SHA-256哈希算法的轮常数K\_t详解
字数 2328 2025-12-14 02:42:50

SHA-256哈希算法的轮常数K_t详解

题目描述：SHA-256哈希算法在压缩函数的每一轮（共64轮）运算中，会使用一个64个常量组成的轮常数数组K[0..63]。请详细解释这些轮常数K_t的生成方法、设计原理及其在压缩函数中的作用。

解题过程：

首先，我们需要理解SHA-256的整体结构。SHA-256是迭代式哈希函数，基于Merkle-Damgård结构。其核心是一个处理512位消息块的压缩函数。在压缩函数内部，会进行64轮运算，每轮运算都会使用一个32位的轮常数K_t。

1. 轮常数K_t的定义

SHA-256的轮常数K[0..63]是64个32位的字（word）。它们是在算法标准中预定义的常量，来源于自然数中前64个质数（2, 3, 5, 7, 11, ...）的立方根的小数部分。

2. 轮常数K_t的计算方法

计算步骤具体如下：

  1. 取前64个质数：即第1个到第64个质数。质数列表为: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311。
  2. 计算每个质数的立方根：对每个质数p_t (t=0..63)，计算其立方根 p_t^(1/3)。
  3. 取小数部分：取这个立方根值的小数部分（即去掉整数部分）。
  4. 取前32位：将该小数部分表示为一个二进制小数，取这个二进制小数的小数点后前32位（即前32个比特）。
  5. 转换为十六进制：将这32位二进制数表示为一个32位的字，即得到K_t。

用数学公式表示K_t的生成：
K_t = floor(2^32 * |p_t^(1/3)|)
其中，floor是向下取整函数，|x| 表示x的小数部分，p_t是第t+1个质数。

3. 设计原理

为什么要用质数的立方根的小数部分？

  1. “无偏”的常数：这些常数是通过一个简单的数学过程（质数、立方根）生成的，而非人为选择，从而避免了设计者在常数中隐藏“后门”的可能性。任何“特殊”的数学性质都源于基础的数学对象（质数），这被密码学界普遍认为是安全的。
  2. 随机性外观：质数的立方根的小数部分在数学上被认为是“随机分布”的，它们看起来像是无规律的比特串，这有助于在压缩函数的每一轮中引入不可预测的、看似随机的扰动。
  3. 打破对称性：在压缩函数的64轮中，每一轮使用不同的K_t，确保了每一轮的运算环境都有细微差别。这增加了算法的非线性性和扩散性，有助于抵抗密码分析攻击（如差分攻击、线性攻击等）。如果所有轮次使用相同常数，可能会引入对称性弱点。

4. 在压缩函数中的作用

让我们结合压缩函数的一轮运算来看K_t的作用。压缩函数的状态由8个32位的寄存器(a, b, c, d, e, f, g, h)表示。每一轮t (t=0..63)的运算步骤如下（W_t是扩展后的消息字）：

  1. 计算两个中间变量：
    • Σ1_t = (e向右循环旋转6位) ⊕ (e向右循环旋转11位) ⊕ (e向右循环旋转25位)
    • Ch_t = (e AND f) ⊕ ((NOT e) AND g) // 选择函数
  2. 计算临时变量T1：
    • T1 = h + Σ1_t + Ch_t + K_t + W_t
  3. 计算另外两个中间变量：
    • Σ0_t = (a向右循环旋转2位) ⊕ (a向右循环旋转13位) ⊕ (a向右循环旋转22位)
    • Maj_t = (a AND b) ⊕ (a AND c) ⊕ (b AND c) // 多数函数
  4. 计算临时变量T2：
    • T2 = Σ0_t + Maj_t
  5. 更新寄存器状态：
    • h = g
    • g = f
    • f = e
    • e = d + T1
    • d = c
    • c = b
    • b = a
    • a = T1 + T2

轮常数K_t的角色：

  • 与消息混合：K_t是固定常数，而W_t是源自当前消息块的、经过复杂扩展后的数据。将K_t和W_t一起加到临时值T1中，意味着每一轮的运算都是当前内部状态、源自消息的数据(W_t)和一个固定但看似随机的扰动(K_t)的复杂组合。
  • 打破输入数据的规律性：即使处理的消息块W_t是高度规律的（例如全0），K_t的加入也能确保每一轮的T1值都不同，防止攻击者轻易预测或控制压缩函数内部的中间状态。这对于抵御与消息相关的攻击至关重要。
  • 确保雪崩效应：K_t的微小变化（因为每一轮的K_t都不同）会通过加法（模2^32）和后续的轮次迭代，迅速扩散到整个哈希输出的所有比特中，满足了哈希函数“输入微小改变导致输出巨大变化”的要求。

总结：
SHA-256的轮常数K_t是一组基于数学原理（前64个质数的立方根小数部分）生成的、看似随机的32位常数。它们的主要作用是在压缩函数的每一轮运算中，作为一个“固定但不可预测”的扰动值，与扩展后的消息字W_t结合，打破算法的内部对称性，引入非线性，增强扩散效果，从而极大地提升了哈希函数对抗密码分析（如寻找碰撞、原像攻击等）的安全性。它们是SHA-256算法设计中实现其安全目标的关键、非秘密的组成部分。

