分块矩阵的Kronecker积求解Sylvester方程的Bartels-Stewart变体
字数 3862 2025-12-13 20:46:35

分块矩阵的Kronecker积求解Sylvester方程的Bartels-Stewart变体

题目描述

我们考虑求解 Sylvester 方程：

\[A X + X B = C \]

其中 \(A \in \mathbb{R}^{m \times m}\)、\(B \in \mathbb{R}^{n \times n}\) 是已知矩阵，\(C \in \mathbb{R}^{m \times n}\) 是已知右端项，\(X \in \mathbb{R}^{m \times n}\) 是未知矩阵。
当矩阵规模很大时，直接向量化后用 Kronecker 积求解（即 \((I_n \otimes A + B^T \otimes I_m) \operatorname{vec}(X) = \operatorname{vec}(C)\)）计算量过大。本题讲解一种基于矩阵分块和 Kronecker 积思想的 Bartels-Stewart 变体，利用 \(A\) 和 \(B\) 的实 Schur 分解，将原方程转化为一系列易于求解的小规模线性方程组，从而高效求解 \(X\)。

解题过程

步骤 1：将 Sylvester 方程转换为上三角形式

我们希望将 \(A\) 和 \(B\) 同时化为上三角矩阵（或实 Schur 形式），从而简化方程。

  1. 对 \(A\) 和 \(B\) 进行实 Schur 分解
    存在正交矩阵 \(Q_A\) 和 \(Q_B\) 使得：

\[ Q_A^T A Q_A = T_A, \quad Q_B^T B Q_B = T_B \]

其中 \(T_A\) 和 \(T_B\) 是上三角矩阵（若 \(A, B\) 为实矩阵，则 \(T_A, T_B\) 为拟上三角矩阵，即实 Schur 形式。为简化，这里先假定为上三角）。

  1. 代入原方程并变换
    设 \(Y = Q_A^T X Q_B\)，\(D = Q_A^T C Q_B\)。
    代入 \(A X + X B = C\) 得：

\[ (Q_A T_A Q_A^T) X + X (Q_B T_B Q_B^T) = C \]

左乘 \(Q_A^T\)，右乘 \(Q_B\)：

\[ T_A (Q_A^T X Q_B) + (Q_A^T X Q_B) T_B = Q_A^T C Q_B \]

即：

\[ T_A Y + Y T_B = D \]

这样，原方程转化为关于 \(Y\) 的 Sylvester 方程，其中系数矩阵 \(T_A\) 和 \(T_B\) 都是上三角矩阵。

步骤 2：利用上三角结构分块求解

因为 \(T_A\) 和 \(T_B\) 是上三角矩阵，我们可以将方程按块展开求解。

  1. 分块表示
    将 \(T_A\)、\(T_B\)、\(Y\)、\(D\) 分块。设 \(T_A\) 是 \(m \times m\) 的，分块为：

\[ T_A = \begin{bmatrix} T_{A,11} & T_{A,12} \\ 0 & T_{A,22} \end{bmatrix} \]

其中 \(T_{A,11}\) 是 \(1 \times 1\) 或 \(2 \times 2\) 块（对应实 Schur 分解中的实数特征值或共轭复特征值对）。类似地，对 \(T_B\) 作分块。
为简单起见，先考虑 \(T_A\) 和 \(T_B\) 都是标量上三角矩阵的情况，然后推广到块上三角。

  1. 逐列（或逐块）求解
    将 \(Y\) 和 \(D\) 按列分块：\(Y = [y_1, y_2, \dots, y_n]\)，\(D = [d_1, d_2, \dots, d_n]\)。
    方程 \(T_A Y + Y T_B = D\) 的第 \(j\) 列为：

\[ T_A y_j + \sum_{k=1}^n y_k (T_B)_{kj} = d_j \]

由于 \(T_B\) 是上三角矩阵，当 \(k > j\) 时 \((T_B)_{kj} = 0\)。因此：

\[ T_A y_j + \sum_{k=1}^{j} y_k (T_B)_{kj} = d_j \]

