非线性规划中的序列仿射内点法进阶题
字数 4385 2025-12-13 15:22:36

非线性规划中的序列仿射内点法进阶题

我将为你详细讲解序列仿射内点法（Sequential Affine Scaling Interior Point Method）的进阶题目，包括问题描述、算法思想、详细步骤和一个数值例子。

题目描述

考虑以下非线性规划问题：

\[\begin{aligned} \min_{x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & Ax = b, \\ & x \geq 0, \end{aligned} \]

其中 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 是一个连续可微且非线性的目标函数，\(A \in \mathbb{R}^{m \times n}\)（\(m < n\)），\(b \in \mathbb{R}^m\)，且 \(x \geq 0\) 表示分量非负约束。我们假设问题至少存在一个严格内点可行解（即满足 \(Ax = b\) 且 \(x > 0\)）。

进阶要求：在基本仿射尺度内点法（适用于线性目标）的基础上，扩展至非线性目标 \(f(x)\)，并设计一种序列化的方法，其中每一步求解一个线性化子问题，并控制步长以保证收敛性和可行性。

解题过程

1. 算法背景与核心思想

基本仿射尺度内点法最初是为线性规划设计的，其核心是通过仿射尺度变换将当前点映射到“球”中心，然后沿目标函数梯度在零空间投影的方向移动，并保持迭代点严格可行（内点）。对于非线性目标，直接应用会因目标曲率而失效。因此，我们采用序列化策略：在当前迭代点 \(x^k\) 处，将非线性目标 \(f(x)\) 线性化为：

\[f(x) \approx f(x^k) + \nabla f(x^k)^\top (x - x^k). \]

然后，在 \(x^k\) 附近构建一个线性规划子问题，并用仿射尺度内点法求解该子问题，得到搜索方向。之后，通过线搜索确定步长，确保新迭代点严格可行且目标值下降。整个过程重复直至收敛。

2. 算法详细步骤

步骤 0: 初始化

  • 选择初始严格内点 \(x^0 > 0\) 满足 \(Ax^0 = b\)。若难以直接找到，可使用两阶段法或引入人工变量。
  • 设定参数：容忍度 \(\epsilon > 0\)，步长衰减因子 \(\beta \in (0,1)\)（通常 \(\beta = 0.5\)），中心参数 \(\sigma \in (0,1)\)（控制接近中心的程度，通常 \(\sigma = 0.1\) 到 \(0.5\)），迭代计数器 \(k = 0\)。

步骤 1: 构造线性化子问题
在当前点 \(x^k\)，计算梯度 \(g^k = \nabla f(x^k)\)。构建线性规划子问题：

\[\begin{aligned} \min_{d \in \mathbb{R}^n} \quad & (g^k)^\top d \\ \text{s.t.} \quad & A d = 0, \\ & -x^k \leq d \leq M, \end{aligned} \]

其中 \(M\) 是一个大的正数（如 \(10^6\)）以防止方向过大，但通常我们更常见的形式是限制 \(d\) 在仿射尺度变换后的球内。更标准的仿射尺度法将变量变换为 \(y = (X^k)^{-1} x\)，其中 \(X^k = \text{diag}(x^k)\)。在变换空间中，子问题为：

\[\begin{aligned} \min_{\bar{d} \in \mathbb{R}^n} \quad & (X^k g^k)^\top \bar{d} \\ \text{s.t.} \quad & A X^k \bar{d} = 0, \\ & \| \bar{d} \| \leq \Delta^k, \end{aligned} \]

其中 \(\Delta^k > 0\) 是信赖域半径，控制步长大小。但为简化，许多实现中直接取 \(\Delta^k = 1\) 并结合缩放。

步骤 2: 求解子问题得搜索方向
子问题是一个带球约束的线性规划，其解析解可通过投影得到。具体推导：

  1. 令 \(\tilde{A} = A X^k\)，\(\tilde{g} = X^k g^k\)。
  2. 我们需要在 \(\tilde{A} \bar{d} = 0\) 且 \(\| \bar{d} \| \leq \Delta^k\) 下最小化 \(\tilde{g}^\top \bar{d}\)。若不考虑球约束，最优方向是负梯度在 \(\tilde{A}\) 零空间的投影：

\[\bar{d}_{\text{cauchy}} = -P \tilde{g}, \quad \text{其中 } P = I - \tilde{A}^\top (\tilde{A} \tilde{A}^\top)^{-1} \tilde{A}. \]

  1. 考虑球约束，取：

\[\bar{d}^k = -\min\left(1, \frac{\Delta^k}{\| \bar{d}_{\text{cauchy}} \|} \right) P \tilde{g}. \]

