有向无环图（DAG）的最长路径（Longest Path）问题

字数 1830 2025-12-14 05:21:26

有向无环图（DAG）的最长路径（Longest Path）问题

题目描述

给定一个 有向无环图（DAG），以及每条边的权重（可以是正数、负数或零），要求找出从某个源点到其他所有顶点的 最长路径长度（即路径上所有边的权重之和最大）。如果从源点无法到达某个顶点，则其最长路径长度为 负无穷（或标记为不可达）。

这个问题可以看作 DAG 的单源最短路径问题 的“变体”——只需将所有权重取相反数，并运行最短路径算法即可。但由于 DAG 具有无环的性质，我们可以更高效地通过 拓扑排序 + 动态规划 直接求解最长路径。

解题过程

步骤 1：理解 DAG 的性质

DAG 中 没有有向环，因此我们可以对顶点进行 拓扑排序，得到一个顶点序列，使得所有边的方向都是从序列中靠前的顶点指向靠后的顶点。
这种排序保证了：当我们按照拓扑顺序处理顶点时，对于当前顶点 v，所有可能到达 v 的顶点都已经被处理过。

步骤 2：问题转化为动态规划

设：

dist[v] 表示从 源点 s 到顶点 v 的最长路径长度。
初始时，dist[s] = 0，其他顶点 dist[u] = -∞（表示尚未到达）。
对于图中的每条边 (u, v)，权重为 w(u, v)，更新规则为：

\[ dist[v] = \max(dist[v],\; dist[u] + w(u, v)) \]

因为 DAG 中无环，我们按照拓扑顺序依次处理顶点 u，并松弛所有从 u 出发的边。这样可以确保在更新 dist[v] 时，dist[u] 已经是最终的最优值。

步骤 3：算法步骤

拓扑排序：使用 Kahn 算法或 DFS 得到 DAG 的拓扑序列。
初始化距离数组：
- dist[s] = 0
- 对于其他顶点 v ≠ s，dist[v] = -∞
按拓扑顺序遍历每个顶点 u：
- 如果 dist[u] 仍为 -∞，说明从 s 无法到达 u，跳过。
- 否则，对于 u 的每个邻居 v（通过边 (u, v)）：
  - 更新 dist[v] = max(dist[v], dist[u] + w(u, v))
输出结果：dist[v] 即为从 s 到 v 的最长路径长度。

步骤 4：举例说明

考虑以下 DAG（顶点编号从 0 开始，源点 s = 0）：
边集（格式：u v w）：

拓扑排序（可能的顺序）：0, 1, 2, 3, 4

初始化：

dist = [0, -∞, -∞, -∞, -∞]

按顺序处理：

处理顶点 0：
更新邻居：
dist[1] = max(-∞, 0+5) = 5
dist[2] = max(-∞, 0+3) = 3
处理顶点 1：
更新邻居：
dist[2] = max(3, 5+2) = 7
dist[3] = max(-∞, 5+6) = 11
处理顶点 2：
更新邻居：
dist[3] = max(11, 7+7) = 14
dist[4] = max(-∞, 7+4) = 11
处理顶点 3：
更新邻居：
dist[4] = max(11, 14+1) = 15
处理顶点 4：无出边。

最终结果：

顶点 0: 0
顶点 1: 5
顶点 2: 7
顶点 3: 14
顶点 4: 15

步骤 5：算法复杂度

拓扑排序：O(V + E)
动态规划更新：每个顶点处理其所有出边，共 O(E)
总复杂度：O(V + E)，非常高效。

步骤 6：扩展与应用

最长路径的具体路径：在更新 dist[v] 时，同时记录 prev[v] = u，最后反向回溯即可得到路径。
DAG 的最长路径问题 可用于：
- 项目管理中的 关键路径法（CPM）
- 编译器中的指令调度
- 依赖关系图中的最长链计算

步骤 7：注意事项

如果图中 存在正环，则最长路径可能无界增长，但 DAG 没有环，因此问题总是有解。
如果所有权重都是负数，最长路径实际上是“最短路径”的相反数问题。
对于 无向无环图（即树），最长路径可通过两次 DFS/BFS 求直径，但 DAG 的最长路径是有向的，必须按拓扑顺序求解。

