非线性规划中的外推内点法进阶题
字数 5982 2025-12-14 06:50:11

非线性规划中的外推内点法进阶题

题目描述

考虑以下非线性规划问题：

\[\begin{aligned} \min_{x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & g_i(x) \leq 0, \quad i = 1, \dots, m \\ & Ax = b, \end{aligned} \]

其中目标函数 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 是二次连续可微的凸函数，不等式约束函数 \(g_i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 也是二次连续可微的凸函数，等式约束矩阵 \(A \in \mathbb{R}^{p \times n}\)（\(p < n\)）行满秩，\(b \in \mathbb{R}^p\)。假设严格内点存在，即存在 \(x^0\) 满足 \(g_i(x^0) < 0\) 和 \(Ax^0 = b\)。

本题要求设计并分析一个外推内点法（Extrapolated Interior Point Method）来高效求解该问题。该方法在经典内点法（如原始-对偶路径跟踪法）的基础上，引入外推技术（Extrapolation）来加速收敛，特别是通过利用迭代点之间的线性或非线性趋势来预测更优的搜索方向或步长，从而减少迭代次数并提升计算效率。

具体要求：

  1. 推导该问题的扰动KKT条件（即中心路径方程）。
  2. 设计基于牛顿法求解扰动KKT条件的迭代格式。
  3. 引入外推技术：在每步牛顿迭代后，利用当前迭代点和前一步迭代点的信息，通过外推公式生成一个预测点，并将其作为下一步迭代的初始点或用于调整搜索方向。
  4. 分析算法的收敛性，并说明外推如何改善经典内点法的收敛速率。
  5. 针对一个具体例子（例如 \(f(x) = \frac{1}{2}x^T Q x + c^T x\)，\(g_i(x) = a_i^T x - d_i\) 且 \(Q \succ 0\)）展示算法步骤和数值模拟。

解题过程循序渐进讲解

步骤1：理解问题与内点法基本框架

我们面对的是一个凸非线性规划问题。内点法的核心思想是将不等式约束通过障碍函数（如对数障碍）引入目标，将原问题转化为一系列无约束或等式约束问题，并沿中心路径（由扰动参数 \(\mu\) 控制）逼近最优解。

对于不等式约束 \(g_i(x) \leq 0\)，常用的对数障碍函数为：

\[\Phi(x) = -\sum_{i=1}^m \log(-g_i(x)). \]

则对于每个 \(\mu > 0\)，定义障碍问题：

\[\begin{aligned} \min_{x \in \mathbb{R}^n} \quad & f_\mu(x) = f(x) + \mu \Phi(x) \\ \text{s.t.} \quad & Ax = b. \end{aligned} \]

当 \(\mu \to 0\) 时，障碍问题的最优解 \(x^*(\mu)\) 的轨迹称为中心路径，它逼近原问题的最优解。

步骤2：推导扰动KKT条件（中心路径方程）

引入松弛变量 \(s_i > 0\) 将不等式转化为等式：\(g_i(x) + s_i = 0\)。对应的拉格朗日函数为：

\[L(x, s, y, z) = f(x) + y^T (Ax - b) - \sum_{i=1}^m z_i \log s_i, \]

其中 \(y \in \mathbb{R}^p\) 是等式约束的拉格朗日乘子，\(z_i \geq 0\) 是不等式约束的乘子，且障碍项用 \(-\sum z_i \log s_i\) 形式便于推导扰动互补条件。

扰动KKT条件（或中心路径条件）为：

\[\begin{aligned} \nabla f(x) + A^T y + \sum_{i=1}^m z_i \nabla g_i(x) &= 0 \quad &\text{(梯度条件)} \\ Ax - b &= 0 \quad &\text{(等式约束)} \\ g_i(x) + s_i &= 0, \quad i=1,\dots,m \quad &\text{(松弛条件)} \\ z_i s_i &= \mu, \quad i=1,\dots,m \quad &\text{(扰动互补条件)} \\ s_i, z_i &> 0 \quad &\text{(正性条件)} \end{aligned} \]

