高斯-雅可比求积公式的权重与节点计算
题目描述
我们考虑计算定积分：
\[I = \int_{-1}^{1} (1-x)^{\alpha} (1+x)^{\beta} f(x) \, dx \]
其中 \(\alpha > -1, \beta > -1\) 是给定的实数参数，\(f(x)\) 是在 \([-1,1]\) 上足够光滑的函数。这个积分的特点是带有端点处的代数奇异性（当 \(\alpha\) 或 \(\beta\) 非整数时，在端点处的导数可能是奇异的）。高斯-雅可比（Gauss-Jacobi）求积公式是一种针对权函数 \(w(x) = (1-x)^{\alpha}(1+x)^{\beta}\) 的正交多项式求积法，它能以最少的函数求值次数获得高精度。本题的目标是：详细推导高斯-雅可比求积公式的节点（求积点）和权重（求积系数）的计算方法，并解释其数学原理。
解题过程
第一步：理解正交多项式与高斯求积的基本关系
高斯型求积公式的一般形式是：
\[\int_{a}^{b} w(x) f(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i) \]
其中 \(w(x)\) 是给定的权函数（非负、可积），\(x_i\) 是求积节点，\(w_i\) 是对应的权重。对于 \(n\) 个节点的高斯公式，如果节点选为与 \(w(x)\) 相关的 \(n\) 次正交多项式的零点，并且权重通过保证公式对不超过 \(2n-1\) 次的多项式精确成立来确定，那么该公式具有最高的代数精度（\(2n-1\) 次）。
对于权函数 \(w(x) = (1-x)^{\alpha}(1+x)^{\beta}\) 在区间 \([-1,1]\) 上，对应的正交多项式称为雅可比多项式，记作 \(P_n^{(\alpha,\beta)}(x)\)。
第二步：雅可比多项式的定义与性质
雅可比多项式是微分方程的解，也可以通过罗德里格斯公式（Rodrigues formula）定义：
\[P_n^{(\alpha,\beta)}(x) = \frac{(-1)^n}{2^n n!} (1-x)^{-\alpha} (1+x)^{-\beta} \frac{d^n}{dx^n} \left[ (1-x)^{\alpha+n} (1+x)^{\beta+n} \right] \]
它们满足正交性：
\[\int_{-1}^{1} (1-x)^{\alpha} (1+x)^{\beta} P_m^{(\alpha,\beta)}(x) P_n^{(\alpha,\beta)}(x) \, dx = 0, \quad m \neq n \]
并且有归一化常数：
\[\int_{-1}^{1} (1-x)^{\alpha} (1+x)^{\beta} \left[ P_n^{(\alpha,\beta)}(x) \right]^2 \, dx = h_n^{(\alpha,\beta)} \]
其中
\[h_n^{(\alpha,\beta)} = \frac{2^{\alpha+\beta+1} \, \Gamma(n+\alpha+1) \, \Gamma(n+\beta+1)}{n! \, (2n+\alpha+\beta+1) \, \Gamma(n+\alpha+\beta+1)} \]
这里 \(\Gamma\) 是伽马函数。
第三步：高斯-雅可比求积节点的确定
对于 \(n\) 点高斯-雅可比求积公式，节点 \(x_i\) 是 \(n\) 次雅可比多项式 \(P_n^{(\alpha,\beta)}(x)\) 的零点。这些零点都是实数、互异，并且位于区间 \((-1,1)\) 内。在实际计算中，通常通过求解雅可比多项式的零点来获得节点。常用方法是利用雅可比多项式的三项递推关系来构造雅可比矩阵，然后求该对称三对角矩阵的特征值（即为节点）。
雅可比多项式的三项递推关系为：
\[P_{0}^{(\alpha,\beta)}(x) = 1, \quad P_{1}^{(\alpha,\beta)}(x) = \frac{1}{2}(\alpha-\beta) + \frac{1}{2}(\alpha+\beta+2) x \]
\[ P_{n+1}^{(\alpha,\beta)}(x) = (a_n x + b_n) P_n^{(\alpha,\beta)}(x) - c_n P_{n-1}^{(\alpha,\beta)}(x), \quad n \ge 1 \]
其中系数为：
\[a_n = \frac{(2n+\alpha+\beta+1)(2n+\alpha+\beta+2)}{2(n+1)(n+\alpha+\beta+1)} \]
\[ b_n = \frac{(\alpha^2 - \beta^2)(2n+\alpha+\beta+1)}{2(n+1)(n+\alpha+\beta+1)(2n+\alpha+\beta)} \]
\[ c_n = \frac{(n+\alpha)(n+\beta)(2n+\alpha+\beta+2)}{(n+1)(n+\alpha+\beta+1)(2n+\alpha+\beta)} \]
第四步：从递推关系构造雅可比矩阵
我们可以将递推关系写成标准形式：
\[x P_n^{(\alpha,\beta)}(x) = \frac{1}{a_n} P_{n+1}^{(\alpha,\beta)}(x) - \frac{b_n}{a_n} P_n^{(\alpha,\beta)}(x) + \frac{c_n}{a_n} P_{n-1}^{(\alpha,\beta)}(x) \]
定义正交多项式归一化版本：
\[\tilde{P}_n(x) = \frac{P_n^{(\alpha,\beta)}(x)}{\sqrt{h_n^{(\alpha,\beta)}}} \]
