基于核的密度峰值聚类（Kernel-based Density Peak Clustering, KDPC）算法原理与实现过程

字数 4484 2025-12-13 14:27:14

基于核的密度峰值聚类（Kernel-based Density Peak Clustering, KDPC）算法原理与实现过程

题目描述

基于核的密度峰值聚类算法是密度峰值聚类（DPC）算法的一种非线性扩展。DPC算法假设聚类中心是那些局部密度较高，且与其他高密度点距离较远的点。然而，原始DPC基于欧氏距离计算局部密度，在数据呈非线性分布时效果不佳。KDPC通过引入核函数，将数据隐式映射到高维特征空间，在高维空间中计算局部密度和距离，从而能够发现非线性流形结构中的聚类中心。请你讲解KDPC算法的核心原理、计算步骤以及实现细节。

解题过程讲解

第一步：算法思想与问题定义

密度峰值聚类（DPC）的核心思想是优秀的聚类中心需要满足两个条件：

局部密度高：这个点周围有很多邻近点。
相对距离大：这个点到比它密度更高的点的距离要足够大。

在原始DPC中，这两个指标的计算都依赖于欧氏距离。然而，当数据分布不是球状，而是复杂的非线性结构（如嵌套圆环、螺旋线）时，基于欧氏距离计算的密度无法准确反映数据在流形上的真实结构，导致聚类中心识别错误。

KDPC的目标是解决这个问题。其核心思路是：通过一个核函数，将原始数据从输入空间 \(\mathcal{X}\) 映射到一个高维的、甚至是无穷维的特征空间 \(\mathcal{H}\)。在这个特征空间中，数据可能变得更线性可分或呈现出更清晰的密度结构。我们在特征空间 \(\mathcal{H}\) 中重新定义“距离”和“密度”，从而更好地识别出原始空间中的聚类中心。

我们假设有一个数据集 \(\mathbf{X} = \{x_1, x_2, ..., x_N\}\)，其中 \(x_i \in \mathbb{R}^D\)。目标是将其划分为 \(K\) 个簇。

第二步：核技巧与特征空间的距离

KDPC的关键是避免显式计算高维映射 \(\phi(x_i)\)，而是通过核函数 \(k(x_i, x_j)\) 来计算特征空间的内积：

\[k(x_i, x_j) = \langle \phi(x_i), \phi(x_j) \rangle_{\mathcal{H}} \]

常用的核函数包括高斯核（RBF核）\(k(x_i, x_j) = \exp(-\frac{\|x_i - x_j\|^2}{2\sigma^2})\)。

在特征空间 \(\mathcal{H}\) 中，两点间的平方距离可以表示为：

\[d_{\mathcal{H}}^2(i, j) = \|\phi(x_i) - \phi(x_j)\|^2 = \langle \phi(x_i) - \phi(x_j), \phi(x_i) - \phi(x_j) \rangle \]

展开得：

\[d_{\mathcal{H}}^2(i, j) = \langle \phi(x_i), \phi(x_i) \rangle + \langle \phi(x_j), \phi(x_j) \rangle - 2\langle \phi(x_i), \phi(x_j) \rangle \]

利用核函数的定义 \(k(x_i, x_j) = \langle \phi(x_i), \phi(x_j) \rangle\)，上式可以完全用核函数表示：

\[d_{\mathcal{H}}^2(i, j) = k(x_i, x_i) + k(x_j, x_j) - 2k(x_i, x_j) \]

这是KDPC最核心的公式。 它允许我们在不进行复杂高维映射的情况下，计算特征空间中的距离。对于高斯核，\(k(x_i, x_i) = 1\)，公式简化为 \(d_{\mathcal{H}}^2(i, j) = 2(1 - k(x_i, x_j))\)。

第三步：在特征空间中定义局部密度

原始DPC常用的局部密度定义有两种：

截断核（Cut-off kernel）：\(\rho_i = \sum_{j \neq i} \mathbb{I}(d_{ij} - d_c < 0)\)，其中 \(d_c\) 是截断距离。
高斯核：\(\rho_i = \sum_{j \neq i} \exp(-(d_{ij}/d_c)^2)\)。