整理得：

\[ (T_A + (T_B)_{jj} I) y_j = d_j - \sum_{k=1}^{j-1} (T_B)_{kj} y_k \]

这表明我们可以按 \(j = 1, 2, \dots, n\) 的顺序求解 \(y_j\)，每一步只需解一个以 \(T_A + (T_B)_{jj} I\) 为系数矩阵的线性方程组，且右端项依赖于已求出的 \(y_1, \dots, y_{j-1}\)。

步骤 3：推广到块上三角情况

当 \(T_A\) 和 \(T_B\) 是块上三角矩阵时（每个对角块是 \(1 \times 1\) 或 \(2 \times 2\)），上述过程可推广为按块求解。

  1. 分块
    设 \(T_A\) 有 \(p\) 个对角块，\(T_B\) 有 \(q\) 个对角块。将 \(Y\) 和 \(D\) 按这些行块、列块分块：

\[ Y = \begin{bmatrix} Y_{11} & \cdots & Y_{1q} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ Y_{p1} & \cdots & Y_{pq} \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} D_{11} & \cdots & D_{1q} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ D_{p1} & \cdots & D_{pq} \end{bmatrix} \]

  1. 块方程
    方程 \(T_A Y + Y T_B = D\) 的第 \((i,j)\) 块满足：

\[ T_{A,ii} Y_{ij} + \sum_{k=1}^{i-1} T_{A,ik} Y_{kj} + Y_{ij} T_{B,jj} + \sum_{l=1}^{j-1} Y_{il} T_{B,lj} = D_{ij} \]

由于 \(T_A\) 和 \(T_B\) 是块上三角，当 \(k > i\) 时 \(T_{A,ik} = 0\)，当 \(l > j\) 时 \(T_{B,lj} = 0\)。整理得：

\[ T_{A,ii} Y_{ij} + Y_{ij} T_{B,jj} = D_{ij} - \sum_{k=1}^{i-1} T_{A,ik} Y_{kj} - \sum_{l=1}^{j-1} Y_{il} T_{B,lj} \]

  1. 逐块求解
    我们可以按“从左到右、从上到下”的顺序求解 \(Y_{ij}\)（即先按列 \(j=1,\dots,q\)，在每列内按行 \(i=1,\dots,p\) 求解）。每一步需要解一个小的 Sylvester 方程：

\[ T_{A,ii} Y_{ij} + Y_{ij} T_{B,jj} = R_{ij} \]

其中右端项 \(R_{ij}\) 由已知块计算得到。由于 \(T_{A,ii}\) 和 \(T_{B,jj}\) 最多是 \(2 \times 2\) 矩阵，这个小 Sylvester 方程可用直接法（如 Bartels-Stewart 算法对小块再应用，或直接向量化求解）高效解出。

步骤 4：恢复原解

求得 \(Y\) 后，通过逆变换得到 \(X\)：

\[X = Q_A Y Q_B^T \]

因为 \(Q_A\) 和 \(Q_B\) 是正交矩阵，此变换稳定且易行。

关键点总结

  • 该算法首先通过实 Schur 分解将 \(A\) 和 \(B\) 化为上三角（或拟上三角）形式，从而将原方程化为块上三角结构。
  • 然后按块顺序求解，每一步只需解一个小规模的 Sylvester 方程（对角块最多 \(2 \times 2\)）。
  • 该方法避免了直接使用 Kronecker 积向量化（那样会得到 \(mn \times mn\) 的大系统），将计算量从 \(O(m^3 n^3)\) 降低到 \(O(m^3 + n^3 + m n \cdot \max(m, n))\) 级别。
  • 此变体本质上是 Bartels-Stewart 算法的分块 Kronecer 积视角，特别适合大规模问题且可并行化小块求解。

总结：我们通过矩阵分块和 Kronecker 积的思想，结合实 Schur 分解，将 Sylvester 方程转化为块上三角系统，再逐块求解，既保持了数值稳定性，又显著提升了大规模问题的求解效率。