  1. 变换回原空间得到搜索方向 \(d^k = X^k \bar{d}^k\)。

步骤 3: 计算步长并进行迭代
为保证严格内点性（\(x > 0\)），需计算最大允许步长：

\[\alpha_{\max} = \min\left\{ 1, \min_{i: d_i^k < 0} \left( -\frac{x_i^k}{d_i^k} \right) \right\}. \]

然后，通过线搜索（如Armijo条件）确定步长 \(\alpha^k \in (0, \alpha_{\max}]\)：

\[f(x^k + \alpha^k d^k) \leq f(x^k) + \eta \alpha^k (g^k)^\top d^k, \]

其中 \(\eta \in (0,1)\)（如 0.0001）。通常先尝试 \(\alpha = \min(\alpha_{\max}, 1)\)，若不满足则乘以 \(\beta\) 衰减直至满足。

更新迭代点：\(x^{k+1} = x^k + \alpha^k d^k\)。

步骤 4: 检查收敛条件
若满足以下任一条，则停止并输出 \(x^{k+1}\) 作为近似解：

  • 相对梯度投影足够小：\(\| d^k \| \leq \epsilon (1 + \| x^{k+1} \|)\)。
  • 相对目标变化足够小：\(|f(x^{k+1}) - f(x^k)| \leq \epsilon (1 + |f(x^k)|)\)。
  • 达到最大迭代次数。

否则，令 \(k = k+1\)，返回步骤1。

3. 示例演示

考虑简单问题：

\[\begin{aligned} \min_{x_1, x_2} \quad & f(x) = (x_1 - 2)^2 + (x_2 - 1)^2 \\ \text{s.t.} \quad & x_1 + x_2 = 2, \\ & x_1, x_2 \geq 0. \end{aligned} \]

该问题最优解在 \(x^* = (1.5, 0.5)^\top\)，目标值 \(f^* = 0.5\)。我们应用上述算法。

  • 初始化: 取初始点 \(x^0 = (1, 1)^\top\)（严格内点），\(\epsilon = 10^{-4}\)，\(\beta = 0.5\)，\(\sigma = 0.2\)。
  • 迭代 1:
    1. 梯度 \(g^0 = (2(1-2), 2(1-1))^\top = (-2, 0)^\top\)。
    2. 构造 \(X^0 = \text{diag}(1,1)\)，\(\tilde{A} = A = [1, 1]\)，\(\tilde{g} = (-2, 0)^\top\)。
    3. 投影矩阵 \(P = I - A^\top (AA^\top)^{-1} A = \begin{pmatrix} 0.5 & -0.5 \\ -0.5 & 0.5 \end{pmatrix}\)。
    4. 计算 \(\bar{d}_{\text{cauchy}} = -P \tilde{g} = (1, -1)^\top\)，取 \(\Delta^0 = 1\)，则 \(\bar{d}^0 = -\frac{1}{\sqrt{2}} (1, -1)^\top \approx (-0.707, 0.707)^\top\)。
    5. 原空间方向 \(d^0 = X^0 \bar{d}^0 = (-0.707, 0.707)^\top\)。
    6. 最大步长：由于 \(d_1^0 < 0\)，\(\alpha_{\max} = \min(1, -\frac{1}{-0.707}) = 1\)。
    7. 尝试 \(\alpha = 1\)：新点 \(x^1 = (0.293, 1.707)^\top\)，目标值 \(f(x^1) \approx 3.12\)，而 \(f(x^0) = 2\)，不满足下降条件（需 \(\eta\) 很小）。通过回溯，取 \(\alpha = 0.5\) 满足 Armijo 条件。
    8. 更新：\(x^1 = (0.646, 1.354)^\top\)。
  • 继续迭代，点列将趋近最优解。通常10-20次迭代可达到高精度。

4. 关键要点与讨论

  • 序列化本质：每一步求解一个线性化子问题，类似序列线性规划（SLP），但利用了仿射尺度内点法高效处理边界。
  • 全局收敛：在适当条件下（如 \(f\) 连续可微且下有界，子问题解存在），算法可收敛到稳定点（KKT点）。
  • 扩展：可结合信赖域自适应调整 \(\Delta^k\)，或引入障碍函数处理不等式，形成原始对偶内点法。
  • 优缺点：优点包括保持内点可行性、适合大规模问题；缺点是需要严格初始内点、对非线性强曲率可能慢。