其中 \(\mu > 0\) 是扰动参数。这组方程定义了中心路径上的点 \((x(\mu), s(\mu), y(\mu), z(\mu))\)。

步骤3：设计牛顿迭代格式

令当前迭代点为 \((x, s, y, z)\)，扰动参数为 \(\mu\)。我们求解扰动KKT条件的牛顿方程，得到修正量 \((\Delta x, \Delta s, \Delta y, \Delta z)\)。

将方程写为残差形式：

\[F_\mu(x, s, y, z) = \begin{bmatrix} \nabla f(x) + A^T y + J_g(x)^T z \\ Ax - b \\ g(x) + s \\ S Z e - \mu e \end{bmatrix} = 0, \]

其中：

  • \(g(x) = [g_1(x), \dots, g_m(x)]^T\)，
  • \(J_g(x)\) 是 \(g(x)\) 的雅可比矩阵（\(m \times n\)），
  • \(S = \text{diag}(s_1, \dots, s_m)\)，\(Z = \text{diag}(z_1, \dots, z_m)\)，
  • \(e = [1, \dots, 1]^T \in \mathbb{R}^m\)。

牛顿步骤求解 \(F_\mu + \nabla F_\mu \cdot (\Delta x, \Delta s, \Delta y, \Delta z) = 0\)，得到线性系统：

\[\begin{bmatrix} H(x, z) & 0 & A^T & J_g(x)^T \\ 0 & Z & 0 & S \\ A & 0 & 0 & 0 \\ J_g(x) & I & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \Delta x \\ \Delta s \\ \Delta y \\ \Delta z \end{bmatrix} = - \begin{bmatrix} \nabla f(x) + A^T y + J_g(x)^T z \\ S Z e - \mu e \\ Ax - b \\ g(x) + s \end{bmatrix}, \]

其中 \(H(x, z) = \nabla^2 f(x) + \sum_{i=1}^m z_i \nabla^2 g_i(x)\) 是拉格朗日函数的Hessian矩阵。

解此系统得到牛顿方向，然后更新：

\[(x^+, s^+, y^+, z^+) = (x, s, y, z) + \alpha (\Delta x, \Delta s, \Delta y, \Delta z), \]

其中步长 \(\alpha \in (0,1]\) 需保证 \(s^+, z^+ > 0\)（通常通过回退线搜索确定）。

步骤4：引入外推技术

外推技术旨在利用迭代点序列的“趋势”来预测更靠近解的点，从而加速收敛。这里我们采用一种简单而有效的多项式外推方法。

设过去两步的迭代点为 \((x^{k-1}, s^{k-1}, y^{k-1}, z^{k-1})\) 和 \((x^k, s^k, y^k, z^k)\)。我们构造一个外推预测点：

\[(\hat{x}^{k+1}, \hat{s}^{k+1}, \hat{y}^{k+1}, \hat{z}^{k+1}) = (x^k, s^k, y^k, z^k) + \beta \left( (x^k, s^k, y^k, z^k) - (x^{k-1}, s^{k-1}, y^{k-1}, z^{k-1}) \right), \]

其中 \(\beta > 0\) 是外推因子。一种常见选择是 \(\beta = \frac{k}{k+3}\)（基于某些加速序列）或通过自适应方式选择。

外推步骤的整合：

  1. 执行标准牛顿步骤得到 \((x^{k+1}_{\text{temp}}, \dots)\)。
  2. 计算外推预测点 \((\hat{x}^{k+1}, \dots)\)。
  3. 以预测点作为下一步牛顿迭代的初始点（或将其与临时点加权平均作为新迭代点）。
  4. 更新扰动参数 \(\mu\)，例如按 \(\mu_{k+1} = \sigma \mu_k\)，其中 \(\sigma \in (0,1)\) 是缩减因子。

外推可以看作一种加速技术，类似于梯度方法中的动量法（如Nesterov加速），它利用历史信息修正搜索方向，可能越过一些振荡，更快逼近中心路径。

步骤5：收敛性分析简述

  • 经典内点法（无外推）：在适当假设下（如严格互补、约束规范），算法具有全局收敛性，且局部收敛速率为二次（若Hessian精确且步长选为1）。
  • 加入外推后的影响：
    • 外推可能使迭代点更接近中心路径或解，从而减少达到给定精度所需的迭代次数。
    • 若外推因子选择适当，可以证明算法仍保持全局收敛性，且可能提升局部收敛速率（例如从线性加速到超线性）。
    • 需要小心控制外推幅度，以避免破坏正性条件 \(s, z > 0\) 或导致数值不稳定。通常可在外推后施加投影或截断，确保迭代点落在可行域内部。