在KDPC中，我们直接将特征空间的距离 \(d_{\mathcal{H}}(i, j)\) 代入上述公式。但这里有一个微妙而重要的点： 我们不再需要为特征空间的距离另外设置一个截断距离 \(d_c'\)。因为在高斯核映射下，特征空间的距离范围是已知的（例如，使用高斯核时，\(d_{\mathcal{H}}^2(i, j) \in [0, 2]\)）。通常，我们直接将原始空间的截断距离 \(d_c\) 用于特征空间的距离计算，或者通过分析特征空间距离的分布重新选择一个合适的 \(d_c'\)。

更常见的KDPC做法是，将“核密度估计”的思想直接融入到密度计算中。我们使用高斯核函数 \(k(x_i, x_j)\) 本身就具有衡量相似性的能力，可以直接用它来定义局部密度 \(\rho_i\)：

\[\rho_i = \sum_{j=1}^{N} k(x_i, x_j) = \sum_{j=1}^{N} \exp(-\frac{\|x_i - x_j\|^2}{2\sigma^2}) \]

注意：这里使用的 \(\sigma\) 是核函数的带宽参数，它控制着密度估计的平滑程度。这个 \(\sigma\) 起到了原始DPC中截断距离 \(d_c\) 类似的作用，决定了“邻居”的范围。这个 \(\rho_i\) 计算的是原始空间基于核的局部密度。它与“在特征空间中计算欧氏距离再套用高斯核”是等价的吗？严格来说，这种直接定义更简洁，并且是核密度估计的标准形式。我们可以将其理解为在特征空间中用线性核（即点积）来计算密度，因为 \(k(x_i, x_j)\) 就是特征空间的内积。这使得计算和解释都更为直接。

为了与DPC的决策图概念保持一致，我们通常对 \(\rho_i\) 进行归一化，使其范围在合适的区间。

第四步：计算相对距离（最小特征空间距离）

相对距离 \(\delta_i\) 定义为：点 \(i\) 到所有局部密度比它高的点 \(j\) （即 \(\rho_j > \rho_i\) 的点）的特征空间距离 \(d_{\mathcal{H}}(i, j)\) 的最小值。

\[\delta_i = \min_{j: \rho_j > \rho_i} d_{\mathcal{H}}(i, j) \]

对于全局密度最高的那个点，其 \(\delta_i\) 定义为它到所有其他点的特征空间距离的最大值：

\[\delta_{\text{max-density}} = \max_{j} d_{\mathcal{H}}(i, j) \]

\(\delta_i\) 的含义是：在特征空间中，找到下一个更高密度的“山头”需要走多远。聚类中心应该有较大的 \(\delta\) 值，意味着它远离其他密度更高的区域。

第五步：确定聚类中心与分配剩余点

这一步与经典DPC完全一致：

绘制决策图：以局部密度 \(\rho_i\) 为横坐标（或纵坐标），相对距离 \(\delta_i\) 为纵坐标（或横坐标），为每个数据点绘制散点图。
选择中心点：决策图中，位于右上角（即 \(\rho\) 和 \(\delta\) 都较大）的那些点，被识别为潜在的聚类中心。通常需要人工观察一个明显的“拐点”或设定阈值来选择。假设我们选择了 \(K\) 个中心点，并为它们分配唯一的簇标签 \(\{1, 2, ..., K\}\)。
分配非中心点：从每个聚类中心开始，按照特征空间距离 \(d_{\mathcal{H}}\) 由近及远地传播标签。具体来说：
- 将未被标记为中心的点，按照其局部密度 \(\rho\) 从高到低排序。
- 对于排序列表中的每个点 \(i\)，找到它的“最近邻”中密度比它高的点（不一定是全局密度更高，而是DPC定义的、在排序列表中先于它的点）。在经典DPC中，这个“最近邻”是根据原始空间距离定义的。在KDPC中，我们使用特征空间距离 \(d_{\mathcal{H}}\) 来寻找这个最近邻。然后将这个最近邻的簇标签分配给点 \(i\)。
- 如此迭代，直到所有点都被分配标签。