这个进阶题目展示了如何将经典内点法推广到非线性目标，是处理带线性等式和非负约束的非线性规划的实用方法。

非线性规划中的序列仿射内点法进阶题 我将为你详细讲解序列仿射内点法（Sequential Affine Scaling Interior Point Method）的进阶题目，包括问题描述、算法思想、详细步骤和一个数值例子。 题目描述 考虑以下非线性规划问题： \[ \begin{aligned} \min_ {x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & Ax = b, \\ & x \geq 0, \end{aligned} \] 其中 \( f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) 是一个连续可微且非线性的目标函数，\( A \in \mathbb{R}^{m \times n} \)（\( m < n \)），\( b \in \mathbb{R}^m \)，且 \( x \geq 0 \) 表示分量非负约束。我们假设问题至少存在一个严格内点可行解（即满足 \( Ax = b \) 且 \( x > 0 \)）。 进阶要求：在基本仿射尺度内点法（适用于线性目标）的基础上，扩展至非线性目标 \( f(x) \)，并设计一种序列化的方法，其中每一步求解一个线性化子问题，并控制步长以保证收敛性和可行性。 解题过程 1. 算法背景与核心思想 基本仿射尺度内点法最初是为线性规划设计的，其核心是通过仿射尺度变换将当前点映射到“球”中心，然后沿目标函数梯度在零空间投影的方向移动，并保持迭代点严格可行（内点）。对于非线性目标，直接应用会因目标曲率而失效。因此，我们采用序列化策略：在当前迭代点 \( x^k \) 处，将非线性目标 \( f(x) \) 线性化为： \[ f(x) \approx f(x^k) + \nabla f(x^k)^\top (x - x^k). \] 然后，在 \( x^k \) 附近构建一个线性规划子问题，并用仿射尺度内点法求解该子问题，得到搜索方向。之后，通过线搜索确定步长，确保新迭代点严格可行且目标值下降。整个过程重复直至收敛。 2. 算法详细步骤 步骤 0: 初始化 选择初始严格内点 \( x^0 > 0 \) 满足 \( Ax^0 = b \)。若难以直接找到，可使用两阶段法或引入人工变量。 设定参数：容忍度 \( \epsilon > 0 \)，步长衰减因子 \( \beta \in (0,1) \)（通常 \( \beta = 0.5 \)），中心参数 \( \sigma \in (0,1) \)（控制接近中心的程度，通常 \( \sigma = 0.1 \) 到 \( 0.5 \)），迭代计数器 \( k = 0 \)。 步骤 1: 构造线性化子问题 在当前点 \( x^k \)，计算梯度 \( g^k = \nabla f(x^k) \)。构建线性规划子问题： \[ \begin{aligned} \min_ {d \in \mathbb{R}^n} \quad & (g^k)^\top d \\ \text{s.t.} \quad & A d = 0, \\ & -x^k \leq d \leq M, \end{aligned} \] 其中 \( M \) 是一个大的正数（如 \( 10^6 \)）以防止方向过大，但通常我们更常见的形式是限制 \( d \) 在仿射尺度变换后的球内。更标准的仿射尺度法将变量变换为 \( y = (X^k)^{-1} x \)，其中 \( X^k = \text{diag}(x^k) \)。在变换空间中，子问题为： \[ \begin{aligned} \min_ {\bar{d} \in \mathbb{R}^n} \quad & (X^k g^k)^\top \bar{d} \\ \text{s.t.} \quad & A X^k \bar{d} = 0, \\ & \| \bar{d} \| \leq \Delta^k, \end{aligned} \] 其中 \( \Delta^k > 0 \) 是信赖域半径，控制步长大小。但为简化，许多实现中直接取 \( \Delta^k = 1 \) 并结合缩放。 步骤 2: 求解子问题得搜索方向 子问题是一个带球约束的线性规划，其解析解可通过投影得到。具体推导： 令 \( \tilde{A} = A X^k \)，\( \tilde{g} = X^k g^k \)。 我们需要在 \( \tilde{A} \bar{d} = 0 \) 且 \( \| \bar{d} \| \leq \Delta^k \) 下最小化 \( \tilde{g}^\top \bar{d} \)。若不考虑球约束，最优方向是负梯度在 \( \tilde{A} \) 零空间的投影： \[ \bar{d}_ {\text{cauchy}} = -P \tilde{g}, \quad \text{其中 } P = I - \tilde{A}^\top (\tilde{A} \tilde{A}^\top)^{-1} \tilde{A}. \] 考虑球约束，取： \[ \bar{d}^k = -\min\left(1, \frac{\Delta^k}{\| \bar{d}_ {\text{cauchy}} \|} \right) P \tilde{g}. \] 变换回原空间得到搜索方向 \( d^k = X^k \bar{d}^k \)。 