步骤6：具体例子演示

考虑一个简单二次规划：

\[\begin{aligned} \min_{x \in \mathbb{R}^2} \quad & f(x) = \frac{1}{2}(x_1^2 + x_2^2) \\ \text{s.t.} \quad & g_1(x) = x_1 + x_2 - 1 \leq 0 \\ & g_2(x) = -x_1 + 2x_2 - 2 \leq 0 \\ & x_1 - x_2 = 0. \end{aligned} \]

这里 \(A = [1, -1]\)，\(b = 0\)。显然，目标函数是凸二次函数，约束为线性，满足问题假设。

算法步骤：

  1. 初始化：选取初始内点 \(x^0 = (0.2, 0.2)\)（满足 \(g_1(x^0) = -0.6 < 0\)，\(g_2(x^0) = -2.2 < 0\)，\(Ax^0 = 0\)），松弛变量 \(s^0 = (-g_1(x^0), -g_2(x^0)) = (0.6, 2.2)\)，乘子 \(y^0 = 0\)，\(z^0 = (1,1)\)，扰动参数 \(\mu_0 = (s^0)^T z^0 / m = 1.4\)，缩减因子 \(\sigma = 0.1\)，外推因子 \(\beta_k = k/(k+3)\)。

  2. 迭代（以第 \(k\) 步为例）：

    • 解牛顿方程得到方向 \((\Delta x^k, \Delta s^k, \Delta y^k, \Delta z^k)\)。
    • 计算步长 \(\alpha^k = 0.9 \times \max\{ \alpha \in (0,1] : s^k + \alpha \Delta s^k > 0, \, z^k + \alpha \Delta z^k > 0 \}\)。
    • 更新临时点：\((x^{k+1}_{\text{temp}}, s^{k+1}_{\text{temp}}, y^{k+1}_{\text{temp}}, z^{k+1}_{\text{temp}}) = (x^k, s^k, y^k, z^k) + \alpha^k (\Delta x^k, \Delta s^k, \Delta y^k, \Delta z^k)\)。
    • 若 \(k \geq 1\)，计算外推预测点：

\[ (\hat{x}^{k+1}, \hat{s}^{k+1}, \hat{y}^{k+1}, \hat{z}^{k+1}) = (x^{k+1}_{\text{temp}}, \dots) + \beta_k \left( (x^{k+1}_{\text{temp}}, \dots) - (x^k, \dots) \right). \]

  • 将预测点截断以保证正性：\(\hat{s}^{k+1} = \max(\hat{s}^{k+1}, \epsilon)\)，\(\hat{z}^{k+1} = \max(\hat{z}^{k+1}, \epsilon)\)（\(\epsilon > 0\) 很小）。
  • 设置 \((x^{k+1}, s^{k+1}, y^{k+1}, z^{k+1}) = (\hat{x}^{k+1}, \hat{s}^{k+1}, \hat{y}^{k+1}, \hat{z}^{k+1})\)。
  • 更新 \(\mu_{k+1} = \sigma \mu_k\)。
  • 检查收敛条件：例如 \(\|F_{\mu_{k+1}}(x^{k+1}, \dots)\| \leq \text{tol}\) 且 \(\mu_{k+1}\) 足够小。
  1. 数值模拟：可编程实现（如用MATLAB或Python）。与不外推的内点法对比，通常可观察到外推法能以更少迭代达到相同精度，因为外推利用了迭代路径的平滑性，预测了更优的点。

总结

本题详细展示了外推内点法的设计与分析过程。核心创新在于将外推技术嵌入标准内点法框架，通过历史迭代信息预测下一步，从而加速收敛。该方法特别适用于大规模凸优化问题，其中每次牛顿迭代计算成本高，减少迭代次数能显著提升效率。实际应用中需谨慎调整外推因子，并配合适当的可行性保持策略。

