基于核的线性判别分析（Kernel Linear Discriminant Analysis, K-LDA）的原理与非线性降维分类过程
字数 3787 2025-12-14 04:59:37

基于核的线性判别分析（Kernel Linear Discriminant Analysis, K-LDA）的原理与非线性降维分类过程

1. 题目描述
线性判别分析（LDA）是一种经典的监督降维与分类算法，旨在寻找一个投影方向，使得不同类别的样本在该方向上具有最大的类间散度（类间距离）和最小的类内散度（类内距离）。然而，LDA只能学习线性投影，对于非线性可分的数据效果有限。基于核的线性判别分析（K-LDA）通过引入核技巧（Kernel Trick），将原始数据映射到高维特征空间，再在特征空间中执行LDA，从而实现对非线性可分数据的降维与分类。本题将详细介绍K-LDA的数学原理、核技巧的应用，以及具体的计算步骤。

2. 核心思想：从LDA到K-LDA
2.1 回顾LDA的目标
设数据集为 \(\{x_i, y_i\}_{i=1}^N\)，其中 \(x_i \in \mathbb{R}^d\)，\(y_i \in \{1,2,\dots,C\}\) 为类别标签。LDA寻找投影矩阵 \(W \in \mathbb{R}^{d \times m} (m \leq C-1)\)，使得投影后的数据 \(z_i = W^T x_i\) 满足：

  • 类间散度（Between-class scatter）最大化；
  • 类内散度（Within-class scatter）最小化。

目标函数为：

\[J(W) = \frac{W^T S_B W}{W^T S_W W} \]

其中 \(S_B\) 为类间散度矩阵，\(S_W\) 为类内散度矩阵。

2.2 LDA的局限性
LDA假设数据是线性可分的。如果数据在原始空间中呈现非线性分布（例如环形或交叉分布），则LDA的线性投影无法有效分离类别。

2.3 K-LDA的解决思路
K-LDA通过一个非线性映射 \(\phi: \mathbb{R}^d \to \mathcal{H}\)，将数据映射到高维特征空间 \(\mathcal{H}\)（可能是无限维），然后在 \(\mathcal{H}\) 中执行LDA。由于 \(\phi\) 通常难以显式表达，我们使用核函数 \(k(x_i, x_j) = \langle \phi(x_i), \phi(x_j) \rangle\) 来隐式计算特征空间的内积，从而避免直接处理 \(\phi\)。

3. K-LDA的数学推导
3.1 特征空间中的LDA问题
在特征空间中，数据变为 \(\phi(x_i)\)。我们希望找到投影向量 \(w \in \mathcal{H}\)（假设 \(w\) 位于 \(\phi(x_i)\) 张成的空间中，即 \(w = \sum_{i=1}^N \alpha_i \phi(x_i)\)），使得目标函数最大化：

\[J(\alpha) = \frac{\alpha^T K B K \alpha}{\alpha^T K W K \alpha} \]

其中：

  • \(\alpha = (\alpha_1, \dots, \alpha_N)^T\) 是系数向量；
  • \(K \in \mathbb{R}^{N \times N}\) 是核矩阵，元素 \(K_{ij} = k(x_i, x_j)\)；
  • \(B\) 和 \(W\) 是特征空间中的类间和类内散度矩阵的核形式表达，具体定义如下。

3.2 散度矩阵的核化
设第 \(c\) 类的样本索引集合为 \(I_c\)，样本数为 \(n_c\)。定义：

  • 类中心在特征空间中的像：\(\mu_c = \frac{1}{n_c} \sum_{i \in I_c} \phi(x_i)\)；
  • 总体中心：\(\mu = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \phi(x_i)\)。

则类间散度矩阵 \(S_B^\phi\) 和类内散度矩阵 \(S_W^\phi\) 为：

\[S_B^\phi = \sum_{c=1}^C n_c (\mu_c - \mu)(\mu_c - \mu)^T, \quad S_W^\phi = \sum_{c=1}^C \sum_{i \in I_c} (\phi(x_i) - \mu_c)(\phi(x_i) - \mu_c)^T \]

