基于线性规划的图最大流问题的连续最短路增广算法求解示例
字数 2788 2025-12-13 20:12:38

基于线性规划的图最大流问题的连续最短路增广算法求解示例

我将为您讲解一个基于线性规划的连续最短路增广算法（Successive Shortest Path Algorithm）来求解最大流问题的示例。这个算法是求解最大流问题的高效方法之一，特别适合处理带权图。

一、问题描述

考虑一个有向图 \(G = (V, E)\)，其中：

  • \(V\) 是顶点集合
  • \(E\) 是边集合
  • 每条边 \((u,v) \in E\) 有一个容量 \(c(u,v) \geq 0\)
  • 有两个特殊顶点：源点 \(s\) 和汇点 \(t\)

目标：找到从 \(s\) 到 \(t\) 的最大流量，使得：

  1. 每条边上的流量不超过其容量
  2. 除 \(s\) 和 \(t\) 外，每个顶点的流入流量等于流出流量（流量守恒）

二、算法思路

连续最短路增广算法（SSPA）的核心思想是：

  1. 从零流开始
  2. 在残差网络中反复寻找从 \(s\) 到 \(t\) 的最短路径（按边数最少）
  3. 沿最短路径推送尽可能多的流量
  4. 更新残差网络
  5. 重复直到 \(s\) 到 \(t\) 不再连通

三、具体求解步骤

步骤1：构建初始残差网络

给定一个有向图：

  • 顶点：\(V = \{s, a, b, c, d, t\}\)
  • 边及容量：
    \((s,a): 10, (s,b): 10\)
    \((a,b): 4, (a,c): 8, (a,d): 2\)
    \((b,d): 9\)
    \((c,t): 10\)
    \((d,c): 6, (d,t): 10\)

构建残差网络 \(G_f\)：

  • 对每条边 \((u,v)\) 添加两条边：
    • 前向边：容量 = \(c(u,v) - f(u,v)\)
    • 反向边：容量 = \(f(u,v)\)
  • 初始时所有流量为0，所以：
    • 前向边容量 = 原始容量
    • 反向边容量 = 0

步骤2：第一轮增广

  1. 在残差网络中找到最短路径 \(s \to a \to c \to t\)

    • 路径长度：3条边
    • 瓶颈容量：min(10, 8, 10) = 8

  2. 推送8单位流量

  3. 更新残差网络：

    • 边 \((s,a)\)：前向容量减少8，反向容量增加8
    • 边 \((a,c)\)：前向容量减少8，反向容量增加8
    • 边 \((c,t)\)：前向容量减少8，反向容量增加8

当前总流量：8

步骤3：第二轮增广

  1. 在更新后的残差网络中找最短路径：\(s \to a \to d \to t\)

    • 路径长度：3条边
    • 瓶颈容量：min(2, 2, 10) = 2
      • \((s,a)\) 剩余容量：2
      • \((a,d)\) 容量：2
      • \((d,t)\) 容量：10

  2. 推送2单位流量

  3. 更新残差网络：

    • \((s,a)\) 前向容量变为0，反向容量变为10
    • \((a,d)\) 前向容量变为0，反向容量变为2
    • \((d,t)\) 前向容量变为8，反向容量变为2

当前总流量：10

步骤4：第三轮增广

  1. 在更新后的残差网络中找最短路径：\(s \to b \to d \to t\)

    • 注意：\(s \to a\) 已满，需走其他路径
    • 路径：\(s \to b \to d \to t\)
    • 瓶颈容量：min(10, 9, 8) = 8

  2. 推送8单位流量

  3. 更新残差网络：

    • \((s,b)\) 前向容量变为2，反向容量变为8
    • \((b,d)\) 前向容量变为1，反向容量变为8
    • \((d,t)\) 前向容量变为0，反向容量变为10

当前总流量：18

步骤5：第四轮增广

  1. 在更新后的残差网络中找最短路径：\(s \to b \to d \to c \to t\)

    • 这是新的最短路径（4条边）
    • 瓶颈容量：min(2, 1, 6, 2) = 1
      • \((s,b)\) 剩余容量：2
      • \((b,d)\) 剩余容量：1
      • \((d,c)\) 容量：6
      • \((c,t)\) 剩余容量：2