非线性规划中的外推内点法进阶题 题目描述 考虑以下非线性规划问题： \[ \begin{aligned} \min_ {x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & g_ i(x) \leq 0, \quad i = 1, \dots, m \\ & Ax = b, \end{aligned} \] 其中目标函数 \( f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) 是二次连续可微的凸函数，不等式约束函数 \( g_ i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) 也是二次连续可微的凸函数，等式约束矩阵 \( A \in \mathbb{R}^{p \times n} \)（\( p < n \)）行满秩，\( b \in \mathbb{R}^p \)。假设严格内点存在，即存在 \( x^0 \) 满足 \( g_ i(x^0) < 0 \) 和 \( Ax^0 = b \)。 本题要求设计并分析一个 外推内点法 （Extrapolated Interior Point Method）来高效求解该问题。该方法在经典内点法（如原始-对偶路径跟踪法）的基础上，引入外推技术（Extrapolation）来加速收敛，特别是通过利用迭代点之间的线性或非线性趋势来预测更优的搜索方向或步长，从而减少迭代次数并提升计算效率。 具体要求： 推导该问题的 扰动KKT条件 （即中心路径方程）。 设计基于 牛顿法 求解扰动KKT条件的迭代格式。 引入 外推技术 ：在每步牛顿迭代后，利用当前迭代点和前一步迭代点的信息，通过外推公式生成一个预测点，并将其作为下一步迭代的初始点或用于调整搜索方向。 分析算法的收敛性，并说明外推如何改善经典内点法的收敛速率。 针对一个具体例子（例如 \( f(x) = \frac{1}{2}x^T Q x + c^T x \)，\( g_ i(x) = a_ i^T x - d_ i \) 且 \( Q \succ 0 \)）展示算法步骤和数值模拟。 解题过程循序渐进讲解 步骤1：理解问题与内点法基本框架 我们面对的是一个 凸非线性规划 问题。内点法的核心思想是将不等式约束通过 障碍函数 （如对数障碍）引入目标，将原问题转化为一系列无约束或等式约束问题，并沿 中心路径 （由扰动参数 \(\mu\) 控制）逼近最优解。 对于不等式约束 \( g_ i(x) \leq 0 \)，常用的对数障碍函数为： \[ \Phi(x) = -\sum_ {i=1}^m \log(-g_ i(x)). \] 则对于每个 \(\mu > 0\)，定义障碍问题： \[ \begin{aligned} \min_ {x \in \mathbb{R}^n} \quad & f_ \mu(x) = f(x) + \mu \Phi(x) \\ \text{s.t.} \quad & Ax = b. \end{aligned} \] 当 \(\mu \to 0\) 时，障碍问题的最优解 \( x^* (\mu) \) 的轨迹称为中心路径，它逼近原问题的最优解。 步骤2：推导扰动KKT条件（中心路径方程） 引入松弛变量 \( s_ i > 0 \) 将不等式转化为等式：\( g_ i(x) + s_ i = 0 \)。对应的拉格朗日函数为： \[ L(x, s, y, z) = f(x) + y^T (Ax - b) - \sum_ {i=1}^m z_ i \log s_ i, \] 其中 \( y \in \mathbb{R}^p \) 是等式约束的拉格朗日乘子，\( z_ i \geq 0 \) 是不等式约束的乘子，且障碍项用 \( -\sum z_ i \log s_ i \) 形式便于推导扰动互补条件。 扰动KKT条件（或中心路径条件）为： \[ \begin{aligned} \nabla f(x) + A^T y + \sum_ {i=1}^m z_ i \nabla g_ i(x) &= 0 \quad &\text{(梯度条件)} \\ Ax - b &= 0 \quad &\text{(等式约束)} \\ g_ i(x) + s_ i &= 0, \quad i=1,\dots,m \quad &\text{(松弛条件)} \\ z_ i s_ i &= \mu, \quad i=1,\dots,m \quad &\text{(扰动互补条件)} \\ s_ i, z_ i &> 0 \quad &\text{(正性条件)} \end{aligned} \] 其中 \(\mu > 0\) 是扰动参数。