SHA-256哈希算法的轮常数K\_t详解 题目描述 ：SHA-256哈希算法在压缩函数的每一轮（共64轮）运算中，会使用一个64个常量组成的轮常数数组K[ 0..63 ]。请详细解释这些轮常数K\_t的生成方法、设计原理及其在压缩函数中的作用。 解题过程 ： 首先，我们需要理解SHA-256的整体结构。SHA-256是迭代式哈希函数，基于Merkle-Damgård结构。其核心是一个处理512位消息块的压缩函数。在压缩函数内部，会进行64轮运算，每轮运算都会使用一个32位的轮常数K\_t。 1. 轮常数K\_t的定义 SHA-256的轮常数K[ 0..63 ]是64个32位的字（word）。它们是在算法标准中预定义的常量，来源于自然数中前64个质数（2, 3, 5, 7, 11, ...）的立方根的小数部分。 2. 轮常数K\_t的计算方法 计算步骤具体如下： 取前64个质数 ：即第1个到第64个质数。质数列表为: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311。 计算每个质数的立方根 ：对每个质数p\_t (t=0..63)，计算其立方根 p\_t^(1/3)。 取小数部分 ：取这个立方根值的小数部分（即去掉整数部分）。 取前32位 ：将该小数部分表示为一个二进制小数，取这个二进制小数的小数点后前32位（即前32个比特）。 转换为十六进制 ：将这32位二进制数表示为一个32位的字，即得到K\_t。 用数学公式表示K\_t的生成： K\_t = floor(2^32 * |p\_t^(1/3)|) 其中，floor是向下取整函数，|x| 表示x的小数部分，p\_t是第t+1个质数。 3. 设计原理 为什么要用质数的立方根的小数部分？ “无偏”的常数 ：这些常数是通过一个简单的数学过程（质数、立方根）生成的，而非人为选择，从而避免了设计者在常数中隐藏“后门”的可能性。任何“特殊”的数学性质都源于基础的数学对象（质数），这被密码学界普遍认为是安全的。 随机性外观 ：质数的立方根的小数部分在数学上被认为是“随机分布”的，它们看起来像是无规律的比特串，这有助于在压缩函数的每一轮中引入不可预测的、看似随机的扰动。 打破对称性 ：在压缩函数的64轮中，每一轮使用不同的K\_t，确保了每一轮的运算环境都有细微差别。这增加了算法的非线性性和扩散性，有助于抵抗密码分析攻击（如差分攻击、线性攻击等）。如果所有轮次使用相同常数，可能会引入对称性弱点。 4. 在压缩函数中的作用 让我们结合压缩函数的一轮运算来看K\_t的作用。压缩函数的状态由8个32位的寄存器(a, b, c, d, e, f, g, h)表示。每一轮t (t=0..63)的运算步骤如下（W\_t是扩展后的消息字）： 计算两个中间变量： Σ1\_t = (e向右循环旋转6位) ⊕ (e向右循环旋转11位) ⊕ (e向右循环旋转25位) Ch\_t = (e AND f) ⊕ ((NOT e) AND g) // 选择函数 计算临时变量T1： T1 = h + Σ1\_t + Ch\_t + K\_t + W\_t 计算另外两个中间变量： Σ0\_t = (a向右循环旋转2位) ⊕ (a向右循环旋转13位) ⊕ (a向右循环旋转22位) Maj\_t = (a AND b) ⊕ (a AND c) ⊕ (b AND c) // 多数函数 计算临时变量T2： T2 = Σ0\_t + Maj\_t 更新寄存器状态： h = g g = f f = e e = d + T1 d = c c = b b = a a = T1 + T2 轮常数K\_t的角色 ： 与消息混合 ：K\_t是固定常数，而W\_t是源自当前消息块的、经过复杂扩展后的数据。将K\_t和W\_t一起加到临时值T1中，意味着 每一轮的运算都是当前内部状态、源自消息的数据(W\_t)和一个固定但看似随机的扰动(K\_t)的复杂组合 。 打破输入数据的规律性 ：即使处理的消息块W\_t是高度规律的（例如全0），K\_t的加入也能确保每一轮的T1值都不同，防止攻击者轻易预测或控制压缩函数内部的中间状态。这对于抵御与消息相关的攻击至关重要。 确保雪崩效应 ：K\_t的微小变化（因为每一轮的K\_t都不同）会通过加法（模2^32）和后续的轮次迭代，迅速扩散到整个哈希输出的所有比特中，满足了哈希函数“输入微小改变导致输出巨大变化”的要求。 总结 ： SHA-256的轮常数K\_t是一组基于数学原理（前64个质数的立方根小数部分）生成的、看似随机的32位常数。它们的主要作用是在压缩函数的每一轮运算中，作为一个“固定但不可预测”的扰动值，与扩展后的消息字W\_t结合，打破算法的内部对称性，引入非线性，增强扩散效果，从而极大地提升了哈希函数对抗密码分析（如寻找碰撞、原像攻击等）的安全性。它们是SHA-256算法设计中实现其安全目标的关键、非秘密的组成部分。