利用 \(w = \sum_{i=1}^N \alpha_i \phi(x_i)\)，可将散度矩阵的二次型转化为核矩阵形式。经推导（过程略），目标函数中的分子和分母可写为：

\[w^T S_B^\phi w = \alpha^T K M K \alpha, \quad w^T S_W^\phi w = \alpha^T K N K \alpha \]

其中 \(M\) 和 \(N\) 是根据类别信息构造的矩阵：

  • \(M = \sum_{c=1}^C \frac{1}{n_c} m_c m_c^T - \frac{1}{N} \mathbf{1}_N \mathbf{1}_N^T\)，其中 \(m_c\) 是第 \(c\) 类的指示向量（第 \(i\) 个元素为 \(1\) 若 \(x_i\) 属于类 \(c\)，否则为 \(0\)），\(\mathbf{1}_N\) 是全1向量。
  • \(N = K - \sum_{c=1}^C \frac{1}{n_c} m_c m_c^T K\)（另一种常见形式是 \(N = K (I - \sum_{c=1}^C \frac{1}{n_c} m_c m_c^T) K\)）。

3.3 广义特征值问题
K-LDA的优化问题转化为求解广义特征值问题：

\[K M K \alpha = \lambda K N K \alpha \]

由于 \(K\) 可能奇异，通常引入正则化项，即求解：

\[(K M K + \epsilon I) \alpha = \lambda K N K \alpha \]

其中 \(\epsilon > 0\) 是一个小的正则化参数。求解得到前 \(m\) 个最大特征值对应的特征向量 \(\alpha^{(1)}, \dots, \alpha^{(m)}\)。

4. K-LDA的计算步骤
步骤1：选择核函数并计算核矩阵
常用核函数包括高斯核 \(k(x_i, x_j) = \exp(-\gamma \|x_i - x_j\|^2)\)、多项式核等。计算所有样本对的核值，得到核矩阵 \(K\)。

步骤2：构造类别矩阵 \(M\) 和 \(N\)
根据类别标签，构造指示向量 \(m_c\)（长度为 \(N\)），进而计算 \(M\) 和 \(N\)。例如，\(M = \sum_{c=1}^C \frac{1}{n_c} m_c m_c^T - \frac{1}{N} \mathbf{1}_N \mathbf{1}_N^T\)。

步骤3：求解广义特征值问题
解 \((K M K + \epsilon I) \alpha = \lambda K N K \alpha\)，选取前 \(m = C-1\) 个最大特征值对应的特征向量 \(\alpha_1, \dots, \alpha_m\)，构成系数矩阵 \(A = [\alpha_1, \dots, \alpha_m] \in \mathbb{R}^{N \times m}\)。

步骤4：降维投影
对于任意样本 \(x\)（包括新样本），其在K-LDA降维空间中的投影为：

\[z = A^T k_x \]

其中 \(k_x = [k(x_1, x), k(x_2, x), \dots, k(x_N, x)]^T \in \mathbb{R}^N\) 是该样本与训练集中所有样本的核向量。

步骤5：分类
在降维后的空间（维度 \(m\)）中，可使用简单分类器（如最近邻分类器）进行分类：计算测试样本与各类中心的距离，将其分配到最近的类。

5. K-LDA的特点与注意事项

  • 优点：通过核技巧处理非线性数据，在特征空间中实现线性判别；适用于复杂模式分类。
  • 缺点：计算复杂度高（需存储和计算 \(N \times N\) 核矩阵）；核函数和参数（如高斯核的 \(\gamma\)）需谨慎选择；对训练样本数量敏感。
  • 正则化必要性：为避免矩阵奇异，必须引入正则化（例如在 \(K N K\) 上加上 \(\epsilon I\)）。
  • 与Kernel PCA的区别：Kernel PCA是无监督降维，而K-LDA利用类别标签进行监督降维，通常更有利于分类任务。

6. 总结
K-LDA通过核技巧将LDA扩展至非线性领域，在特征空间中最大化类间散度与类内散度之比。其核心在于将原始数据隐式映射到高维空间，并通过核矩阵表达散度矩阵，最终转化为广义特征值问题求解投影方向。K-LDA在图像识别、生物信息学等领域有广泛应用，是非线性判别分析的重要方法之一。

