基于Karmarkar内点法的线性规划问题基础题
字数 3166 2025-12-14 05:10:33

基于Karmarkar内点法的线性规划问题基础题

题目描述

考虑以下标准形式的线性规划问题：
最小化：\(c^T x\)
约束条件：
\(Ax = b\)
\(x \geq 0\)
其中，\(x \in \mathbb{R}^n\)，\(A \in \mathbb{R}^{m \times n}\)（满行秩，\(m < n\)），\(b \in \mathbb{R}^m\)，\(c \in \mathbb{R}^n\)。假设该问题具有严格内点可行解（即存在 \(x > 0\) 满足 \(Ax = b\)），且最优目标函数值为零。请使用Karmarkar内点法求解该线性规划问题，并详细说明算法的每一步骤。

解题过程（循序渐进讲解）

步骤1: 理解Karmarkar算法的核心思想

Karmarkar算法（1984年提出）是一种多项式时间的内点法，用于求解线性规划问题。与单纯形法遍历顶点不同，它通过在可行域内部沿着下降方向移动来逼近最优解。核心特点是：

  • 将原问题转化为一种特殊的标准形式（称为Karmarkar标准形式），其中最优目标值为0，且已知一个严格内点的初始可行解（通常为全1向量）。
  • 在每次迭代中，利用投影变换将当前内点映射到单纯形的中心，然后在变换后的空间构造一个势函数（或直接使用目标函数），并沿着其下降方向移动一步。
  • 通过迭代，使目标值趋近于0（即达到最优）。

步骤2: 将原问题转化为Karmarkar标准形式

原问题为：

\[\begin{aligned} \min \quad & c^T x \\ \text{s.t.} \quad & Ax = b, \\ & x \geq 0. \end{aligned} \]

假设我们已经知道：

  1. 最优目标值为0（可通过平移或其他方法处理，此处假设已知）。
  2. 存在严格内点可行解 \(x^0 > 0\)（例如，可通过两阶段法求得）。

通过以下变换，将问题转化为Karmarkar标准形式：

  1. 引入仿射变换，将当前内点 \(x^0\) 映射为全1向量 \(e = (1,1,\dots,1)^T\)。
  2. 具体地，定义对角矩阵 \(D = \text{diag}(x^0)\)，令 \(y = D^{-1} x\)，则 \(y = e\) 对应 \(x = x^0\)。
  3. 代入原问题：

\[ \begin{aligned} \min \quad & (c^T D) y \\ \text{s.t.} \quad & (A D) y = b, \\ & y \geq 0. \end{aligned} \]

此时，\(y = e\) 是一个严格内点。
4. 进一步，通过投影消除等式约束，并调整目标函数，使得最优值为0（详细过程略，通常需要预处理）。最终得到Karmarkar标准形式：

\[ \begin{aligned} \min \quad & \hat{c}^T y \\ \text{s.t.} \quad & \hat{A} y = 0, \\ & e^T y = n, \\ & y \geq 0, \end{aligned} \]

其中 \(\hat{A}\) 的行向量张成的空间包含于 \(e^T y = n\) 定义的超平面，且最优目标值为0。初始点 \(y^0 = e\)。

为简化讲解，我们通常直接从一个已满足标准形式的问题出发。

步骤3: 迭代过程（以势函数下降为例）

假设已处于标准形式，当前迭代点为 \(y^k\)（严格内点，即 \(y^k > 0\) 且满足等式约束）。记 \(\hat{c}^T y\) 为目标函数。

  1. 计算投影矩阵：
    在约束 \(\hat{A} y = 0\)，\(e^T y = n\) 下，定义矩阵 \(B = \begin{bmatrix} \hat{A} \\ e^T \end{bmatrix}\)。则向约束子空间投影的矩阵为：

\[ P = I - B^T (B B^T)^{-1} B. \]

注意：由于 \(y^k\) 是内点，\(B\) 行满秩，投影矩阵良定义。
2. 构造缩放变换：
令对角矩阵 \(D_k = \text{diag}(y^k)\)。进行坐标变换 \(z = D_k^{-1} y\)，则当前点 \(y^k\) 对应 \(z = e\)。
3. 在变换空间定义势函数（Karmarkar原始版本使用势函数，后来也有直接使用目标函数的变体）：

\[ \Phi(z) = n \ln(\hat{c}^T D_k z) - \sum_{j=1}^n \ln(z_j), \]

其中第一项推动目标函数下降，第二项（对数壁垒）阻止靠近边界。
4. 计算下降方向：
在变换空间中，约束变为 \(\hat{A} D_k z = 0\)，\(e^T D_k z = n\)。但注意到 \(z = e\) 时，\(D_k e = y^k\)，约束自然满足。实际计算中，常使用投影梯度方向：