这组方程定义了中心路径上的点 \((x(\mu), s(\mu), y(\mu), z(\mu))\)。 步骤3：设计牛顿迭代格式 令当前迭代点为 \((x, s, y, z)\)，扰动参数为 \(\mu\)。我们求解扰动KKT条件的牛顿方程，得到修正量 \((\Delta x, \Delta s, \Delta y, \Delta z)\)。 将方程写为残差形式： \[ F_ \mu(x, s, y, z) = \begin{bmatrix} \nabla f(x) + A^T y + J_ g(x)^T z \\ Ax - b \\ g(x) + s \\ S Z e - \mu e \end{bmatrix} = 0, \] 其中： \( g(x) = [ g_ 1(x), \dots, g_ m(x) ]^T \)， \( J_ g(x) \) 是 \( g(x) \) 的雅可比矩阵（\( m \times n \)）， \( S = \text{diag}(s_ 1, \dots, s_ m) \)，\( Z = \text{diag}(z_ 1, \dots, z_ m) \)， \( e = [ 1, \dots, 1 ]^T \in \mathbb{R}^m \)。 牛顿步骤求解 \( F_ \mu + \nabla F_ \mu \cdot (\Delta x, \Delta s, \Delta y, \Delta z) = 0 \)，得到线性系统： \[ \begin{bmatrix} H(x, z) & 0 & A^T & J_ g(x)^T \\ 0 & Z & 0 & S \\ A & 0 & 0 & 0 \\ J_ g(x) & I & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \Delta x \\ \Delta s \\ \Delta y \\ \Delta z \end{bmatrix} = - \begin{bmatrix} \nabla f(x) + A^T y + J_ g(x)^T z \\ S Z e - \mu e \\ Ax - b \\ g(x) + s \end{bmatrix}, \] 其中 \( H(x, z) = \nabla^2 f(x) + \sum_ {i=1}^m z_ i \nabla^2 g_ i(x) \) 是拉格朗日函数的Hessian矩阵。 解此系统得到牛顿方向，然后更新： \[ (x^+, s^+, y^+, z^+) = (x, s, y, z) + \alpha (\Delta x, \Delta s, \Delta y, \Delta z), \] 其中步长 \(\alpha \in (0,1 ]\) 需保证 \( s^+, z^+ > 0 \)（通常通过回退线搜索确定）。 步骤4：引入外推技术 外推技术旨在利用迭代点序列的“趋势”来预测更靠近解的点，从而加速收敛。这里我们采用一种简单而有效的 多项式外推 方法。 设过去两步的迭代点为 \((x^{k-1}, s^{k-1}, y^{k-1}, z^{k-1})\) 和 \((x^k, s^k, y^k, z^k)\)。我们构造一个外推预测点： \[ (\hat{x}^{k+1}, \hat{s}^{k+1}, \hat{y}^{k+1}, \hat{z}^{k+1}) = (x^k, s^k, y^k, z^k) + \beta \left( (x^k, s^k, y^k, z^k) - (x^{k-1}, s^{k-1}, y^{k-1}, z^{k-1}) \right), \] 其中 \(\beta > 0\) 是外推因子。一种常见选择是 \(\beta = \frac{k}{k+3}\)（基于某些加速序列）或通过自适应方式选择。 外推步骤的整合 ： 执行标准牛顿步骤得到 \((x^{k+1}_ {\text{temp}}, \dots)\)。 计算外推预测点 \((\hat{x}^{k+1}, \dots)\)。 以预测点作为下一步牛顿迭代的初始点（或将其与临时点加权平均作为新迭代点）。 更新扰动参数 \(\mu\)，例如按 \(\mu_ {k+1} = \sigma \mu_ k\)，其中 \(\sigma \in (0,1)\) 是缩减因子。 外推可以看作一种 加速技术 ，类似于梯度方法中的动量法（如Nesterov加速），它利用历史信息修正搜索方向，可能越过一些振荡，更快逼近中心路径。 步骤5：收敛性分析简述 经典内点法 （无外推）：在适当假设下（如严格互补、约束规范），算法具有全局收敛性，且局部收敛速率为二次（若Hessian精确且步长选为1）。 