基于核的线性判别分析（Kernel Linear Discriminant Analysis, K-LDA）的原理与非线性降维分类过程 1. 题目描述 线性判别分析（LDA）是一种经典的监督降维与分类算法，旨在寻找一个投影方向，使得不同类别的样本在该方向上具有最大的类间散度（类间距离）和最小的类内散度（类内距离）。然而，LDA只能学习线性投影，对于非线性可分的数据效果有限。基于核的线性判别分析（K-LDA）通过引入 核技巧（Kernel Trick） ，将原始数据映射到高维特征空间，再在特征空间中执行LDA，从而实现对非线性可分数据的降维与分类。本题将详细介绍K-LDA的数学原理、核技巧的应用，以及具体的计算步骤。 2. 核心思想：从LDA到K-LDA 2.1 回顾LDA的目标 设数据集为 \(\{x_ i, y_ i\}_ {i=1}^N\)，其中 \(x_ i \in \mathbb{R}^d\)，\(y_ i \in \{1,2,\dots,C\}\) 为类别标签。LDA寻找投影矩阵 \(W \in \mathbb{R}^{d \times m} (m \leq C-1)\)，使得投影后的数据 \(z_ i = W^T x_ i\) 满足： 类间散度（Between-class scatter）最大化； 类内散度（Within-class scatter）最小化。 目标函数为： \[ J(W) = \frac{W^T S_ B W}{W^T S_ W W} \] 其中 \(S_ B\) 为类间散度矩阵，\(S_ W\) 为类内散度矩阵。 2.2 LDA的局限性 LDA假设数据是线性可分的。如果数据在原始空间中呈现非线性分布（例如环形或交叉分布），则LDA的线性投影无法有效分离类别。 2.3 K-LDA的解决思路 K-LDA通过一个非线性映射 \(\phi: \mathbb{R}^d \to \mathcal{H}\)，将数据映射到高维特征空间 \(\mathcal{H}\)（可能是无限维），然后在 \(\mathcal{H}\) 中执行LDA。由于 \(\phi\) 通常难以显式表达，我们使用核函数 \(k(x_ i, x_ j) = \langle \phi(x_ i), \phi(x_ j) \rangle\) 来隐式计算特征空间的内积，从而避免直接处理 \(\phi\)。 3. K-LDA的数学推导 3.1 特征空间中的LDA问题 在特征空间中，数据变为 \(\phi(x_ i)\)。我们希望找到投影向量 \(w \in \mathcal{H}\)（假设 \(w\) 位于 \(\phi(x_ i)\) 张成的空间中，即 \(w = \sum_ {i=1}^N \alpha_ i \phi(x_ i)\)），使得目标函数最大化： \[ J(\alpha) = \frac{\alpha^T K B K \alpha}{\alpha^T K W K \alpha} \] 其中： \(\alpha = (\alpha_ 1, \dots, \alpha_ N)^T\) 是系数向量； \(K \in \mathbb{R}^{N \times N}\) 是核矩阵，元素 \(K_ {ij} = k(x_ i, x_ j)\)； \(B\) 和 \(W\) 是特征空间中的类间和类内散度矩阵的核形式表达，具体定义如下。 3.2 散度矩阵的核化 设第 \(c\) 类的样本索引集合为 \(I_ c\)，样本数为 \(n_ c\)。定义： 类中心在特征空间中的像：\(\mu_ c = \frac{1}{n_ c} \sum_ {i \in I_ c} \phi(x_ i)\)； 总体中心：\(\mu = \frac{1}{N} \sum_ {i=1}^N \phi(x_ i)\)。 则类间散度矩阵 \(S_ B^\phi\) 和类内散度矩阵 \(S_ W^\phi\) 为： \[ S_ B^\phi = \sum_ {c=1}^C n_ c (\mu_ c - \mu)(\mu_ c - \mu)^T, \quad S_ W^\phi = \sum_ {c=1}^C \sum_ {i \in I_ c} (\phi(x_ i) - \mu_ c)(\phi(x_ i) - \mu_ c)^T \] 利用 \(w = \sum_ {i=1}^N \alpha_ i \phi(x_ i)\)，可将散度矩阵的二次型转化为核矩阵形式。