第六步：总结与实现要点

输入：数据集 \(X\)，聚类数目 \(K\) （或通过决策图确定），高斯核带宽 \(\sigma\)。
步骤：
a. 计算核矩阵：计算所有点对之间的核函数值 \(K_{ij} = k(x_i, x_j)\)。
b. 计算局部密度 \(\rho\)：对每个点 \(i\)，\(\rho_i = \sum_{j=1}^{N} K_{ij}\)。
c. 计算特征空间距离矩阵：\(D_{\mathcal{H}, ij} = \sqrt{K_{ii} + K_{jj} - 2K_{ij}}\)。对于高斯核，\(D_{\mathcal{H}, ij} = \sqrt{2(1 - K_{ij})}\)。
d. 计算相对距离 \(\delta\)：根据 \(\rho\) 的排序和 \(D_{\mathcal{H}}\) 矩阵，按定义计算每个点的 \(\delta_i\)。
e. 选择聚类中心：绘制 \(\rho-\delta\) 决策图，手动或自动选取 \(K\) 个中心。
f. 分配标签：非中心点按密度降序排列，每个点将其特征空间距离最近的、密度更高的邻居的标签作为自己的标签。

KDPC的优势：通过核技巧，能够有效处理非线性可分数据，发现流形结构中的密度峰值。
KDPC的挑战：

核函数（特别是高斯核）的带宽参数 \(\sigma\) 对结果影响巨大，需要仔细选择（例如，通过网格搜索结合某种聚类有效性指标）。
计算整个核矩阵和距离矩阵的复杂度为 \(O(N^2)\)，对于大规模数据需要优化（如使用稀疏核、采样等）。
分配剩余点时，依赖于特征空间距离的最近邻搜索，在复杂流形上可能比原始空间距离更合理，但仍需注意“链式错误”传播的问题。