加入外推后的影响 ： 外推可能使迭代点更接近中心路径或解，从而减少达到给定精度所需的迭代次数。 若外推因子选择适当，可以证明算法仍保持全局收敛性，且可能提升局部收敛速率（例如从线性加速到超线性）。 需要小心控制外推幅度，以避免破坏正性条件 \( s, z > 0 \) 或导致数值不稳定。通常可在外推后施加 投影或截断 ，确保迭代点落在可行域内部。 步骤6：具体例子演示 考虑一个简单二次规划： \[ \begin{aligned} \min_ {x \in \mathbb{R}^2} \quad & f(x) = \frac{1}{2}(x_ 1^2 + x_ 2^2) \\ \text{s.t.} \quad & g_ 1(x) = x_ 1 + x_ 2 - 1 \leq 0 \\ & g_ 2(x) = -x_ 1 + 2x_ 2 - 2 \leq 0 \\ & x_ 1 - x_ 2 = 0. \end{aligned} \] 这里 \( A = [ 1, -1 ] \)，\( b = 0 \)。显然，目标函数是凸二次函数，约束为线性，满足问题假设。 算法步骤 ： 初始化 ：选取初始内点 \( x^0 = (0.2, 0.2) \)（满足 \( g_ 1(x^0) = -0.6 < 0 \)，\( g_ 2(x^0) = -2.2 < 0 \)，\( Ax^0 = 0 \)），松弛变量 \( s^0 = (-g_ 1(x^0), -g_ 2(x^0)) = (0.6, 2.2) \)，乘子 \( y^0 = 0 \)，\( z^0 = (1,1) \)，扰动参数 \( \mu_ 0 = (s^0)^T z^0 / m = 1.4 \)，缩减因子 \( \sigma = 0.1 \)，外推因子 \( \beta_ k = k/(k+3) \)。 迭代 （以第 \( k \) 步为例）： 解牛顿方程得到方向 \( (\Delta x^k, \Delta s^k, \Delta y^k, \Delta z^k) \)。 计算步长 \( \alpha^k = 0.9 \times \max\{ \alpha \in (0,1 ] : s^k + \alpha \Delta s^k > 0, \, z^k + \alpha \Delta z^k > 0 \} \)。 更新临时点：\( (x^{k+1} {\text{temp}}, s^{k+1} {\text{temp}}, y^{k+1} {\text{temp}}, z^{k+1} {\text{temp}}) = (x^k, s^k, y^k, z^k) + \alpha^k (\Delta x^k, \Delta s^k, \Delta y^k, \Delta z^k) \)。 若 \( k \geq 1 \)，计算外推预测点： \[ (\hat{x}^{k+1}, \hat{s}^{k+1}, \hat{y}^{k+1}, \hat{z}^{k+1}) = (x^{k+1} {\text{temp}}, \dots) + \beta_ k \left( (x^{k+1} {\text{temp}}, \dots) - (x^k, \dots) \right). \] 将预测点截断以保证正性：\( \hat{s}^{k+1} = \max(\hat{s}^{k+1}, \epsilon) \)，\( \hat{z}^{k+1} = \max(\hat{z}^{k+1}, \epsilon) \)（\( \epsilon > 0 \) 很小）。 设置 \( (x^{k+1}, s^{k+1}, y^{k+1}, z^{k+1}) = (\hat{x}^{k+1}, \hat{s}^{k+1}, \hat{y}^{k+1}, \hat{z}^{k+1}) \)。 更新 \( \mu_ {k+1} = \sigma \mu_ k \)。 检查收敛条件：例如 \( \|F_ {\mu_ {k+1}}(x^{k+1}, \dots)\| \leq \text{tol} \) 且 \( \mu_ {k+1} \) 足够小。 数值模拟 ：可编程实现（如用MATLAB或Python）。与不外推的内点法对比，通常可观察到外推法能以更少迭代达到相同精度，因为外推利用了迭代路径的平滑性，预测了更优的点。 总结 本题详细展示了 外推内点法 的设计与分析过程。核心创新在于将 外推技术 嵌入标准内点法框架，通过历史迭代信息预测下一步，从而加速收敛。该方法特别适用于大规模凸优化问题，其中每次牛顿迭代计算成本高，减少迭代次数能显著提升效率。实际应用中需谨慎调整外推因子，并配合适当的可行性保持策略。