步骤 3: 计算步长并进行迭代 为保证严格内点性（\( x > 0 \)），需计算最大允许步长： \[ \alpha_ {\max} = \min\left\{ 1, \min_ {i: d_ i^k < 0} \left( -\frac{x_ i^k}{d_ i^k} \right) \right\}. \] 然后，通过线搜索（如Armijo条件）确定步长 \( \alpha^k \in (0, \alpha_ {\max} ] \)： \[ f(x^k + \alpha^k d^k) \leq f(x^k) + \eta \alpha^k (g^k)^\top d^k, \] 其中 \( \eta \in (0,1) \)（如 0.0001）。通常先尝试 \( \alpha = \min(\alpha_ {\max}, 1) \)，若不满足则乘以 \( \beta \) 衰减直至满足。 更新迭代点：\( x^{k+1} = x^k + \alpha^k d^k \)。 步骤 4: 检查收敛条件 若满足以下任一条，则停止并输出 \( x^{k+1} \) 作为近似解： 相对梯度投影足够小：\( \| d^k \| \leq \epsilon (1 + \| x^{k+1} \|) \)。 相对目标变化足够小：\( |f(x^{k+1}) - f(x^k)| \leq \epsilon (1 + |f(x^k)|) \)。 达到最大迭代次数。 否则，令 \( k = k+1 \)，返回步骤1。 3. 示例演示 考虑简单问题： \[ \begin{aligned} \min_ {x_ 1, x_ 2} \quad & f(x) = (x_ 1 - 2)^2 + (x_ 2 - 1)^2 \\ \text{s.t.} \quad & x_ 1 + x_ 2 = 2, \\ & x_ 1, x_ 2 \geq 0. \end{aligned} \] 该问题最优解在 \( x^* = (1.5, 0.5)^\top \)，目标值 \( f^* = 0.5 \)。我们应用上述算法。 初始化 : 取初始点 \( x^0 = (1, 1)^\top \)（严格内点），\( \epsilon = 10^{-4} \)，\( \beta = 0.5 \)，\( \sigma = 0.2 \)。 迭代 1 : 梯度 \( g^0 = (2(1-2), 2(1-1))^\top = (-2, 0)^\top \)。 构造 \( X^0 = \text{diag}(1,1) \)，\( \tilde{A} = A = [ 1, 1 ] \)，\( \tilde{g} = (-2, 0)^\top \)。 投影矩阵 \( P = I - A^\top (AA^\top)^{-1} A = \begin{pmatrix} 0.5 & -0.5 \\ -0.5 & 0.5 \end{pmatrix} \)。 计算 \( \bar{d}_ {\text{cauchy}} = -P \tilde{g} = (1, -1)^\top \)，取 \( \Delta^0 = 1 \)，则 \( \bar{d}^0 = -\frac{1}{\sqrt{2}} (1, -1)^\top \approx (-0.707, 0.707)^\top \)。 原空间方向 \( d^0 = X^0 \bar{d}^0 = (-0.707, 0.707)^\top \)。 最大步长：由于 \( d_ 1^0 < 0 \)，\( \alpha_ {\max} = \min(1, -\frac{1}{-0.707}) = 1 \)。 尝试 \( \alpha = 1 \)：新点 \( x^1 = (0.293, 1.707)^\top \)，目标值 \( f(x^1) \approx 3.12 \)，而 \( f(x^0) = 2 \)，不满足下降条件（需 \( \eta \) 很小）。通过回溯，取 \( \alpha = 0.5 \) 满足 Armijo 条件。 更新：\( x^1 = (0.646, 1.354)^\top \)。 继续迭代，点列将趋近最优解。通常10-20次迭代可达到高精度。 4. 关键要点与讨论 序列化本质 ：每一步求解一个线性化子问题，类似序列线性规划（SLP），但利用了仿射尺度内点法高效处理边界。 全局收敛 ：在适当条件下（如 \( f \) 连续可微且下有界，子问题解存在），算法可收敛到稳定点（KKT点）。 扩展 ：可结合信赖域自适应调整 \( \Delta^k \)，或引入障碍函数处理不等式，形成原始对偶内点法。 优缺点 ：优点包括保持内点可行性、适合大规模问题；缺点是需要严格初始内点、对非线性强曲率可能慢。 这个进阶题目展示了如何将经典内点法推广到非线性目标，是处理带线性等式和非负约束的非线性规划的实用方法。