基于核的密度峰值聚类（Kernel-based Density Peak Clustering, KDPC）算法原理与实现过程题目描述基于核的密度峰值聚类算法是密度峰值聚类（DPC）算法的一种非线性扩展。DPC算法假设聚类中心是那些局部密度较高，且与其他高密度点距离较远的点。然而，原始DPC基于欧氏距离计算局部密度，在数据呈非线性分布时效果不佳。KDPC通过引入核函数，将数据隐式映射到高维特征空间，在高维空间中计算局部密度和距离，从而能够发现非线性流形结构中的聚类中心。请你讲解KDPC算法的核心原理、计算步骤以及实现细节。解题过程讲解第一步：算法思想与问题定义密度峰值聚类（DPC）的核心思想是优秀的聚类中心需要满足两个条件：局部密度高：这个点周围有很多邻近点。相对距离大：这个点到比它密度更高的点的距离要足够大。在原始DPC中，这两个指标的计算都依赖于欧氏距离。然而，当数据分布不是球状，而是复杂的非线性结构（如嵌套圆环、螺旋线）时，基于欧氏距离计算的密度无法准确反映数据在流形上的真实结构，导致聚类中心识别错误。 KDPC的目标是解决这个问题。其核心思路是：通过一个核函数，将原始数据从输入空间 \( \mathcal{X} \) 映射到一个高维的、甚至是无穷维的特征空间 \( \mathcal{H} \)。在这个特征空间中，数据可能变得更线性可分或呈现出更清晰的密度结构。我们在特征空间 \( \mathcal{H} \) 中重新定义“距离”和“密度”，从而更好地识别出原始空间中的聚类中心。我们假设有一个数据集 \( \mathbf{X} = \{x_ 1, x_ 2, ..., x_ N\} \)，其中 \( x_ i \in \mathbb{R}^D \)。目标是将其划分为 \( K \) 个簇。第二步：核技巧与特征空间的距离 KDPC的关键是避免显式计算高维映射 \( \phi(x_ i) \)，而是通过核函数 \( k(x_ i, x_ j) \) 来计算特征空间的内积： \[ k(x_ i, x_ j) = \langle \phi(x_ i), \phi(x_ j) \rangle_ {\mathcal{H}} \] 常用的核函数包括高斯核（RBF核）\( k(x_ i, x_ j) = \exp(-\frac{\|x_ i - x_ j\|^2}{2\sigma^2}) \)。在特征空间 \( \mathcal{H} \) 中，两点间的平方距离可以表示为： \[ d_ {\mathcal{H}}^2(i, j) = \|\phi(x_ i) - \phi(x_ j)\|^2 = \langle \phi(x_ i) - \phi(x_ j), \phi(x_ i) - \phi(x_ j) \rangle \] 展开得： \[ d_ {\mathcal{H}}^2(i, j) = \langle \phi(x_ i), \phi(x_ i) \rangle + \langle \phi(x_ j), \phi(x_ j) \rangle - 2\langle \phi(x_ i), \phi(x_ j) \rangle \] 利用核函数的定义 \( k(x_ i, x_ j) = \langle \phi(x_ i), \phi(x_ j) \rangle \)，上式可以完全用核函数表示： \[ d_ {\mathcal{H}}^2(i, j) = k(x_ i, x_ i) + k(x_ j, x_ j) - 2k(x_ i, x_ j) \] 这是KDPC最核心的公式。它允许我们在不进行复杂高维映射的情况下，计算特征空间中的距离。对于高斯核，\( k(x_ i, x_ i) = 1 \)，公式简化为 \( d_ {\mathcal{H}}^2(i, j) = 2(1 - k(x_ i, x_ j)) \)。第三步：在特征空间中定义局部密度原始DPC常用的局部密度定义有两种：截断核（Cut-off kernel）：\( \rho_ i = \sum_ {j \neq i} \mathbb{I}(d_ {ij} - d_ c < 0) \)，其中 \( d_ c \) 是截断距离。高斯核：\( \rho_ i = \sum_ {j \neq i} \exp(-(d_ {ij}/d_ c)^2) \)。在KDPC中，我们直接将特征空间的距离 \( d_ {\mathcal{H}}(i, j) \) 代入上述公式。但这里有一个微妙而重要的点：我们不再需要为特征空间的距离另外设置一个截断距离 \( d_ c' \)。因为在高斯核映射下，特征空间的距离范围是已知的（例如，使用高斯核时，\( d_ {\mathcal{H}}^2(i, j) \in [ 0, 2] \)）。通常，我们直接将原始空间的截断距离 \( d_ c \) 用于特征空间的距离计算，或者通过分析特征空间距离的分布重新选择一个合适的 \( d_ c' \)。更常见的KDPC做法是，将“核密度估计”的思想直接融入到密度计算中。