  2. 推送1单位流量

  3. 更新残差网络：

    • \((s,b)\) 前向容量变为1，反向容量变为9
    • \((b,d)\) 前向容量变为0，反向容量变为9
    • \((d,c)\) 前向容量变为5，反向容量变为1
    • \((c,t)\) 前向容量变为1，反向容量变为9

当前总流量：19

步骤6：终止条件检查

此时，在残差网络中从 \(s\) 到 \(t\) 是否还有路径？
检查所有可能路径：

  • \(s \to a\) 已满（前向容量0）
  • \(s \to b\) 有容量1，但：
    • \(b \to d\) 已满
    • 没有其他从 \(b\) 出发的边
  • 因此 \(s\) 无法到达 \(t\)

算法终止。

四、算法正确性分析

  1. 终止性：每次增广至少饱和一条边（前向容量变为0）。最多进行 \(|E|\) 次增广。

  2. 最优性：当残差网络中 \(s\) 到 \(t\) 不连通时，当前流是最大流。这由最大流最小割定理保证：

    • 找到最小割 \((S, T)\)，其中 \(S\) 包含所有从 \(s\) 可达的顶点
    • 割的容量等于当前流量

  3. 时间复杂度：

    • 每次寻找最短路径：\(O(|E|)\)（BFS）
    • 最多增广次数：\(O(|V| \cdot |E|)\)
    • 总复杂度：\(O(|V| \cdot |E|^2)\)

五、结果验证

最终流分布：

  • \(s \to a \to c \to t\): 8
  • \(s \to a \to d \to t\): 2
  • \(s \to b \to d \to t\): 8
  • \(s \to b \to d \to c \to t\): 1
    总流量：19

验证流量守恒：

  • 顶点 \(a\)：流入10，流出10
  • 顶点 \(b\)：流入10，流出10
  • 顶点 \(c\)：流入1，流出9
  • 顶点 \(d\)：流入10，流出10

所有边流量未超过容量限制。

六、与线性规划的关系

最大流问题可以表述为线性规划：
最大化：\(\sum_{v:(s,v)\in E} f(s,v)\)
约束：

  1. 容量约束：\(0 \leq f(u,v) \leq c(u,v)\)
  2. 流量守恒：\(\sum_{w:(w,u)\in E} f(w,u) = \sum_{v:(u,v)\in E} f(u,v)\)，对 \(u \neq s,t\)