  • 计算变换空间中的梯度 \(g = \nabla \Phi(e)\)（需对 \(\Phi(z)\) 求导）。
  • 将 \(g\) 投影到变换空间的约束子空间（即 \(\hat{A} D_k z = 0\)，\(e^T D_k z = n\) 的切空间），得到投影方向 \(d_z = -P' g\)，其中 \(P'\) 是变换空间的投影矩阵。
  • 或者更简单地，直接使用目标函数 \(\hat{c}^T D_k z\) 的投影负梯度方向作为移动方向（这是Karmarkar算法的一个简化变体）。
  1. 确定步长并更新：
    • 沿 \(d_z\) 移动：\(z^{new} = e + \alpha d_z\)，其中步长 \(\alpha \in (0,1)\) 需选择足够小，使得 \(z^{new} > 0\) 且目标函数下降。通常取 \(\alpha = 0.25\) 或通过线搜索确定。
    • 变换回原空间：\(y^{k+1} = D_k z^{new}\)。
  2. 检查收敛：
    若 \(\hat{c}^T y^{k+1}\) 足够接近0（小于预设容差 \(\epsilon\)），则停止；否则令 \(k = k+1\) 继续迭代。

步骤4: 从标准形式恢复原问题解

最终得到的 \(y^*\) 是标准形式的最优解。通过逆变换 \(x^* = D y^*\)（其中 \(D\) 是初始变换的对角矩阵）可得到原问题的最优解 \(x^*\)。由于假设最优目标值为0，\(c^T x^*\) 应接近0。

步骤5: 算法特点与注意事项

  • 多项式时间：Karmarkar算法在最坏情况下具有多项式时间复杂度，比单纯形法的指数时间更优。
  • 中心路径：与后来的路径跟踪内点法不同，Karmarkar算法通过势函数或投影梯度直接逼近最优解。
  • 初始点要求：必须已知严格内点，且问题需转化为标准形式。
  • 实际应用：现代内点法多基于原始-对偶路径跟踪，但Karmarkar算法是内点法的奠基性工作。

总结

Karmarkar内点法通过投影变换和势函数下降，在可行域内部迭代逼近最优解。其核心步骤包括：转化为标准形式、构造投影矩阵、进行缩放变换、计算投影下降方向、谨慎选择步长更新，最后逆变换得原问题解。该算法奠定了线性规划多项式时间算法的基础。