我们使用高斯核函数 \( k(x_ i, x_ j) \) 本身就具有衡量相似性的能力，可以直接用它来定义局部密度 \( \rho_ i \)： \[ \rho_ i = \sum_ {j=1}^{N} k(x_ i, x_ j) = \sum_ {j=1}^{N} \exp(-\frac{\|x_ i - x_ j\|^2}{2\sigma^2}) \] 注意：这里使用的 \( \sigma \) 是核函数的带宽参数，它控制着密度估计的平滑程度。这个 \( \sigma \) 起到了原始DPC中截断距离 \( d_ c \) 类似的作用，决定了“邻居”的范围。这个 \( \rho_ i \) 计算的是原始空间基于核的局部密度。它与“在特征空间中计算欧氏距离再套用高斯核”是等价的吗？严格来说，这种直接定义更简洁，并且是核密度估计的标准形式。我们可以将其理解为在特征空间中用线性核（即点积）来计算密度，因为 \( k(x_ i, x_ j) \) 就是特征空间的内积。这使得计算和解释都更为直接。为了与DPC的决策图概念保持一致，我们通常对 \( \rho_ i \) 进行归一化，使其范围在合适的区间。第四步：计算相对距离（最小特征空间距离）相对距离 \( \delta_ i \) 定义为：点 \( i \) 到所有局部密度比它高的点 \( j \) （即 \( \rho_ j > \rho_ i \) 的点）的特征空间距离 \( d_ {\mathcal{H}}(i, j) \) 的最小值。 \[ \delta_ i = \min_ {j: \rho_ j > \rho_ i} d_ {\mathcal{H}}(i, j) \] 对于全局密度最高的那个点，其 \( \delta_ i \) 定义为它到所有其他点的特征空间距离的最大值： \[ \delta_ {\text{max-density}} = \max_ {j} d_ {\mathcal{H}}(i, j) \] \( \delta_ i \) 的含义是：在特征空间中，找到下一个更高密度的“山头”需要走多远。聚类中心应该有较大的 \( \delta \) 值，意味着它远离其他密度更高的区域。第五步：确定聚类中心与分配剩余点这一步与经典DPC完全一致：绘制决策图：以局部密度 \( \rho_ i \) 为横坐标（或纵坐标），相对距离 \( \delta_ i \) 为纵坐标（或横坐标），为每个数据点绘制散点图。选择中心点：决策图中，位于右上角（即 \( \rho \) 和 \( \delta \) 都较大）的那些点，被识别为潜在的聚类中心。通常需要人工观察一个明显的“拐点”或设定阈值来选择。假设我们选择了 \( K \) 个中心点，并为它们分配唯一的簇标签 \( \{1, 2, ..., K\} \)。分配非中心点：从每个聚类中心开始，按照特征空间距离 \( d_ {\mathcal{H}} \) 由近及远地传播标签。具体来说：将未被标记为中心的点，按照其局部密度 \( \rho \) 从高到低排序。对于排序列表中的每个点 \( i \)，找到它的“最近邻”中密度比它高的点（不一定是全局密度更高，而是DPC定义的、在排序列表中先于它的点）。在经典DPC中，这个“最近邻”是根据原始空间距离定义的。在KDPC中，我们使用特征空间距离 \( d_ {\mathcal{H}} \) 来寻找这个最近邻。然后将这个最近邻的簇标签分配给点 \( i \)。如此迭代，直到所有点都被分配标签。第六步：总结与实现要点输入：数据集 \( X \)，聚类数目 \( K \) （或通过决策图确定），高斯核带宽 \( \sigma \)。步骤： a. 计算核矩阵：计算所有点对之间的核函数值 \( K_ {ij} = k(x_ i, x_ j) \)。 b. 计算局部密度 \( \rho \) ：对每个点 \( i \)，\( \rho_ i = \sum_ {j=1}^{N} K_ {ij} \)。 c. 计算特征空间距离矩阵：\( D_ {\mathcal{H}, ij} = \sqrt{K_ {ii} + K_ {jj} - 2K_ {ij}} \)。对于高斯核，\( D_ {\mathcal{H}, ij} = \sqrt{2(1 - K_ {ij})} \)。 d. 计算相对距离 \( \delta \) ：根据 \( \rho \) 的排序和 \( D_ {\mathcal{H}} \) 矩阵，按定义计算每个点的 \( \delta_ i \)。 e. 选择聚类中心：绘制 \( \rho-\delta \) 决策图，手动或自动选取 \( K \) 个中心。 f. 分配标签：非中心点按密度降序排列，每个点将其特征空间距离最近的、密度更高的邻居的标签作为自己的标签。 KDPC的优势：通过核技巧，能够有效处理非线性可分数据，发现流形结构中的密度峰值。 KDPC的挑战：核函数（特别是高斯核）的带宽参数 \( \sigma \) 对结果影响巨大，需要仔细选择（例如，通过网格搜索结合某种聚类有效性指标）。计算整个核矩阵和距离矩阵的复杂度为 \( O(N^2) \)，对于大规模数据需要优化（如使用稀疏核、采样等）。分配剩余点时，依赖于特征空间距离的最近邻搜索，在复杂流形上可能比原始空间距离更合理，但仍需注意“链式错误”传播的问题。