基于Krylov子空间的广义共轭残差法（GCR）及其在分块矩阵求解多重右端项线性方程组中的应用
我们先理解题目。您提到的“广义共轭残差法（GCR）”是一种用于求解非对称线性方程组的迭代方法，它属于Krylov子空间方法家族。当线性方程组具有多重右端项，并且其系数矩阵是分块结构时，GCR算法可以经过调整，在一次迭代过程中同时处理所有右端项对应的残差，从而提高计算效率。我们将分步讲解。
第一步：问题定义
假设我们需要求解一个线性方程组系统：
\[A X = B \]
其中：
- \(A\) 是一个 \(n \times n\) 的大型稀疏（或稠密）矩阵，具有某种分块结构。
- \(B\) 是一个 \(n \times s\) 的矩阵，包含 \(s\) 个右端项，即 \(B = [\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, ..., \mathbf{b}_s]\)。
- \(X\) 是一个 \(n \times s\) 的待求解矩阵，包含对应的 \(s\) 个解向量，即 \(X = [\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, ..., \mathbf{x}_s]\)。
我们的目标是利用GCR算法的思想，设计一种能同时求解这 \(s\) 个方程组的算法，并利用分块操作（一次对一组向量进行矩阵-向量乘、内积等）来提升性能。
第二步：回顾标准GCR算法（单右端项）
对于单个右端项的方程 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\)，标准GCR算法步骤如下：
- 初始化：给定初始猜测解 \(\mathbf{x}_0\)，计算初始残差 \(\mathbf{r}_0 = \mathbf{b} - A\mathbf{x}_0\)。令 \(\mathbf{p}_0 = \mathbf{r}_0\)。
- 迭代：对于 \(k = 0, 1, 2, ...\) 直到收敛：
a. 计算矩阵向量积 \(\mathbf{v}_k = A \mathbf{p}_k\)。
b. 计算最优步长 \(\alpha_k = \frac{\langle \mathbf{r}_k, \mathbf{v}_k \rangle}{\langle \mathbf{v}_k, \mathbf{v}_k \rangle}\)。这里 \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) 表示向量内积。
c. 更新解和残差：\(\mathbf{x}_{k+1} = \mathbf{x}_k + \alpha_k \mathbf{p}_k\)， \(\mathbf{r}_{k+1} = \mathbf{r}_k - \alpha_k \mathbf{v}_k\)。
d. 对新的搜索方向 \(\mathbf{p}_{k+1}\) 进行正交化：\(\mathbf{p}_{k+1} = \mathbf{r}_{k+1} - \sum_{j=0}^{k} \beta_{j}^{(k)} \mathbf{p}_j\)，其中系数 \(\beta_{j}^{(k)} = \frac{\langle A\mathbf{r}_{k+1}, A\mathbf{p}_j \rangle}{\langle A\mathbf{p}_j, A\mathbf{p}_j \rangle}\)。这确保了 \(A\mathbf{p}_{k+1}\) 与所有之前的 \(\{A\mathbf{p}_0, ..., A\mathbf{p}_k\}\) 正交，从而最小化新的残差范数。
第三步：扩展到多重右端项（分块GCR）
核心思想是将 \(s\) 个右端项视为一个整体，用矩阵表示。算法流程与标准GCR类似，但操作对象从向量变为矩阵。
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初始化：
- 初始猜测解矩阵 \(X_0\)（例如全零矩阵）。
- 计算初始残差矩阵 \(R_0 = B - A X_0\)。
- 令初始搜索方向矩阵 \(P_0 = R_0\)。
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迭代：对于 \(k = 0, 1, 2, ...\) 直到所有（或大部分）残差满足收敛条件：
