寻找图中最小反馈顶点集（Minimum Feedback Vertex Set）问题的精确算法（分支定界法）
字数 4764 2025-12-14 00:48:01

寻找图中最小反馈顶点集（Minimum Feedback Vertex Set）问题的精确算法（分支定界法）

题目描述
给定一个有向图或无向图 G = (V, E)，我们希望找到一个最小反馈顶点集，即一个顶点集合 S ⊆ V，使得从图中删除 S 中的所有顶点后，剩下的子图是一个有向无环图（对于有向图）或森林（即无环图，对于无向图）。集合 S 的大小尽可能小。这是一个 NP 难问题。我们将通过分支定界法，结合一些归约规则，来系统地搜索最优解。

解题过程

步骤1：理解问题与目标

  • 在无向图中，反馈顶点集移除后剩下一个森林（无环图）。
  • 在有向图中，反馈顶点集移除后剩下一个有向无环图（DAG）。
  • 由于 NP 难，穷举所有顶点子集（2^n 种）不可行。分支定界法将搜索树剪枝，加速求解。
  • 我们将以无向图为例讲解，但算法思想可扩展到有向图。

步骤2：核心思想与归约规则
分支定界法 = 系统搜索 + 下界（剪枝） + 归约规则（缩小图规模）。
归约规则可降低问题规模，无需分支：

  1. 度数为1的顶点：如果存在顶点 v 的度数 ≤ 1，则 v 不可能出现在任何环中，因此可以直接删除（不放入反馈集）。
  2. 自环顶点：如果有自环，则该顶点必须加入反馈集（因为自环本身就是环），直接将其加入解集并删除。
  3. 多重边：多重边在无向图中可视为单条边，不影响环结构，可合并。
  4. 度数为2的顶点折叠（可选优化）：如果一个顶点 v 恰好有两个邻居 u 和 w，则可以删除 v 并将 u 和 w 用一条新边连接（如果 u-w 间无边）。此时任何包含 v 的环可转化为包含 u 和 w 的环，但反馈集大小计算需调整（v 是否在反馈集中会影响 u 或 w 的计数，需记录权重或后处理，这里为简化先不展开）。
  5. 支配点规则：如果顶点 u 的所有邻居也是顶点 v 的邻居（即 N(u) ⊆ N(v)），则优先考虑将 u 放入反馈集，因为去掉 u 可能比去掉 v 更优。实际中，可合并 u 到 v 的权重等。