SSPA算法实际上是在求解这个线性规划问题，它属于原始-对偶算法的一种，每次增广相当于沿着对偶问题的可行方向移动。

这个算法展示了如何将图论问题转化为线性规划问题，并通过组合优化技术高效求解。

基于线性规划的图最大流问题的连续最短路增广算法求解示例 我将为您讲解一个基于线性规划的连续最短路增广算法（Successive Shortest Path Algorithm）来求解最大流问题的示例。这个算法是求解最大流问题的高效方法之一，特别适合处理带权图。 一、问题描述 考虑一个有向图 \( G = (V, E) \)，其中： \( V \) 是顶点集合 \( E \) 是边集合 每条边 \( (u,v) \in E \) 有一个容量 \( c(u,v) \geq 0 \) 有两个特殊顶点：源点 \( s \) 和汇点 \( t \) 目标：找到从 \( s \) 到 \( t \) 的最大流量，使得： 每条边上的流量不超过其容量 除 \( s \) 和 \( t \) 外，每个顶点的流入流量等于流出流量（流量守恒） 二、算法思路 连续最短路增广算法（SSPA）的核心思想是： 从零流开始 在残差网络中反复寻找从 \( s \) 到 \( t \) 的最短路径（按边数最少） 沿最短路径推送尽可能多的流量 更新残差网络 重复直到 \( s \) 到 \( t \) 不再连通 三、具体求解步骤 步骤1：构建初始残差网络 给定一个有向图： 顶点：\( V = \{s, a, b, c, d, t\} \) 边及容量： \( (s,a): 10, (s,b): 10 \) \( (a,b): 4, (a,c): 8, (a,d): 2 \) \( (b,d): 9 \) \( (c,t): 10 \) \( (d,c): 6, (d,t): 10 \) 构建残差网络 \( G_ f \)： 对每条边 \( (u,v) \) 添加两条边： 前向边：容量 = \( c(u,v) - f(u,v) \) 反向边：容量 = \( f(u,v) \) 初始时所有流量为0，所以： 前向边容量 = 原始容量 反向边容量 = 0 步骤2：第一轮增广 在残差网络中找到最短路径 \( s \to a \to c \to t \) 路径长度：3条边 瓶颈容量：min(10, 8, 10) = 8 推送8单位流量 更新残差网络： 边 \( (s,a) \)：前向容量减少8，反向容量增加8 边 \( (a,c) \)：前向容量减少8，反向容量增加8 边 \( (c,t) \)：前向容量减少8，反向容量增加8 当前总流量：8 步骤3：第二轮增广 在更新后的残差网络中找最短路径：\( s \to a \to d \to t \) 路径长度：3条边 瓶颈容量：min(2, 2, 10) = 2 \( (s,a) \) 剩余容量：2 \( (a,d) \) 容量：2 \( (d,t) \) 容量：10 推送2单位流量 更新残差网络： \( (s,a) \) 前向容量变为0，反向容量变为10 \( (a,d) \) 前向容量变为0，反向容量变为2 \( (d,t) \) 前向容量变为8，反向容量变为2 当前总流量：10 步骤4：第三轮增广 在更新后的残差网络中找最短路径：\( s \to b \to d \to t \) 注意：\( s \to a \) 已满，需走其他路径 路径：\( s \to b \to d \to t \) 瓶颈容量：min(10, 9, 8) = 8 推送8单位流量 更新残差网络： \( (s,b) \) 前向容量变为2，反向容量变为8 \( (b,d) \) 前向容量变为1，反向容量变为8 \( (d,t) \) 前向容量变为0，反向容量变为10 当前总流量：18 步骤5：第四轮增广 在更新后的残差网络中找最短路径：\( s \to b \to d \to c \to t \) 这是新的最短路径（4条边） 瓶颈容量：min(2, 1, 6, 2) = 1 \( (s,b) \) 剩余容量：2 \( (b,d) \) 剩余容量：1 \( (d,c) \) 容量：6 \( (c,t) \) 剩余容量：2 推送1单位流量 更新残差网络： \( (s,b) \) 前向容量变为1，反向容量变为9 \( (b,d) \) 前向容量变为0，反向容量变为9 \( (d,c) \) 前向容量变为5，反向容量变为1 \( (c,t) \) 前向容量变为1，反向容量变为9 当前总流量：19 步骤6：终止条件检查 此时，在残差网络中从 \( s \) 到 \( t \) 是否还有路径？ 检查所有可能路径： \( s \to a \) 已满（前向容量0） \( s \to b \) 有容量1，但： \( b \to d \) 已满 没有其他从 \( b \) 出发的边 因此 \( s \) 无法到达 \( t \) 算法终止。 四、算法正确性分析 终止性 ：每次增广至少饱和一条边（前向容量变为0）。最多进行 \( |E| \) 次增广。 最优性 ：当残差网络中 \( s \) 到 \( t \) 不连通时，当前流是最大流。这由最大流最小割定理保证： 找到最小割 \( (S, T) \)，其中 \( S \) 包含所有从 \( s \) 可达的顶点 割的容量等于当前流量 时间复杂度 ： 每次寻找最短路径：\( O(|E|) \)（BFS） 最多增广次数：\( O(|V| \cdot |E|) \) 总复杂度：\( O(|V| \cdot |E|^2) \) 五、结果验证 最终流分布： \( s \to a \to c \to t \): 8 \( s \to a \to d \to t \): 2 \( s \to b \to d \to t \): 8 \( s \to b \to d \to c \to t \): 1 总流量：19 验证流量守恒： 顶点 \( a \)：流入10，流出10 顶点 \( b \)：流入10，流出10 顶点 \( c \)：流入1，流出9 顶点 \( d \)：流入10，流出10 所有边流量未超过容量限制。 六、与线性规划的关系 最大流问题可以表述为线性规划： 最大化：\( \sum_ {v:(s,v)\in E} f(s,v) \) 约束： 容量约束：\( 0 \leq f(u,v) \leq c(u,v) \) 流量守恒：\( \sum_ {w:(w,u)\in E} f(w,u) = \sum_ {v:(u,v)\in E} f(u,v) \)，对 \( u \neq s,t \) SSPA算法实际上是在求解这个线性规划问题，它属于原始-对偶算法的一种，每次增广相当于沿着对偶问题的可行方向移动。 这个算法展示了如何将图论问题转化为线性规划问题，并通过组合优化技术高效求解。