c_ i(x_ k) > 0 $，在计算搜索方向时，可能尝试的步长会使点靠近约束边界。为防止越界，对变量进行反射变换。定义变换 $ y = T(x) $，其中 $ y $ 为“反射变量”，使得在 $ y $ 空间中优化时，对应回 $ x $ 空间总能满足 $ c_ i(x) > 0 $。一种常用方式是对数障碍的天然效应：障碍函数在边界处趋于无穷，但为增强数值稳定性，可结合投影反射。简单起见，本算法采用以下策略：在每一步求解子问题时，我们直接约束步长，使得新点 $ x_ {k+1} $ 满足 $ c_ i(x_ {k+1}) \ge \epsilon > 0 $（其中 $ \epsilon $ 是一个小的正数，如 $ 10^{-6} $）。这可通过在信赖域子问题中添加线性化约束来实现，但更简便的方法是：如果试探步导致 $ c_ i(x_ {\text{trial}}) \le \epsilon $，则缩短步长或反射试探点。具体反射操作：设试探步为 $ d $，$ x_ {\text{trial}} = x_ k + d $。若存在 $ i $ 使 $ c_ i(x_ {\text{trial}}) \le \epsilon $，则定义边界法向量方向的反射。但更实用的方法是：在计算障碍函数梯度时，我们已经用到 $ 1/c_ i(x) $，当 $ c_ i(x) $ 很小时，梯度会很大，自动阻碍越界。因此，实际上反射机制可理解为：在优化过程中，由于障碍函数的惩罚，算法自然远离边界，而反射作为一种安全保障，可在试探点太靠近边界时，将其“推回”可行域内部。在实现中，可简单采用截断：若 $ c_ i(x_ {\text{trial}}) < \epsilon $，则设置 $ c_ i(x_ {\text{trial}}) = \epsilon $ 并重新计算步长，但更严谨的方法是：定义松弛变量 $ s_ i = c_ i(x) $，并要求 $ s_ i \ge 0 \。内点法将 \( s_ i $ 显式作为变量，并在搜索方向计算中通过线性化约束确保 $ s_ i \ge 0 $。本算法采用内点反射：当 $ s_ i $ 接近零时，在 Newton 方程中对应分量会被反射（即改变符号）以保持正性，这等价于在原始空间对 $ x $ 进行微小调整。然而，为简化，本题目中我们不显式引入松弛变量，而是通过障碍函数和信赖域约束共同保证可行性。实现方式：在信赖域子问题中，我们使用当前点 $ x_ k $ 处的线性化约束近似： $ c_ i(x_ k) + \nabla c_ i(x_ k)^T d \ge \epsilon $。这确保了在步长 $ d $ 内，约束仍满足严格正性。该线性约束与信赖域约束 $ \|d\| \le \Delta_ k $ 一起构成子问题。第三步：构建拟牛顿-信赖域子问题在当前点 $ x_ k $ 和当前障碍参数 $ \mu $ 下，我们最小化障碍函数 $ \Phi(x; \mu) $。在 $ x_ k $ 处，构建二次模型： $$ m_ k(d) = \Phi(x_ k; \mu) + \nabla \Phi(x_ k; \mu)^T d + \frac{1}{2} d^T B_ k d $$ 其中： $ \nabla \Phi(x_ k; \mu) = \nabla f(x_ k) - \mu \sum_ {i=1}^{m} \frac{\nabla c_ i(x_ k)}{c_ i(x_ k)} $ $ B_ k \in \mathbb{R}^{n \times n} $ 是对 Hessian $ \nabla^2 \Phi(x_ k; \mu) $ 的拟牛顿近似，采用 BFGS 更新。 BFGS 更新公式（注意这里是针对障碍函数 $ \Phi $ 的近似 Hessian）：令 $ s_ k = x_ {k+1} - x_ k $，$ y_ k = \nabla \Phi(x_ {k+1}; \mu) - \nabla \Phi(x_ k; \mu) $。若 $ s_ k^T y_ k > 0 $（曲率条件），则更新： $$ B_ {k+1} = B_ k - \frac{B_ k s_ k s_ k^T B_ k}{s_ k^T B_ k s_ k} + \frac{y_ k y_ k^T}{s_ k^T y_ k} $$ 否则，$ B_ {k+1} = B_ k $（不更新）。信赖域子问题： $$ \begin{aligned} \min_ {d \in \mathbb{R}^n} \quad & m_ k(d) \\ \text{s.t.} \quad & \|d\| \le \Delta_ k, \\ & c_ i(x_ k) + \nabla c_ i(x_ k)^T d \ge \epsilon, \quad i=1,\dots,m \end{aligned} $$ 其中 $ \Delta_ k > 0 $ 是信赖域半径，$ \epsilon > 0 $ 是一个小的正数（如 $ 10^{-6} $）确保严格可行性。该子问题是带有线性不等式约束的二次约束二次规划，但由于约束简单，可用投影梯度法或积极集法在信赖域内快速求解。第四步：接受试探步与更新信赖域半径设子问题解为 $ d_ k $，计算实际下降量 $ \text{ared}_ k = \Phi(x_ k; \mu) - \Phi(x_ k + d_ k; \mu) $ 和预测下降量 $ \text{pred}_ k = m_ k(0) - m_ k(d_ k) $。