步骤3：算法框架

  1. 初始化：当前反馈集 S_curr = ∅，当前最优解 S_best = V（上界 = |V|），当前图 G_curr = 输入图。
  2. 反复应用归约规则简化 G_curr，并更新 S_curr 和 S_best 的上界。
  3. 进入分支定界递归函数 search(G, S_curr, size_curr)：
    • 下界计算：计算当前图 G 的反馈顶点集大小的一个下界，例如：
      a. 图 G 中环覆盖下界：通过最大匹配或线性规划松弛计算，但为简单实现，可用“图的最小度数”启发：反馈集至少包含 (|E| - |V| + 1) 个顶点？不精确。一个简单下界是：如果 G 中存在 k 个顶点不相交的环，则反馈集至少需要 k 个顶点（每个环至少去掉一个顶点）。找顶点不相交的环可通过贪心或最大匹配在二部图中找。
      b. 实践中，可用“图的最小反馈顶点集大小的线性规划松弛下界”或“最小顶点覆盖在二部图中的近似”快速估算。
    • 如果 size_curr + 下界 ≥ |S_best|，剪枝（不可能得到更优解）。
    • 如果 G 无环，则找到一个可行解，若 size_curr < |S_best|，则更新 S_best。
    • 否则，选择分支顶点 v：通常选度数最大的顶点，因为去掉它可以破坏更多环。
    • 分支两种情况：
      (1) 将 v 加入反馈集：从 G 中删除 v（及相连边），size_curr + 1，递归。
      (2) 不将 v 加入反馈集：则 v 必须留在无环图中，那么所有与 v 成环的邻居需处理？实际上，当我们决定 v 不在反馈集时，我们不能简单地保留 v，而需确保删除其他顶点以破坏环。更标准的做法是：
      情况2：v 不在反馈集，则 v 必须保留，此时任何包含 v 的环必须通过删除 v 的某个邻居来破坏。因此，我们可以考虑将 v 的所有邻居加入候选，但这样分支太多。更好的办法是：选择一个包含 v 的环，然后对这个环的所有顶点（除 v 外）进行分支，即至少选其中一个加入反馈集。但实现复杂。
      简化策略：只分支“选 v”或“不选 v”，当不选 v 时，从图中暂时删除 v 但记录 v 必须保留，然后在后续处理中，如果形成环则通过其他方式打破。标准精确算法常用“迭代压缩”或“分支：选 v 或不选 v，不选 v 时，标记 v 为必须保留，并压缩环”。但为清晰，我们采用基本分支：选 v 或不选 v 时，在图中保留 v 但标记，然后后续再处理环。
    • 实际常用更简单的分支规则：任选一条边 (u,v)，分支两种情况：
      a. u 在反馈集：删除 u，递归。
      b. u 不在反馈集：则 u 保留，那么必须删除 v 以破坏所有包含边 (u,v) 的环？不全面。
      更稳健的方法：任选一个顶点 v，分支：
      (1) v 在反馈集：删除 v。
      (2) v 不在反馈集：则对于每个包含 v 的环，必须删除该环中除 v 外的某个顶点。实现上，可考虑 v 的邻居集合，但为简单，我们回到基本搜索：在无归约规则可用时，选一个顶点 v 分支两种情况。
      但这样效率低。
      实际上，经典精确算法对无向图最小反馈顶点集采用“分支规则”：找图中一个度 ≥ 3 的顶点 v，分支 v 在解中或不在。当 v 不在解中时，由于 v 要保留且图要无环，则 v 的所有邻居中，必须删除一些顶点以破坏环，这又引出对邻居子集的分支。
      为简化讲解，我们采用一个已简化的分支定界流程：

步骤4：具体算法步骤
输入：无向图 G = (V, E)。
输出：最小反馈顶点集 S。
辅助：全局变量 best_size = |V|, best_set = V。

递归函数 branch_and_bound(G, S, size):

  1. 应用归约规则简化 G，更新 S 和 size。

  2. 如果 |S| ≥ best_size，剪枝返回。

  3. 如果 G 无环（是森林），则若 size < best_size，更新 best_size = size, best_set = S，返回。

  4. 否则，选择顶点 v，使得 v 的度数 ≥ 2 且在 G 中属于某个环（可通过检测连通分量和度判断）。

  5. 分支情况1：将 v 加入反馈集。
    G' = G 删除 v 及其关联边。
    branch_and_bound(G', S ∪ {v}, size + 1)。

  6. 分支情况2：v 不加入反馈集，则 v 必须保留，且要保证最终无环。由于 v 保留，任何包含 v 的环必须通过删除该环中除 v 外的至少一个顶点来破坏。一个实用技巧：当 v 不选时，我们可以暂时从 G 中删除 v，但标记 v 的邻居之间需要额外约束：因为 v 保留，实际上 v 是连接其邻居的路径，但为简化处理，我们可以将 v 删除，并将 v 的所有邻居两两之间加一条新边（形成团），因为通过 v 的这些邻居之间原本可能无直接边，但保留 v 时它们之间可通过 v 连通，在无环条件下，这些邻居之间不能形成新环。但更简单的方法：在 v 不加入反馈集时，我们可考虑 v 的邻居集合 N(v)，然后必须从 N(v) 中选至少一个顶点加入反馈集，以破坏所有包含 v 的环。但这样分支多。
    实际常用：在 v 不加入反馈集时，将 v 从图中移除，但将 v 的邻居两两连接新边（即添加边使 N(v) 成为团），因为 v 保留时，这些邻居之间通过 v 形成长度为2的路径，但添加团边是确保任何通过这些邻居的环在去掉 v 后仍能被检测。然后递归。但这样可能增加环，不直观。
    鉴于复杂性，许多精确算法采用不同思路（如迭代压缩）。为教学清晰，我们采用简单分支：
    分支情况2：v 不加入反馈集，则 v 必须保留，且我们要求最终图中无环，因此我们可以暂时保留 v，但后续遇到环时再处理。但这样不直接。
    另一种常见分支：选择一条边 (u,v)，分支：
    a. u 在反馈集（删除 u）
    b. u 不在反馈集，则 v 必须在反馈集（因为要破坏边 (u,v) 所在的环，且 u 保留，则必须删除 v）。
    但这不是普遍正确的，因为可能有其他环不含 v 但含 u。
    因此，我们回到经典分支规则（对无向图）：