a. 矩阵-矩阵乘积：计算 \(V_k = A P_k\)。这是算法中最耗时的步骤。由于 \(P_k\) 是 \(n \times s\) 矩阵，这相当于 \(s\) 次独立的矩阵-向量乘，但可以利用矩阵分块特性或并行计算一次性完成，效率高于串行执行 \(s\) 次。
b. 计算最优步长矩阵：我们希望找到一个 \(s \times s\) 的步长矩阵 \(\Alpha_k\)，最小化新残差的某种范数。推导可得，最优更新为：
\[ \Alpha_k = (V_k^T V_k)^{-1} (V_k^T R_k) \]
这里 $ (\cdot)^T $ 表示转置。$ V_k^T V_k $ 和 $ V_k^T R_k $ 都是 $ s \times s $ 的小矩阵，计算成本很低。
c. **更新解和残差**：
\[ X_{k+1} = X_k + P_k \Alpha_k \]
\[ R_{k+1} = R_k - V_k \Alpha_k \]
d. **正交化新的搜索方向**：
我们希望新的搜索方向矩阵 $ P_{k+1} $ 满足其经过 $ A $ 变换后的像 $ A P_{k+1} $ 与之前所有的 $ \{V_0, ..., V_k\} $ 正交（在Frobenius内积意义下）。
这通过分块Gram-Schmidt过程实现：
\[ P_{k+1} = R_{k+1} - \sum_{j=0}^{k} P_j \Beta_{j}^{(k)} \]
其中系数矩阵 $ \Beta_{j}^{(k)} $ 由下式确定：
\[ \Beta_{j}^{(k)} = (V_j^T V_j)^{-1} (V_j^T (A R_{k+1})) \]
计算 $ W_{k+1} = A R_{k+1} $，然后计算 $ V_j^T W_{k+1} $ 和 $ V_j^T V_j $ 的逆。注意，$ V_j^T V_j $ 在步骤b中可能已经计算并存储，可复用。
e. 为了数值稳定性，可以对 $ P_{k+1} $ 进行重新正交化，或进行QR分解。
第四步：算法特性与优势
- 分块操作：算法中的核心运算（\(A P_k\), \(P_k \Alpha_k\), \(V_k^T V_k\) 等）都是对 \(n \times s\) 矩阵的操作。这能更好地利用现代计算机的层次化内存和并行计算单元（如BLAS-3级运算），提升数据局部性和计算吞吐量。
- 信息共享：所有右端项共享同一个系数矩阵 \(A\) 和Krylov子空间生成过程。搜索方向的正交化条件保证了算法在整体意义下的最优性，可能加速那些右端项相关的问题的收敛。
- 收敛性：收敛准则通常基于残差矩阵 \(R_k\) 的范数（如Frobenius范数）。算法为所有右端项同时产生一系列近似解。
- 预处理：可以引入预处理矩阵 \(M\)（例如，基于 \(A\) 的分块不完全LU分解），将原系统转化为 \(M^{-1} A X = M^{-1} B\)。在算法中，这体现为用预处理后的残差 \(M^{-1} R_k\) 代替 \(R_k\) 来生成搜索方向，并相应调整矩阵乘积的计算。
第五步：总结流程
- 初始化 \(X_0, R_0 = B - A X_0, P_0 = R_0\)。
- For \(k = 0, 1, ...\) until convergence:
- 计算 \(V_k = A P_k\)。
- 求解小规模线性系统（或计算逆）\((V_k^T V_k) \Alpha_k = V_k^T R_k\) 得到 \(\Alpha_k\)。
- 更新 \(X_{k+1} = X_k + P_k \Alpha_k\)。
- 更新 \(R_{k+1} = R_k - V_k \Alpha_k\)。
- 计算 \(W_{k+1} = A R_{k+1}\)。
- For \(j = 0\) to \(k\):
- 计算 \(\Beta_j^{(k)} = (V_j^T V_j)^{-1} (V_j^T W_{k+1})\)。
- 更新 \(R_{k+1} := R_{k+1} - P_j \Beta_j^{(k)}\) (可选，用于增强稳定性)。
- 令新的搜索方向 \(P_{k+1} = R_{k+1}\) (或对 \(R_{k+1}\) 进行标准化)。
- 输出近似解矩阵 \(X_{k+1}\)。
这种方法将多个独立的线性方程组求解问题耦合在一个迭代框架内，通过共享矩阵-矩阵乘和正交化过程，显著提升了在分块矩阵和多重右端项场景下的求解效率。