分块矩阵的Kronecker积求解Sylvester方程的Bartels-Stewart变体 题目描述 我们考虑求解 Sylvester 方程： \[ A X + X B = C \] 其中 \( A \in \mathbb{R}^{m \times m} \)、\( B \in \mathbb{R}^{n \times n} \) 是已知矩阵，\( C \in \mathbb{R}^{m \times n} \) 是已知右端项，\( X \in \mathbb{R}^{m \times n} \) 是未知矩阵。 当矩阵规模很大时，直接向量化后用 Kronecker 积求解（即 \((I_ n \otimes A + B^T \otimes I_ m) \operatorname{vec}(X) = \operatorname{vec}(C)\)）计算量过大。本题讲解一种基于矩阵分块和 Kronecker 积思想的 Bartels-Stewart 变体，利用 \( A \) 和 \( B \) 的实 Schur 分解，将原方程转化为一系列易于求解的小规模线性方程组，从而高效求解 \( X \)。 解题过程 步骤 1：将 Sylvester 方程转换为上三角形式 我们希望将 \( A \) 和 \( B \) 同时化为上三角矩阵（或实 Schur 形式），从而简化方程。 对 \( A \) 和 \( B \) 进行实 Schur 分解 存在正交矩阵 \( Q_ A \) 和 \( Q_ B \) 使得： \[ Q_ A^T A Q_ A = T_ A, \quad Q_ B^T B Q_ B = T_ B \] 其中 \( T_ A \) 和 \( T_ B \) 是上三角矩阵（若 \( A, B \) 为实矩阵，则 \( T_ A, T_ B \) 为拟上三角矩阵，即实 Schur 形式。为简化，这里先假定为上三角）。 代入原方程并变换 设 \( Y = Q_ A^T X Q_ B \)，\( D = Q_ A^T C Q_ B \)。 代入 \( A X + X B = C \) 得： \[ (Q_ A T_ A Q_ A^T) X + X (Q_ B T_ B Q_ B^T) = C \] 左乘 \( Q_ A^T \)，右乘 \( Q_ B \)： \[ T_ A (Q_ A^T X Q_ B) + (Q_ A^T X Q_ B) T_ B = Q_ A^T C Q_ B \] 即： \[ T_ A Y + Y T_ B = D \] 这样，原方程转化为关于 \( Y \) 的 Sylvester 方程，其中系数矩阵 \( T_ A \) 和 \( T_ B \) 都是上三角矩阵。 步骤 2：利用上三角结构分块求解 因为 \( T_ A \) 和 \( T_ B \) 是上三角矩阵，我们可以将方程按块展开求解。 分块表示 将 \( T_ A \)、\( T_ B \)、\( Y \)、\( D \) 分块。设 \( T_ A \) 是 \( m \times m \) 的，分块为： \[ T_ A = \begin{bmatrix} T_ {A,11} & T_ {A,12} \\ 0 & T_ {A,22} \end{bmatrix} \] 其中 \( T_ {A,11} \) 是 \( 1 \times 1 \) 或 \( 2 \times 2 \) 块（对应实 Schur 分解中的实数特征值或共轭复特征值对）。类似地，对 \( T_ B \) 作分块。 为简单起见，先考虑 \( T_ A \) 和 \( T_ B \) 都是标量上三角矩阵的情况，然后推广到块上三角。 逐列（或逐块）求解 将 \( Y \) 和 \( D \) 按列分块：\( Y = [ y_ 1, y_ 2, \dots, y_ n] \)，\( D = [ d_ 1, d_ 2, \dots, d_ n ] \)。 方程 \( T_ A Y + Y T_ B = D \) 的第 \( j \) 列为： \[ T_ A y_ j + \sum_ {k=1}^n y_ k (T_ B) {kj} = d_ j \] 由于 \( T_ B \) 是上三角矩阵，当 \( k > j \) 时 \( (T_ B) {kj} = 0 \)。