    • 如果存在顶点 v 度数 ≥ 3，分支 v 在解或 v 不在解。
    • 当 v 不在解时，由于 v 度数 ≥ 3，则至少有三个邻居 a,b,c。保留 v 时，必须确保 a,b,c 之间不形成环（通过 v）。一种方法是将 v 删除，并将 a,b,c 两两连接新边，然后递归。但需记录反馈集大小不变。
    • 这等价于“折叠” v 到其邻居的边。

    由于详细推导较复杂，我们给出最终可实现的简化版算法步骤：

简化版分支定界步骤（基于度数和环的选择）：

  1. 归约图直到无法归约。

  2. 如果图无环，更新最优解。

  3. 否则，选择一个顶点 v 属于某个环。

  4. 分支1：v 在反馈集，删除 v，递归。

  5. 分支2：v 不在反馈集，则我们必须确保所有含 v 的环被破坏。为此，我们可以删除 v 的所有邻居？不对，那样代价大。更精确：因为 v 不在反馈集，则任何包含 v 的环必须包含 v 的两个邻居，且这两个邻居之间的路径不经过 v 也能成环。所以我们可以考虑将 v 的邻居两两连接新边（即添加边使 N(v) 成为团），然后删除 v，递归，且反馈集大小不变。这模拟了保留 v 时，v 的邻居之间若有边则形成环（需在邻居中选点删除）。但添加团边会增加环，使得后续必须删除邻居中的点。
    但此操作较复杂，因此许多实现采用更直接的方法：在 v 不在反馈集时，从图中删除 v，但增加下界，或强制在递归前预处理。

    鉴于教学目的，我们给出一个可工作的思路：
    实际精确算法常用“分支规则”：

    • 如果存在顶点 v 度数 ≤ 1，归约删除 v（规则1）。
    • 如果存在自环，将对应顶点加入反馈集（规则2）。
    • 如果存在重边，视为单边。
    • 如果存在顶点 v 度数 = 2，且邻居 u,w 之间无边，则折叠 v：删除 v，添加边 (u,w)，并记录如果 u 或 w 在反馈集中，则相当于 v 不在反馈集；如果 u 和 w 都不在反馈集，则 v 必须在反馈集。可通过权重调整实现。
    • 否则，选一个度数最大的顶点 v，分支：
      (1) v 在反馈集：删除 v，代价+1。
      (2) v 不在反馈集：则由于 v 度数 ≥ 3，可以折叠 v：删除 v，将 v 的所有邻居两两连接新边（若无边），然后递归，代价不变，但后续因新加的边可能导致环，从而必须选邻居中的点。

    此方法可保证找到最优解，但实现时需记录顶点权重或后处理反馈集。

步骤5：下界计算示例
为剪枝，需快速计算下界。一个简单下界：

  • 若图 G 有 n 个顶点，m 条边，则最小反馈顶点集大小 ≥ m - n + 1（因为森林最多 n-1 条边，需删除至少 m-(n-1) 条边才能无环，但删除一个顶点可能去掉多条边，此下界很弱）。
  • 更好下界：通过计算图的最大二部子图或最大无环子图的大小，但复杂。一个实用下界：找一组顶点不相交的环，其数量为 k，则下界 = k。可用贪心：重复找环并删除其所有顶点，计数。

步骤6：总结

  • 最小反馈顶点集问题的精确解可用分支定界法，核心是归约规则减少规模，下界剪枝，分支策略系统地搜索。
  • 实现时需仔细设计数据结构（图、删除/恢复操作）。
  • 该问题是 NP 难，算法适用于中小图（|V| ≤ 50）。
  • 扩展：有向图需考虑有向环，归约规则类似，但分支更复杂。