总结

通过 拓扑排序 + 动态规划，我们可以在 O(V+E) 时间内高效求解 DAG 的单源最长路径问题。这个算法利用了 DAG 的无环性质，确保在更新每个顶点时，其所有入边对应的前驱顶点都已被正确处理。

有向无环图（DAG）的最长路径（Longest Path）问题题目描述给定一个有向无环图（DAG），以及每条边的权重（可以是正数、负数或零），要求找出从某个源点到其他所有顶点的最长路径长度（即路径上所有边的权重之和最大）。如果从源点无法到达某个顶点，则其最长路径长度为负无穷（或标记为不可达）。这个问题可以看作 DAG 的单源最短路径问题的“变体”——只需将所有权重取相反数，并运行最短路径算法即可。但由于 DAG 具有无环的性质，我们可以更高效地通过拓扑排序 + 动态规划直接求解最长路径。解题过程步骤 1：理解 DAG 的性质 DAG 中没有有向环，因此我们可以对顶点进行拓扑排序，得到一个顶点序列，使得所有边的方向都是从序列中靠前的顶点指向靠后的顶点。这种排序保证了：当我们按照拓扑顺序处理顶点时，对于当前顶点 v ，所有可能到达 v 的顶点都已经被处理过。步骤 2：问题转化为动态规划设： dist[v] 表示从源点 s 到顶点 v 的最长路径长度。初始时， dist[s] = 0 ，其他顶点 dist[u] = -∞ （表示尚未到达）。对于图中的每条边 (u, v) ，权重为 w(u, v) ，更新规则为： \[ dist[ v] = \max(dist[ v],\; dist[ u ] + w(u, v)) \] 因为 DAG 中无环，我们按照拓扑顺序依次处理顶点 u ，并松弛所有从 u 出发的边。这样可以确保在更新 dist[v] 时， dist[u] 已经是最终的最优值。步骤 3：算法步骤拓扑排序：使用 Kahn 算法或 DFS 得到 DAG 的拓扑序列。初始化距离数组： dist[s] = 0 对于其他顶点 v ≠ s ， dist[v] = -∞ 按拓扑顺序遍历每个顶点 u ：如果 dist[u] 仍为 -∞ ，说明从 s 无法到达 u ，跳过。否则，对于 u 的每个邻居 v （通过边 (u, v) ）：更新 dist[v] = max(dist[v], dist[u] + w(u, v)) 输出结果： dist[v] 即为从 s 到 v 的最长路径长度。步骤 4：举例说明考虑以下 DAG（顶点编号从 0 开始，源点 s = 0 ）：边集（格式： u v w ）：拓扑排序（可能的顺序）： 0, 1, 2, 3, 4 初始化：按顺序处理：处理顶点 0：更新邻居： dist[1] = max(-∞, 0+5) = 5 dist[2] = max(-∞, 0+3) = 3 处理顶点 1：更新邻居： dist[2] = max(3, 5+2) = 7 dist[3] = max(-∞, 5+6) = 11 处理顶点 2：更新邻居： dist[3] = max(11, 7+7) = 14 dist[4] = max(-∞, 7+4) = 11 处理顶点 3：更新邻居： dist[4] = max(11, 14+1) = 15 处理顶点 4：无出边。最终结果：步骤 5：算法复杂度拓扑排序： O(V + E) 动态规划更新：每个顶点处理其所有出边，共 O(E) 总复杂度： O(V + E) ，非常高效。步骤 6：扩展与应用最长路径的具体路径：在更新 dist[v] 时，同时记录 prev[v] = u ，最后反向回溯即可得到路径。 DAG 的最长路径问题可用于：项目管理中的关键路径法（CPM）编译器中的指令调度依赖关系图中的最长链计算步骤 7：注意事项如果图中存在正环，则最长路径可能无界增长，但 DAG 没有环，因此问题总是有解。如果所有权重都是负数，最长路径实际上是“最短路径”的相反数问题。对于无向无环图（即树），最长路径可通过两次 DFS/BFS 求直径，但 DAG 的最长路径是有向的，必须按拓扑顺序求解。总结通过拓扑排序 + 动态规划，我们可以在 O(V+E) 时间内高效求解 DAG 的单源最长路径问题。这个算法利用了 DAG 的无环性质，确保在更新每个顶点时，其所有入边对应的前驱顶点都已被正确处理。