可以验证，存在对称三对角矩阵（雅可比矩阵） \(J_n\)：
\[J_n = \begin{bmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & \\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ & & \beta_{n-2} & \alpha_{n-2} & \beta_{n-1} \\ & & & \beta_{n-1} & \alpha_{n-1} \end{bmatrix} \]
使得
\[x \tilde{P}_k(x) = \beta_k \tilde{P}_{k-1}(x) + \alpha_k \tilde{P}_k(x) + \beta_{k+1} \tilde{P}_{k+1}(x) \]
其中
\[\alpha_k = -\frac{b_k}{a_k}, \quad \beta_k = \sqrt{ \frac{c_k}{a_{k-1} a_k} } \quad (\text{需从递推系数推导}) \]
实际上，更常见的直接公式（通过正交性可推导）是：
\[\alpha_k = \frac{\beta^2 - \alpha^2}{(2k+\alpha+\beta)(2k+\alpha+\beta+2)}, \quad k \ge 0 \]
\[ \beta_k = \frac{2}{2k+\alpha+\beta} \sqrt{ \frac{k(k+\alpha)(k+\beta)(k+\alpha+\beta)}{(2k+\alpha+\beta-1)(2k+\alpha+\beta+1)} }, \quad k \ge 1 \]
而 \(\beta_0\) 可设为0。
则 \(J_n\) 的特征值就是 \(P_n^{(\alpha,\beta)}(x)=0\) 的根，即高斯-雅可比节点 \(x_i\)。
第五步：高斯-雅可比权重的计算
对于高斯求积，权重 \(w_i\) 可通过下式计算：
\[w_i = \frac{1}{P_n^{'}(x_i) \int_{-1}^{1} w(x) P_n(x) \frac{1}{x-x_i} dx} \]
其中 \(P_n(x) = P_n^{(\alpha,\beta)}(x)\)。更实用的公式是利用正交多项式的导数与首一多项式的关系：
\[w_i = \frac{2^{\alpha+\beta+1} \, \Gamma(n+\alpha+1) \, \Gamma(n+\beta+1)}{n! \, \Gamma(n+\alpha+\beta+1)} \cdot \frac{1}{(1-x_i^2) \left[ P_n^{'}(x_i) \right]^2} \]
或者用归一化常数和特征向量表示：设 \(J_n\) 的第 \(i\) 个特征值对应的单位特征向量为 \(v^{(i)}\)，其第一个分量为 \(v_1^{(i)}\)，则
\[w_i = \mu_0 \left( v_1^{(i)} \right)^2 \]
其中 \(\mu_0 = \int_{-1}^{1} w(x) dx = \frac{2^{\alpha+\beta+1} \Gamma(\alpha+1) \Gamma(\beta+1)}{\Gamma(\alpha+\beta+2)}\) 是权函数的零阶矩。
这个关系来自高斯求积与矩阵特征问题的联系：节点是特征值，权重是零阶矩乘以特征向量第一个分量的平方。
第六步：计算步骤总结
- 给定 \(n, \alpha, \beta\)，计算零阶矩 \(\mu_0 = \frac{2^{\alpha+\beta+1} \Gamma(\alpha+1) \Gamma(\beta+1)}{\Gamma(\alpha+\beta+2)}\)。
- 根据递推关系，构造 \(n \times n\) 对称三对角雅可比矩阵 \(J_n\)，其中：
- 对角线元 \(\alpha_k = \frac{\beta^2 - \alpha^2}{(2k+\alpha+\beta)(2k+\alpha+\beta+2)}\), \(k=0,1,\dots,n-1\)
- 次对角线元 \(\beta_k = \frac{2}{2k+\alpha+\beta} \sqrt{ \frac{k(k+\alpha)(k+\beta)(k+\alpha+\beta)}{(2k+\alpha+\beta-1)(2k+\alpha+\beta+1)} }\), \(k=1,\dots,n-1\)
- 计算 \(J_n\) 的所有特征值 \(\lambda_i\) 和对应的单位特征向量 \(v^{(i)}\)（尤其注意每个特征向量的第一个分量 \(v_1^{(i)}\)）。特征值就是节点：\(x_i = \lambda_i\)。
- 计算权重：\(w_i = \mu_0 \left( v_1^{(i)} \right)^2\)。
这样就得到了 \(n\) 点高斯-雅可比求积公式的节点 \(x_i\) 和权重 \(w_i\)。
最终积分近似为：
\[\int_{-1}^{1} (1-x)^{\alpha} (1+x)^{\beta} f(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i) \]
该公式对所有次数不超过 \(2n-1\) 的多项式精确成立。
小结
高斯-雅可比求积的核心是利用与权函数对应的雅可比多项式的正交性，将节点取为该多项式的零点，并通过特征值问题高效计算节点和权重。这种方法特别适用于被积函数在端点有代数奇异性（由权函数刻画）的积分，能以较少的节点获得高精度。