通过以上步骤，我们可逐步构建搜索树，剪枝大量分支，最终找到最小反馈顶点集。

寻找图中最小反馈顶点集（Minimum Feedback Vertex Set）问题的精确算法（分支定界法） 题目描述 给定一个 有向图 或 无向图 G = (V, E)，我们希望找到一个 最小反馈顶点集 ，即一个顶点集合 S ⊆ V，使得从图中删除 S 中的所有顶点后，剩下的子图是一个 有向无环图 （对于有向图）或 森林 （即无环图，对于无向图）。集合 S 的大小尽可能小。这是一个 NP 难问题。我们将通过 分支定界法 ，结合一些归约规则，来系统地搜索最优解。 解题过程 步骤1：理解问题与目标 在无向图中，反馈顶点集移除后剩下一个 森林 （无环图）。 在有向图中，反馈顶点集移除后剩下一个 有向无环图 （DAG）。 由于 NP 难，穷举所有顶点子集（2^n 种）不可行。分支定界法将搜索树剪枝，加速求解。 我们将以 无向图 为例讲解，但算法思想可扩展到有向图。 步骤2：核心思想与归约规则 分支定界法 = 系统搜索 + 下界（剪枝） + 归约规则（缩小图规模）。 归约规则可降低问题规模，无需分支： 度数为1的顶点 ：如果存在顶点 v 的度数 ≤ 1，则 v 不可能出现在任何环中，因此可以直接删除（不放入反馈集）。 自环顶点 ：如果有自环，则该顶点必须加入反馈集（因为自环本身就是环），直接将其加入解集并删除。 多重边 ：多重边在无向图中可视为单条边，不影响环结构，可合并。 度数为2的顶点折叠 （可选优化）：如果一个顶点 v 恰好有两个邻居 u 和 w，则可以删除 v 并将 u 和 w 用一条新边连接（如果 u-w 间无边）。此时任何包含 v 的环可转化为包含 u 和 w 的环，但反馈集大小计算需调整（v 是否在反馈集中会影响 u 或 w 的计数，需记录权重或后处理，这里为简化先不展开）。 支配点规则 ：如果顶点 u 的所有邻居也是顶点 v 的邻居（即 N(u) ⊆ N(v)），则优先考虑将 u 放入反馈集，因为去掉 u 可能比去掉 v 更优。实际中，可合并 u 到 v 的权重等。 步骤3：算法框架 初始化：当前反馈集 S_ curr = ∅，当前最优解 S_ best = V（上界 = |V|），当前图 G_ curr = 输入图。 反复应用归约规则简化 G_ curr，并更新 S_ curr 和 S_ best 的上界。 进入分支定界递归函数 search(G, S_ curr, size_ curr)： 下界计算 ：计算当前图 G 的反馈顶点集大小的一个下界，例如： a. 图 G 中环覆盖下界：通过最大匹配或线性规划松弛计算，但为简单实现，可用“图的最小度数”启发：反馈集至少包含 (|E| - |V| + 1) 个顶点？不精确。一个简单下界是：如果 G 中存在 k 个顶点不相交的环，则反馈集至少需要 k 个顶点（每个环至少去掉一个顶点）。找顶点不相交的环可通过贪心或最大匹配在二部图中找。 b. 实践中，可用“图的最小反馈顶点集大小的线性规划松弛下界”或“最小顶点覆盖在二部图中的近似”快速估算。 如果 size_ curr + 下界 ≥ |S_ best|，剪枝（不可能得到更优解）。 如果 G 无环，则找到一个可行解，若 size_ curr < |S_ best|，则更新 S_ best。 否则， 选择分支顶点 v ：通常选度数最大的顶点，因为去掉它可以破坏更多环。 分支两种情况： (1) 将 v 加入反馈集：从 G 中删除 v（及相连边），size_ curr + 1，递归。 (2) 不将 v 加入反馈集：则 v 必须留在无环图中，那么所有与 v 成环的邻居需处理？实际上，当我们决定 v 不在反馈集时，我们不能简单地保留 v，而需确保删除其他顶点以破坏环。