定义比值 $ \rho_ k = \frac{\text{ared}_ k}{\text{pred}_ k} $。更新规则：若 $ \rho_ k \ge \eta_ 1 $（例如 $ \eta_ 1 = 0.01 $），接受试探步：$ x_ {k+1} = x_ k + d_ k $。否则，拒绝试探步：$ x_ {k+1} = x_ k $。信赖域半径更新（标准策略）：如果 $ \rho_ k < \eta_ 1 $，减小半径：$ \Delta_ {k+1} = \gamma_ 1 \Delta_ k $（例如 $ \gamma_ 1 = 0.25 $）。如果 $ \rho_ k \ge \eta_ 1 $ 且 $ \|d_ k\| < \gamma_ 2 \Delta_ k $（例如 $ \gamma_ 2 = 0.9 $），保持半径：$ \Delta_ {k+1} = \Delta_ k $。如果 $ \rho_ k \ge \eta_ 2 $（例如 $ \eta_ 2 = 0.75 $）且 $ \|d_ k\| = \Delta_ k $，增大半径：$ \Delta_ {k+1} = \gamma_ 3 \Delta_ k $（例如 $ \gamma_ 3 = 2 $）。注意：在更新 $ x_ {k+1} $ 后，需验证是否满足 $ c_ i(x_ {k+1}) > 0 $。若不满足（由于线性化误差），需减小步长或采用反射调整，直到满足。实际中，由于线性约束 $ c_ i(x_ k) + \nabla c_ i(x_ k)^T d \ge \epsilon $ 和足够小的 $ \Delta_ k $，通常能保证。第五步：障碍参数 $ \mu $ 的更新在每次成功迭代若干步后（或当 $ \| \nabla \Phi(x_ k; \mu) \| $ 足够小），减小障碍参数： $$ \mu_ {k+1} = \sigma \mu_ k, \quad \sigma \in (0,1) \text{（例如 } \sigma = 0.1 \text{）} $$ 更新 $ \mu $ 后，需重新计算梯度 $ \nabla \Phi(x; \mu) $ 并可能重置拟牛顿矩阵 $ B_ k $（或继续使用当前 $ B_ k $，但需注意函数变化）。第六步：算法流程初始化：选择初始点 $ x_ 0 $ 满足 $ c_ i(x_ 0) > 0 $，初始障碍参数 $ \mu_ 0 > 0 $，初始信赖域半径 $ \Delta_ 0 > 0 $，初始拟牛顿矩阵 $ B_ 0 = I $（单位阵），设定常数 $ \sigma, \eta_ 1, \eta_ 2, \gamma_ 1, \gamma_ 2, \gamma_ 3, \epsilon $，以及收敛容差 $ \tau > 0 $。循环（对于 $ k=0,1,2,\dots $）： a. 计算当前障碍函数梯度 $ \nabla \Phi(x_ k; \mu) $。 b. 如果 $ \| \nabla \Phi(x_ k; \mu) \| \le \tau $ 且 $ \mu \le \tau $，则终止（近似满足 KKT 条件）。 c. 如果 $ \| \nabla \Phi(x_ k; \mu) \| \le \sqrt{\mu} $，则更新障碍参数：$ \mu = \sigma \mu $。 d. 构建二次模型 $ m_ k(d) $ 并求解信赖域子问题（带线性化约束 $ c_ i(x_ k) + \nabla c_ i(x_ k)^T d \ge \epsilon $ 和 $ \|d\| \le \Delta_ k $），得到 $ d_ k $。 e. 计算实际下降与预测下降之比 $ \rho_ k $。 f. 根据 $ \rho_ k $ 决定是否接受 $ d_ k $ 并更新 $ x_ {k+1} $ 与 $ \Delta_ {k+1} $。 g. 若接受 $ d_ k $，则用 BFGS 公式更新 $ B_ {k+1} $（需满足曲率条件）。输出最终解 $ x_ k $。第七步：收敛性分析要点全局收敛：由于信赖域框架保证每次迭代要么接受步长并减少目标，要么缩短半径，且障碍函数在可行域内下有界，算法能产生迭代点列使得 $ \| \nabla \Phi(x_ k; \mu) \| \to 0 $ 当 $ \mu \to 0 $。结合障碍参数减小策略，序列的极限点满足原始问题的 KKT 条件。局部超线性收敛：如果 $ B_ k $ 通过 BFGS 更新且最终逼近真实 Hessian，在接近解时算法等效于牛顿型内点法，可达到超线性收敛。但需注意约束规范与严格互补条件。内点性保持：线性化约束 $ c_ i(x_ k) + \nabla c_ i(x_ k)^T d \ge \epsilon $ 确保子问题解满足严格可行性，且通过反射/缩短步长，迭代点始终满足 $ c_ i(x_ k) > 0 $。总结本算法结合了内点法（处理不等式约束）、反射思想（保持严格可行）、拟牛顿法（近似二阶信息）和信赖域法（全局收敛），适用于中等规模、约束函数光滑的非线性规划。关键实现点在于信赖域子问题的构建与求解，以及障碍参数、信赖域半径的协调更新。