非线性规划中的增广拉格朗日乘子法基础题
字数 1811 2025-10-25 22:15:07

非线性规划中的增广拉格朗日乘子法基础题

题目描述
考虑非线性约束优化问题：
minimize \(f(x) = x_1^2 + x_2^2\)
subject to \(h(x) = x_1 + x_2 - 2 = 0\)
其中 \(x = (x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2\)。要求使用增广拉朗日乘子法（Augmented Lagrangian Method）求解该问题，并分析其收敛过程。

解题过程

  1. 问题分析
    目标函数 \(f(x) = x_1^2 + x_2^2\) 是凸二次函数，约束 \(h(x) = x_1 + x_2 - 2 = 0\) 是线性等式。该问题的最优解可通过解析法验证：由约束得 \(x_2 = 2 - x_1\)，代入目标函数后求导可得最优解 \(x^* = (1, 1)\)，最优值 \(f(x^*) = 2\)。增广拉格朗日乘子法通过结合罚函数和拉格朗日乘子，改善收敛稳定性。

  2. 增广拉格朗日函数构造
    标准拉格朗日函数为 \(L(x, \lambda) = f(x) + \lambda h(x)\)。增广拉格朗日函数引入罚项：

\[ \mathcal{L}_A(x, \lambda, \rho) = f(x) + \lambda h(x) + \frac{\rho}{2} [h(x)]^2 \]

其中 \(\lambda\) 是拉格朗日乘子估计值，\(\rho > 0\) 是罚参数。本例中：

\[ \mathcal{L}_A(x, \lambda, \rho) = x_1^2 + x_2^2 + \lambda (x_1 + x_2 - 2) + \frac{\rho}{2} (x_1 + x_2 - 2)^2 \]

  1. 算法迭代步骤
    增广拉格朗日乘子法按以下步骤循环更新：
    • 步骤1： 给定当前乘子 \(\lambda^k\) 和罚参数 \(\rho^k\)，求解子问题：

\[ x^{k+1} = \arg\min_x \mathcal{L}_A(x, \lambda^k, \rho^k) \]

  • 步骤2： 更新乘子：

\[ \lambda^{k+1} = \lambda^k + \rho^k h(x^{k+1}) \]

  • 步骤3： 可自适应调整 \(\rho^{k+1}\)（本例固定 \(\rho\) 以简化）。
  1. 具体求解子问题
    对 \(\mathcal{L}_A\) 求梯度并令其为0：

\[ \frac{\partial \mathcal{L}_A}{\partial x_1} = 2x_1 + \lambda + \rho (x_1 + x_2 - 2) = 0 \]

\[ \frac{\partial \mathcal{L}_A}{\partial x_2} = 2x_2 + \lambda + \rho (x_1 + x_2 - 2) = 0 \]

两式相减得 \(x_1 = x_2\)。代入约束方向 \(x_1 + x_2 - 2 = 0\) 得 \(x_1 = x_2 = 1\)。
关键点： 子问题的解实际与 \(\lambda, \rho\) 无关，因为本例约束为线性且目标函数对称，直接得出 \(x^{k+1} = (1, 1)\)。

  1. 乘子更新与收敛
    将 \(x^{k+1} = (1, 1)\) 代入乘子更新公式：

\[ \lambda^{k+1} = \lambda^k + \rho \cdot (1 + 1 - 2) = \lambda^k \]

乘子保持不变。由于子问题一步解得最优解 \(x^*\)，算法立即收敛。

  1. 一般情况讨论
    若问题更复杂（如非线性约束），子问题需数值求解（如梯度下降）。增广拉格朗日法通过罚项 \(\frac{\rho}{2} h(x)^2\) 增强子问题的凸性，比纯罚函数法允许更小的 \(\rho\)，比标准拉格朗日法更稳定。