更标准的做法是： 情况2：v 不在反馈集，则 v 必须保留，此时任何包含 v 的环必须通过删除 v 的某个邻居来破坏。因此，我们可以考虑将 v 的所有邻居加入候选，但这样分支太多。更好的办法是： 选择一个包含 v 的环 ，然后对这个环的所有顶点（除 v 外）进行分支，即至少选其中一个加入反馈集。但实现复杂。 简化策略：只分支“选 v”或“不选 v”，当不选 v 时，从图中暂时删除 v 但记录 v 必须保留，然后在后续处理中，如果形成环则通过其他方式打破。标准精确算法常用“迭代压缩”或“分支：选 v 或不选 v，不选 v 时，标记 v 为必须保留，并压缩环”。但为清晰，我们采用基本分支：选 v 或不选 v 时，在图中保留 v 但标记，然后后续再处理环。 实际常用更简单的分支规则： 任选一条边 (u,v)，分支两种情况 ： a. u 在反馈集：删除 u，递归。 b. u 不在反馈集：则 u 保留，那么必须删除 v 以破坏所有包含边 (u,v) 的环？不全面。 更稳健的方法：任选一个顶点 v，分支： (1) v 在反馈集：删除 v。 (2) v 不在反馈集：则对于每个包含 v 的环，必须删除该环中除 v 外的某个顶点。实现上，可考虑 v 的邻居集合，但为简单，我们回到基本搜索：在无归约规则可用时，选一个顶点 v 分支两种情况。 但这样效率低。 实际上，经典精确算法对无向图最小反馈顶点集采用“分支规则”：找图中一个度 ≥ 3 的顶点 v，分支 v 在解中或不在。当 v 不在解中时，由于 v 要保留且图要无环，则 v 的所有邻居中，必须删除一些顶点以破坏环，这又引出对邻居子集的分支。 为简化讲解，我们采用一个已简化的分支定界流程： 步骤4：具体算法步骤 输入：无向图 G = (V, E)。 输出：最小反馈顶点集 S。 辅助：全局变量 best_ size = |V|, best_ set = V。 递归函数 branch_ and_ bound(G, S, size): 应用归约规则简化 G，更新 S 和 size。 如果 |S| ≥ best_ size，剪枝返回。 如果 G 无环（是森林），则若 size < best_ size，更新 best_ size = size, best_ set = S，返回。 否则，选择顶点 v，使得 v 的度数 ≥ 2 且在 G 中属于某个环（可通过检测连通分量和度判断）。 分支情况1：将 v 加入反馈集。 G' = G 删除 v 及其关联边。 branch_ and_ bound(G', S ∪ {v}, size + 1)。 分支情况2：v 不加入反馈集，则 v 必须保留，且要保证最终无环。由于 v 保留，任何包含 v 的环必须通过删除该环中除 v 外的至少一个顶点来破坏。一个实用技巧：当 v 不选时，我们可以 暂时 从 G 中删除 v，但标记 v 的邻居之间需要额外约束：因为 v 保留，实际上 v 是连接其邻居的路径，但为简化处理，我们可以将 v 删除，并将 v 的所有邻居两两之间加一条新边（形成团），因为通过 v 的这些邻居之间原本可能无直接边，但保留 v 时它们之间可通过 v 连通，在无环条件下，这些邻居之间不能形成新环。但更简单的方法：在 v 不加入反馈集时，我们可考虑 v 的邻居集合 N(v)，然后必须从 N(v) 中选至少一个顶点加入反馈集，以破坏所有包含 v 的环。但这样分支多。 实际常用：在 v 不加入反馈集时，将 v 从图中移除，但 将 v 的邻居两两连接新边 （即添加边使 N(v) 成为团），因为 v 保留时，这些邻居之间通过 v 形成长度为2的路径，但添加团边是确保任何通过这些邻居的环在去掉 v 后仍能被检测。然后递归。但这样可能增加环，不直观。 鉴于复杂性，许多精确算法采用不同思路（如迭代压缩）。