经推导（过程略），目标函数中的分子和分母可写为： \[ w^T S_ B^\phi w = \alpha^T K M K \alpha, \quad w^T S_ W^\phi w = \alpha^T K N K \alpha \] 其中 \(M\) 和 \(N\) 是根据类别信息构造的矩阵： \(M = \sum_ {c=1}^C \frac{1}{n_ c} m_ c m_ c^T - \frac{1}{N} \mathbf{1}_ N \mathbf{1}_ N^T\)，其中 \(m_ c\) 是第 \(c\) 类的指示向量（第 \(i\) 个元素为 \(1\) 若 \(x_ i\) 属于类 \(c\)，否则为 \(0\)），\(\mathbf{1}_ N\) 是全1向量。 \(N = K - \sum_ {c=1}^C \frac{1}{n_ c} m_ c m_ c^T K\)（另一种常见形式是 \(N = K (I - \sum_ {c=1}^C \frac{1}{n_ c} m_ c m_ c^T) K\)）。 3.3 广义特征值问题 K-LDA的优化问题转化为求解广义特征值问题： \[ K M K \alpha = \lambda K N K \alpha \] 由于 \(K\) 可能奇异，通常引入正则化项，即求解： \[ (K M K + \epsilon I) \alpha = \lambda K N K \alpha \] 其中 \(\epsilon > 0\) 是一个小的正则化参数。求解得到前 \(m\) 个最大特征值对应的特征向量 \(\alpha^{(1)}, \dots, \alpha^{(m)}\)。 4. K-LDA的计算步骤 步骤1：选择核函数并计算核矩阵 常用核函数包括高斯核 \(k(x_ i, x_ j) = \exp(-\gamma \|x_ i - x_ j\|^2)\)、多项式核等。计算所有样本对的核值，得到核矩阵 \(K\)。 步骤2：构造类别矩阵 \(M\) 和 \(N\) 根据类别标签，构造指示向量 \(m_ c\)（长度为 \(N\)），进而计算 \(M\) 和 \(N\)。例如，\(M = \sum_ {c=1}^C \frac{1}{n_ c} m_ c m_ c^T - \frac{1}{N} \mathbf{1}_ N \mathbf{1}_ N^T\)。 步骤3：求解广义特征值问题 解 \((K M K + \epsilon I) \alpha = \lambda K N K \alpha\)，选取前 \(m = C-1\) 个最大特征值对应的特征向量 \(\alpha_ 1, \dots, \alpha_ m\)，构成系数矩阵 \(A = [ \alpha_ 1, \dots, \alpha_ m ] \in \mathbb{R}^{N \times m}\)。 步骤4：降维投影 对于任意样本 \(x\)（包括新样本），其在K-LDA降维空间中的投影为： \[ z = A^T k_ x \] 其中 \(k_ x = [ k(x_ 1, x), k(x_ 2, x), \dots, k(x_ N, x) ]^T \in \mathbb{R}^N\) 是该样本与训练集中所有样本的核向量。 步骤5：分类 在降维后的空间（维度 \(m\)）中，可使用简单分类器（如最近邻分类器）进行分类：计算测试样本与各类中心的距离，将其分配到最近的类。 5. K-LDA的特点与注意事项 优点 ：通过核技巧处理非线性数据，在特征空间中实现线性判别；适用于复杂模式分类。 缺点 ：计算复杂度高（需存储和计算 \(N \times N\) 核矩阵）；核函数和参数（如高斯核的 \(\gamma\)）需谨慎选择；对训练样本数量敏感。 正则化必要性 ：为避免矩阵奇异，必须引入正则化（例如在 \(K N K\) 上加上 \(\epsilon I\)）。 与Kernel PCA的区别 ：Kernel PCA是无监督降维，而K-LDA利用类别标签进行监督降维，通常更有利于分类任务。 6. 总结 K-LDA通过核技巧将LDA扩展至非线性领域，在特征空间中最大化类间散度与类内散度之比。其核心在于将原始数据隐式映射到高维空间，并通过核矩阵表达散度矩阵，最终转化为广义特征值问题求解投影方向。K-LDA在图像识别、生物信息学等领域有广泛应用，是非线性判别分析的重要方法之一。