基于Karmarkar内点法的线性规划问题基础题 题目描述 考虑以下标准形式的线性规划问题： 最小化：\( c^T x \) 约束条件： \( Ax = b \) \( x \geq 0 \) 其中，\( x \in \mathbb{R}^n \)，\( A \in \mathbb{R}^{m \times n} \)（满行秩，\( m < n \)），\( b \in \mathbb{R}^m \)，\( c \in \mathbb{R}^n \)。假设该问题具有严格内点可行解（即存在 \( x > 0 \) 满足 \( Ax = b \)），且最优目标函数值为零。请使用 Karmarkar内点法 求解该线性规划问题，并详细说明算法的每一步骤。 解题过程（循序渐进讲解） 步骤1: 理解Karmarkar算法的核心思想 Karmarkar算法（1984年提出）是一种多项式时间的内点法，用于求解线性规划问题。与单纯形法遍历顶点不同，它通过在可行域 内部 沿着下降方向移动来逼近最优解。核心特点是： 将原问题转化为一种特殊的 标准形式 （称为Karmarkar标准形式），其中最优目标值为0，且已知一个 严格内点的初始可行解 （通常为全1向量）。 在每次迭代中，利用 投影变换 将当前内点映射到单纯形的中心，然后在变换后的空间构造一个 势函数 （或直接使用目标函数），并沿着其下降方向移动一步。 通过迭代，使目标值趋近于0（即达到最优）。 步骤2: 将原问题转化为Karmarkar标准形式 原问题为： \[ \begin{aligned} \min \quad & c^T x \\ \text{s.t.} \quad & Ax = b, \\ & x \geq 0. \end{aligned} \] 假设我们已经知道： 最优目标值为0（可通过平移或其他方法处理，此处假设已知）。 存在严格内点可行解 \( x^0 > 0 \)（例如，可通过两阶段法求得）。 通过以下变换，将问题转化为Karmarkar标准形式： 引入 仿射变换 ，将当前内点 \( x^0 \) 映射为全1向量 \( e = (1,1,\dots,1)^T \)。 具体地，定义对角矩阵 \( D = \text{diag}(x^0) \)，令 \( y = D^{-1} x \)，则 \( y = e \) 对应 \( x = x^0 \)。 代入原问题： \[ \begin{aligned} \min \quad & (c^T D) y \\ \text{s.t.} \quad & (A D) y = b, \\ & y \geq 0. \end{aligned} \] 此时，\( y = e \) 是一个严格内点。 进一步，通过 投影消除等式约束 ，并调整目标函数，使得最优值为0（详细过程略，通常需要预处理）。最终得到Karmarkar标准形式： \[ \begin{aligned} \min \quad & \hat{c}^T y \\ \text{s.t.} \quad & \hat{A} y = 0, \\ & e^T y = n, \\ & y \geq 0, \end{aligned} \] 其中 \( \hat{A} \) 的行向量张成的空间包含于 \( e^T y = n \) 定义的超平面，且最优目标值为0。初始点 \( y^0 = e \)。 为简化讲解，我们通常直接从一个 已满足标准形式 的问题出发。 步骤3: 迭代过程（以势函数下降为例） 假设已处于标准形式，当前迭代点为 \( y^k \)（严格内点，即 \( y^k > 0 \) 且满足等式约束）。记 \( \hat{c}^T y \) 为目标函数。 计算投影矩阵 ： 在约束 \( \hat{A} y = 0 \)，\( e^T y = n \) 下，定义矩阵 \( B = \begin{bmatrix} \hat{A} \\ e^T \end{bmatrix} \)。则向约束子空间投影的矩阵为： \[ P = I - B^T (B B^T)^{-1} B. \] 注意：由于 \( y^k \) 是内点，\( B \) 行满秩，投影矩阵良定义。 构造缩放变换 ： 令对角矩阵 \( D_ k = \text{diag}(y^k) \)。进行坐标变换 \( z = D_ k^{-1} y \)，则当前点 \( y^k \) 对应 \( z = e \)。 在变换空间定义势函数 （Karmarkar原始版本使用势函数，后来也有直接使用目标函数的变体）： \[ \Phi(z) = n \ln(\hat{c}^T D_ k z) - \sum_ {j=1}^n \ln(z_ j), \] 其中第一项推动目标函数下降，第二项（对数壁垒）阻止靠近边界。 计算下降方向 ： 在变换空间中，约束变为 \( \hat{A} D_ k z = 0 \)，\( e^T D_ k z = n \)。但注意到 \( z = e \) 时，\( D_ k e = y^k \)，约束自然满足。实际计算中，常使用 投影梯度方向 ： 计算变换空间中的梯度 \( g = \nabla \Phi(e) \)（需对 \( \Phi(z) \) 求导）。 将 \( g \) 投影到变换空间的约束子空间（即 \( \hat{A} D_ k z = 0 \)，\( e^T D_ k z = n \) 的切空间），得到投影方向 \( d_ z = -P' g \)，其中 \( P' \) 是变换空间的投影矩阵。 或者更简单地，直接使用目标函数 \( \hat{c}^T D_ k z \) 的投影负梯度方向作为移动方向（这是Karmarkar算法的一个简化变体）。 确定步长并更新 ： 沿 \( d_ z \) 移动：\( z^{new} = e + \alpha d_ z \)，其中步长 \( \alpha \in (0,1) \) 需选择足够小，使得 \( z^{new} > 0 \) 且目标函数下降。通常取 \( \alpha = 0.25 \) 或通过线搜索确定。 变换回原空间：\( y^{k+1} = D_ k z^{new} \)。 检查收敛 ： 若 \( \hat{c}^T y^{k+1} \) 足够接近0（小于预设容差 \( \epsilon \)），则停止；否则令 \( k = k+1 \) 继续迭代。 步骤4: 从标准形式恢复原问题解 最终得到的 \( y^* \) 是标准形式的最优解。通过逆变换 \( x^* = D y^* \)（其中 \( D \) 是初始变换的对角矩阵）可得到原问题的最优解 \( x^* \)。由于假设最优目标值为0，\( c^T x^* \) 应接近0。 步骤5: 算法特点与注意事项 多项式时间 ：Karmarkar算法在最坏情况下具有多项式时间复杂度，比单纯形法的指数时间更优。 中心路径 ：与后来的路径跟踪内点法不同，Karmarkar算法通过势函数或投影梯度直接逼近最优解。 初始点要求 ：必须已知严格内点，且问题需转化为标准形式。 实际应用 ：现代内点法多基于 原始-对偶路径跟踪 ，但Karmarkar算法是内点法的奠基性工作。 总结 Karmarkar内点法通过 投影变换 和 势函数下降 ，在可行域内部迭代逼近最优解。其核心步骤包括：转化为标准形式、构造投影矩阵、进行缩放变换、计算投影下降方向、谨慎选择步长更新，最后逆变换得原问题解。该算法奠定了线性规划多项式时间算法的基础。