为教学清晰，我们采用简单分支： 分支情况2：v 不加入反馈集，则 v 必须保留，且我们要求最终图中无环，因此我们可以 暂时 保留 v，但后续遇到环时再处理。但这样不直接。 另一种常见分支：选择一条边 (u,v)，分支： a. u 在反馈集（删除 u） b. u 不在反馈集，则 v 必须在反馈集（因为要破坏边 (u,v) 所在的环，且 u 保留，则必须删除 v）。 但这不是普遍正确的，因为可能有其他环不含 v 但含 u。 因此，我们回到经典分支规则（对无向图）： 如果存在顶点 v 度数 ≥ 3，分支 v 在解或 v 不在解。 当 v 不在解时，由于 v 度数 ≥ 3，则至少有三个邻居 a,b,c。保留 v 时，必须确保 a,b,c 之间不形成环（通过 v）。一种方法是将 v 删除，并将 a,b,c 两两连接新边，然后递归。但需记录反馈集大小不变。 这等价于“折叠” v 到其邻居的边。 由于详细推导较复杂，我们给出最终可实现的简化版算法步骤： 简化版分支定界步骤 （基于度数和环的选择）： 归约图直到无法归约。 如果图无环，更新最优解。 否则，选择一个顶点 v 属于某个环。 分支1：v 在反馈集，删除 v，递归。 分支2：v 不在反馈集，则我们必须确保所有含 v 的环被破坏。为此，我们可以 删除 v 的所有邻居 ？不对，那样代价大。更精确：因为 v 不在反馈集，则任何包含 v 的环必须包含 v 的两个邻居，且这两个邻居之间的路径不经过 v 也能成环。所以我们可以考虑将 v 的邻居两两连接新边（即添加边使 N(v) 成为团），然后删除 v，递归，且反馈集大小不变。这模拟了保留 v 时，v 的邻居之间若有边则形成环（需在邻居中选点删除）。但添加团边会增加环，使得后续必须删除邻居中的点。 但此操作较复杂，因此许多实现采用更直接的方法：在 v 不在反馈集时，从图中删除 v，但 增加下界 ，或强制在递归前预处理。 鉴于教学目的，我们给出一个可工作的思路： 实际精确算法常用“分支规则”： 如果存在顶点 v 度数 ≤ 1，归约删除 v（规则1）。 如果存在自环，将对应顶点加入反馈集（规则2）。 如果存在重边，视为单边。 如果存在顶点 v 度数 = 2，且邻居 u,w 之间无边，则折叠 v：删除 v，添加边 (u,w)，并记录如果 u 或 w 在反馈集中，则相当于 v 不在反馈集；如果 u 和 w 都不在反馈集，则 v 必须在反馈集。可通过权重调整实现。 否则，选一个度数最大的顶点 v，分支： (1) v 在反馈集：删除 v，代价+1。 (2) v 不在反馈集：则由于 v 度数 ≥ 3，可以折叠 v：删除 v，将 v 的所有邻居两两连接新边（若无边），然后递归，代价不变，但后续因新加的边可能导致环，从而必须选邻居中的点。 此方法可保证找到最优解，但实现时需记录顶点权重或后处理反馈集。 步骤5：下界计算示例 为剪枝，需快速计算下界。一个简单下界： 若图 G 有 n 个顶点，m 条边，则最小反馈顶点集大小 ≥ m - n + 1（因为森林最多 n-1 条边，需删除至少 m-(n-1) 条边才能无环，但删除一个顶点可能去掉多条边，此下界很弱）。 更好下界：通过计算图的最大二部子图或最大无环子图的大小，但复杂。一个实用下界：找一组顶点不相交的环，其数量为 k，则下界 = k。可用贪心：重复找环并删除其所有顶点，计数。 步骤6：总结 最小反馈顶点集问题的精确解可用分支定界法，核心是归约规则减少规模，下界剪枝，分支策略系统地搜索。 实现时需仔细设计数据结构（图、删除/恢复操作）。 该问题是 NP 难，算法适用于中小图（|V| ≤ 50）。 扩展：有向图需考虑有向环，归约规则类似，但分支更复杂。 通过以上步骤，我们可逐步构建搜索树，剪枝大量分支，最终找到最小反馈顶点集。