总结
本例展示了增广拉格朗日乘子法的基本流程：构造增广函数、迭代求解子问题、更新乘子。其优势在于平衡收敛速度与数值稳定性，适用于中等规模非线性规划。

非线性规划中的增广拉格朗日乘子法基础题 题目描述 考虑非线性约束优化问题： minimize \( f(x) = x_ 1^2 + x_ 2^2 \) subject to \( h(x) = x_ 1 + x_ 2 - 2 = 0 \) 其中 \( x = (x_ 1, x_ 2) \in \mathbb{R}^2 \)。要求使用增广拉朗日乘子法（Augmented Lagrangian Method）求解该问题，并分析其收敛过程。 解题过程 问题分析 目标函数 \( f(x) = x_ 1^2 + x_ 2^2 \) 是凸二次函数，约束 \( h(x) = x_ 1 + x_ 2 - 2 = 0 \) 是线性等式。该问题的最优解可通过解析法验证：由约束得 \( x_ 2 = 2 - x_ 1 \)，代入目标函数后求导可得最优解 \( x^* = (1, 1) \)，最优值 \( f(x^* ) = 2 \)。增广拉格朗日乘子法通过结合罚函数和拉格朗日乘子，改善收敛稳定性。 增广拉格朗日函数构造 标准拉格朗日函数为 \( L(x, \lambda) = f(x) + \lambda h(x) \)。增广拉格朗日函数引入罚项： \[ \mathcal{L}_ A(x, \lambda, \rho) = f(x) + \lambda h(x) + \frac{\rho}{2} [ h(x) ]^2 \] 其中 \( \lambda \) 是拉格朗日乘子估计值，\( \rho > 0 \) 是罚参数。本例中： \[ \mathcal{L}_ A(x, \lambda, \rho) = x_ 1^2 + x_ 2^2 + \lambda (x_ 1 + x_ 2 - 2) + \frac{\rho}{2} (x_ 1 + x_ 2 - 2)^2 \] 算法迭代步骤 增广拉格朗日乘子法按以下步骤循环更新： 步骤1： 给定当前乘子 \( \lambda^k \) 和罚参数 \( \rho^k \)，求解子问题： \[ x^{k+1} = \arg\min_ x \mathcal{L}_ A(x, \lambda^k, \rho^k) \] 步骤2： 更新乘子： \[ \lambda^{k+1} = \lambda^k + \rho^k h(x^{k+1}) \] 步骤3： 可自适应调整 \( \rho^{k+1} \)（本例固定 \( \rho \) 以简化）。 具体求解子问题 对 \( \mathcal{L}_ A \) 求梯度并令其为0： \[ \frac{\partial \mathcal{L}_ A}{\partial x_ 1} = 2x_ 1 + \lambda + \rho (x_ 1 + x_ 2 - 2) = 0 \] \[ \frac{\partial \mathcal{L}_ A}{\partial x_ 2} = 2x_ 2 + \lambda + \rho (x_ 1 + x_ 2 - 2) = 0 \] 两式相减得 \( x_ 1 = x_ 2 \)。代入约束方向 \( x_ 1 + x_ 2 - 2 = 0 \) 得 \( x_ 1 = x_ 2 = 1 \)。 关键点： 子问题的解实际与 \( \lambda, \rho \) 无关，因为本例约束为线性且目标函数对称，直接得出 \( x^{k+1} = (1, 1) \)。 乘子更新与收敛 将 \( x^{k+1} = (1, 1) \) 代入乘子更新公式： \[ \lambda^{k+1} = \lambda^k + \rho \cdot (1 + 1 - 2) = \lambda^k \] 乘子保持不变。由于子问题一步解得最优解 \( x^* \)，算法立即收敛。 一般情况讨论 若问题更复杂（如非线性约束），子问题需数值求解（如梯度下降）。增广拉格朗日法通过罚项 \( \frac{\rho}{2} h(x)^2 \) 增强子问题的凸性，比纯罚函数法允许更小的 \( \rho \)，比标准拉格朗日法更稳定。 总结 本例展示了增广拉格朗日乘子法的基本流程：构造增广函数、迭代求解子问题、更新乘子。其优势在于平衡收敛速度与数值稳定性，适用于中等规模非线性规划。