合并相邻石子堆的最大得分问题（线性数组，每次合并相邻两堆，得分定义为两堆石子数量之和的平方）

这道题是区间动态规划（Interval Dynamic Programming）的一个经典变种，它将经典的“石子合并”问题（通常得分定义为两堆石子数量之和）进行了修改，得分变成了两堆石子数量之和的平方。这个改动使得问题更复杂，因为局部的最优合并顺序，可能会对后续的合并得分产生更大的影响（平方运算放大了大数值的贡献），因此我们不能使用简单的贪心策略（如每次合并最小的两堆），而必须用动态规划来全局考虑。

题目描述

你有一个线性排列的 n 堆石子，其中第 i 堆石子有 stones[i] 个。每次你可以合并相邻的两堆石子，合并的得分等于这两堆石子的数量之和的平方。合并后，原先的两堆石子被移除，新的一堆石子（数量为原来两堆之和）插入到它们原先的位置。不断重复这个过程，直到只剩下一堆石子。

你的目标是找出一种合并顺序，使得在整个过程中获得的总得分最大。请计算这个最大总得分。

示例：

输入: stones = [1, 2, 3]
输出: 28
解释:
一种最优的合并顺序：
1. 合并 (1, 2) -> 新堆为 3, 得分为 (1+2)^2 = 9。石子堆变为 [3, 3]。
2. 合并 (3, 3) -> 新堆为 6, 得分为 (3+3)^2 = 36。石子堆变为 [6]。
总得分 = 9 + 36 = 45？等等，这样算是 45，但题目给出的示例输出是 28。这里有一个关键点：示例的真正最优顺序可能是另一种，我们先计算一下。
另一种顺序：
1. 合并 (2, 3) -> 新堆为 5, 得分为 (2+3)^2 = 25。石子堆变为 [1, 5]。
2. 合并 (1, 5) -> 新堆为 6, 得分为 (1+5)^2 = 36。总得分为 25+36=61，比45更大。但61还不是题目给出的28，这说明了什么？我重新审题：题目要求是最大得分，但给出的示例输出是28，这暗示我可能理解有误。实际上，对于 stones=[1,2,3]，我们列出所有可能的合并顺序：
顺序1: 先合并(1,2)得9，再合并(3,3)得36，总和45。
顺序2: 先合并(2,3)得25，再合并(1,5)得36，总和61。
61 > 45，所以最大得分应该是61，但示例输出是28，这不对。这提示我可能把问题记混了。经过核实，经典的石子合并问题（得分=两堆和）的最小得分对于[1,2,3]是9（合并(1,2)得3，再合并(3,3)得6，总和9）。但这里是平方，得分是平方值。为了确认，让我们计算一下如果得分是“和”而不是“平方和”：那么顺序1得分为3+6=9，顺序2得分为5+6=11，最大是11。但题目输出是28，这既不是9也不是11，更不是61。这说明我可能把示例记错了，或者原题是另一种设置。实际上，有一道经典的“合并石子得到最大得分”问题，其规则是：每次合并相邻两堆，得分为两堆石子数的乘积，总得分最大。例如[1,2,3]：合并(2,3)得2*3=6，序列变为[1,5]；再合并(1,5)得1*5=5，总得分6+5=11。如果得分是乘积，那么最大是11，但也不是28。因此，很可能原题示例并非[1,2,3]。为了避免误导，我们重新设定一个明确的示例。
让我们假设一个简单情况：stones = [1, 2]。那么只有一种合并，得分为(1+2)^2=9。所以输出应为9。
对于[1,2,3]，我们上面计算的最大是61。但为了讲解的普遍性，我们不必拘泥于某个具体数字。题目要求的是最大得分，且得分定义为两堆和**的平方**。我们就以此为准。

为了确保清晰，我重新描述题目：
**题目**：给定数组stones表示每堆石子数，每次合并相邻两堆i和i+1，得到新的一堆，其石子数为stones[i]+stones[i+1]，并且本次合并的**得分**为(stones[i]+stones[i+1])^2。求合并到只剩一堆时，总得分的最大值。

我们接下来以stones = [1, 2, 3]为例，我们知道最大得分为61（顺序：先合并2和3，再合并1和5）。但请注意，在经典的“石子合并”问题中，通常求解最小代价，而这里是最大得分，且代价函数是平方，因此我们需要区间DP。

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### **解题思路**

区间DP适用于这种“通过不断合并相邻区间，最终合成一个整体，求最优值”的问题。我们定义一个二维DP数组：

- 定义 `dp[i][j]` 为：将第 `i` 堆到第 `j` 堆石子（闭区间）合并到**只剩下一堆**的过程中，能获得的最大总得分。
- 最终答案就是 `dp[0][n-1]`。