因此： \[ T_ A y_ j + \sum_ {k=1}^{j} y_ k (T_ B) {kj} = d_ j \] 整理得： \[ (T_ A + (T_ B) {jj} I) y_ j = d_ j - \sum_ {k=1}^{j-1} (T_ B) {kj} y_ k \] 这表明我们可以按 \( j = 1, 2, \dots, n \) 的顺序求解 \( y_ j \)，每一步只需解一个以 \( T_ A + (T_ B) {jj} I \) 为系数矩阵的线性方程组，且右端项依赖于已求出的 \( y_ 1, \dots, y_ {j-1} \)。 步骤 3：推广到块上三角情况 当 \( T_ A \) 和 \( T_ B \) 是块上三角矩阵时（每个对角块是 \( 1 \times 1 \) 或 \( 2 \times 2 \)），上述过程可推广为按块求解。 分块 设 \( T_ A \) 有 \( p \) 个对角块，\( T_ B \) 有 \( q \) 个对角块。将 \( Y \) 和 \( D \) 按这些行块、列块分块： \[ Y = \begin{bmatrix} Y_ {11} & \cdots & Y_ {1q} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ Y_ {p1} & \cdots & Y_ {pq} \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} D_ {11} & \cdots & D_ {1q} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ D_ {p1} & \cdots & D_ {pq} \end{bmatrix} \] 块方程 方程 \( T_ A Y + Y T_ B = D \) 的第 \( (i,j) \) 块满足： \[ T_ {A,ii} Y_ {ij} + \sum_ {k=1}^{i-1} T_ {A,ik} Y_ {kj} + Y_ {ij} T_ {B,jj} + \sum_ {l=1}^{j-1} Y_ {il} T_ {B,lj} = D_ {ij} \] 由于 \( T_ A \) 和 \( T_ B \) 是块上三角，当 \( k > i \) 时 \( T_ {A,ik} = 0 \)，当 \( l > j \) 时 \( T_ {B,lj} = 0 \)。整理得： \[ T_ {A,ii} Y_ {ij} + Y_ {ij} T_ {B,jj} = D_ {ij} - \sum_ {k=1}^{i-1} T_ {A,ik} Y_ {kj} - \sum_ {l=1}^{j-1} Y_ {il} T_ {B,lj} \] 逐块求解 我们可以按“从左到右、从上到下”的顺序求解 \( Y_ {ij} \)（即先按列 \( j=1,\dots,q \)，在每列内按行 \( i=1,\dots,p \) 求解）。每一步需要解一个小的 Sylvester 方程： \[ T_ {A,ii} Y_ {ij} + Y_ {ij} T_ {B,jj} = R_ {ij} \] 其中右端项 \( R_ {ij} \) 由已知块计算得到。由于 \( T_ {A,ii} \) 和 \( T_ {B,jj} \) 最多是 \( 2 \times 2 \) 矩阵，这个小 Sylvester 方程可用直接法（如 Bartels-Stewart 算法对小块再应用，或直接向量化求解）高效解出。 步骤 4：恢复原解 求得 \( Y \) 后，通过逆变换得到 \( X \)： \[ X = Q_ A Y Q_ B^T \] 因为 \( Q_ A \) 和 \( Q_ B \) 是正交矩阵，此变换稳定且易行。 关键点总结 该算法首先通过实 Schur 分解将 \( A \) 和 \( B \) 化为上三角（或拟上三角）形式，从而将原方程化为块上三角结构。 然后按块顺序求解，每一步只需解一个小规模的 Sylvester 方程（对角块最多 \( 2 \times 2 \)）。 该方法避免了直接使用 Kronecker 积向量化（那样会得到 \( mn \times mn \) 的大系统），将计算量从 \( O(m^3 n^3) \) 降低到 \( O(m^3 + n^3 + m n \cdot \max(m, n)) \) 级别。 此变体本质上是 Bartels-Stewart 算法的分块 Kronecer 积视角，特别适合大规模问题且可并行化小块求解。 总结 ：我们通过矩阵分块和 Kronecker 积的思想，结合实 Schur 分解，将 Sylvester 方程转化为块上三角系统，再逐块求解，既保持了数值稳定性，又显著提升了大规模问题的求解效率。