**关键点**：当我们考虑如何合并区间 `[i, j]` 时，最后一步一定是将 `[i, j]` 分成两个部分，先分别把左部分合并成一堆，右部分合并成一堆，然后再将这两堆合并。假设我们在位置 `k` 处划分（`i ≤ k < j`），即先合并 `[i, k]` 成为一堆，其石子总数为 `sum(i, k)`；再合并 `[k+1, j]` 成为一堆，其石子总数为 `sum(k+1, j)`；最后将这两堆合并，得到本次合并得分 `(sum(i,k) + sum(k+1,j))^2`。注意，由于我们定义 `dp[i][j]` 是合并 `[i, j]` 过程中的总得分，所以：
$$
dp[i][j] = \max_{i \le k < j} \left( dp[i][k] + dp[k+1][j] + (sum(i,k) + sum(k+1,j))^2 \right)
$$
但这里有一个陷阱：`sum(i,k)` 和 `sum(k+1,j)` 并不是简单的区间和，因为在我们合并的过程中，石子堆的数量会变化，但每个区间合并后那**一堆**的石子数，就是该区间原来的石子总数。换句话说，无论我们以什么顺序合并区间 `[i, j]` 内的石子，最后剩下的一堆的石子数一定是 `stones[i] + stones[i+1] + ... + stones[j]`，这个总数是固定的，记作 `total(i, j)`。那么，在最后一步合并时，左部分的那一堆石子数就是 `total(i, k)`，右部分的那一堆石子数就是 `total(k+1, j)`，而最后一步的得分就是 `(total(i,k) + total(k+1,j))^2`，也就是 `total(i,j)^2`。等等，这里 `total(i,k) + total(k+1,j) = total(i,j)`，所以最后一步的得分是 `total(i,j)^2`，这是一个常数，与k无关！这似乎意味着，无论我们怎么分割左右部分，最后一步得分都是固定的，那么最大得分似乎就只取决于 `dp[i][k] + dp[k+1][j]` 的最大值，而最后一步加分是常数，可以最后再加。但这样对吗？我们仔细想：`dp[i][j]` 的定义是合并 `[i,j]` 的所有得分总和，这个总和包括三部分：合并左部分的得分、合并右部分的得分、最后合并左右两堆的得分。如果最后一步得分是常数，那么为了最大化总和，我们只需最大化 `dp[i][k] + dp[k+1][j]`。但这是否正确？

我们验证一下：对于区间 `[i,j]`，无论怎么合并，最后一步总是将两堆合并成一堆，这两堆的石子数分别是左半部分所有石子的总和、右半部分所有石子的总和。而这两个总和之和就是整个区间的总和，所以最后一步的得分确实是 `total(i,j)^2`，是固定的。那么，是否意味着我们只需要分别让左半部分和右半部分的合并得分最大即可？而左半部分的合并得分最大值就是 `dp[i][k]`，右半部分就是 `dp[k+1][j]`。所以状态转移方程可以简化为：
$$
dp[i][j] = \max_{i \le k < j} \left( dp[i][k] + dp[k+1][j] \right) + total(i,j)^2
$$
其中 `total(i,j)` 是区间 `[i,j]` 的石子总数。

但这里有一个问题：`dp[i][k]` 和 `dp[k+1][j]` 是否独立？是的，因为左右两部分的合并过程是独立的，不会互相影响（因为最后一步之前它们是分开的两堆）。所以这个方程是成立的。

那么，我们只需要预处理前缀和数组 `prefix`，使得 `total(i,j) = prefix[j+1] - prefix[i]`，然后进行区间DP计算。

**边界条件**：当区间长度为1时，即 `i == j`，只有一堆石子，不需要合并，得分为0。所以 `dp[i][i] = 0`。

**计算顺序**：区间DP通常按区间长度从小到大计算。先计算所有长度为1的区间（得分0），然后长度2,3,...,n。

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### **详细步骤**

我们以 `stones = [1, 2, 3]` 为例，计算最大得分。

1. **初始化**
   - `n = 3`
   - 前缀和 `prefix[0]=0, prefix[1]=1, prefix[2]=3, prefix[3]=6`
   - 定义 `dp[3][3]` 并初始化为0（`dp[i][i]=0`）

2. **计算区间长度为2**
   - 区间 [0,1]: total = prefix[2]-prefix[0]=3-0=3, 最后一步得分=3^2=9。由于dp[0][0]=0, dp[1][1]=0，所以 dp[0][1] = 0+0+9 = 9
   - 区间 [1,2]: total = prefix[3]-prefix[1]=6-1=5, 最后一步得分=5^2=25。dp[1][2] = 0+0+25 = 25

3. **计算区间长度为3**
   - 区间 [0,2]: total = prefix[3]-prefix[0]=6-0=6, 最后一步得分=6^2=36
     - 分割点 k=0: 左 [0,0], 右 [1,2]。dp[0][0]+dp[1][2] = 0+25 = 25，加上最后得分36得 25+36=61
     - 分割点 k=1: 左 [0,1], 右 [2,2]。dp[0][1]+dp[2][2] = 9+0 = 9，加上最后得分36得 9+36=45
     - 取最大值：max(61,45) = 61
     - 所以 dp[0][2] = 61

4. **结果**：dp[0][2] = 61

因此，对于输入 [1,2,3]，最大总得分为61。

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### **算法复杂度**

- 时间复杂度：O(n³)，因为有三重循环：第一重循环区间长度，第二重循环区间起点，第三重循环分割点。
- 空间复杂度：O(n²)，用于存储dp表。

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### **思考与扩展**

1. **为什么贪心不行**？如果是求最小得分（和而不是平方和），有时贪心（每次合并最小的两堆）可能得到最优解，但这里得分是平方，合并大堆会产生更大的得分，因此可能需要先制造大堆（即先合并较大的堆），但这并不总是最优，因为可能合并顺序影响了左右部分的内部合并得分。DP能全面考虑。
2. **环形变种**：如果石子是环形排列的，即第1堆和第n堆相邻，那么我们可以将原数组复制一份接在后面，然后对每个长度为n的区间求dp值，取最大值。这就是“环形石子合并”问题，只是得分规则改为平方。
3. **优化**：由于状态转移中需要频繁计算区间和，前缀和是必要的。对于O(n³)的DP，当n较大时（比如n>200）可能较慢，但对于本题常见的题目规模（n<=100）是可行的。

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希望这个详细的讲解能帮助你理解这类“合并相邻石子堆的最大得分（平方和）”问题的解法。核心在于定义dp[i][j]为合并区间[i,j]的最大得分，并利用最后一步得分是固定值这一性质，得到简洁的状态转移方程。