列生成算法在车辆路径规划与电动汽车充电策略协同优化问题中的应用示例
字数 4113 2025-12-13 09:48:21

列生成算法在车辆路径规划与电动汽车充电策略协同优化问题中的应用示例

问题描述

这个问题是传统车辆路径问题（Vehicle Routing Problem, VRP）的一个扩展，称为电动车辆路径问题（Electric Vehicle Routing Problem, E-VRP）。与使用传统燃油车辆不同，我们调度一支电动汽车车队为一系列客户点提供服务。每辆车从配送中心出发，完成任务后返回中心。由于电动汽车电池容量有限，在长途行驶中可能需要中途充电。因此，路径规划不仅要决定访问客户的顺序，还要决策何时、在哪个充电站进行充电，以及充多少电。目标是找到总成本（通常与行驶距离或时间成正比）最小的配送方案，同时满足所有客户需求、车辆载重限制、电池电量约束以及时间窗等。

为什么用列生成？

E-VRP是一个复杂的组合优化问题，通常建模为混合整数规划。决策变量数量庞大（每条可能的“路径”都是一个决策变量）。列生成算法是解决此类大规模线性规划（或其松弛问题）的有效方法，它不一次性枚举所有可能的路径（对应变量），而是从一个小子集开始，通过求解一个定价子问题来动态生成“有潜力降低总成本”的新路径（即新的列），逐步逼近最优解。

建模与分解

我们将采用基于集合划分（Set Partitioning）的主问题模型。

  1. 主问题（Master Problem, MP）:
    • 集合定义: 设 \(R\) 是所有可行车辆路径的集合。一条可行路径 \(r \in R\) 需满足：从仓库出发，服务一系列客户（每个最多一次），在需要时访问充电站，最后返回仓库，且不违反载重、电量、时间窗等约束。
    • 参数:
      • \(c_r\): 路径 \(r\) 的总行驶成本（距离或时间）。
      • \(a_{ir}\): 二进制参数，如果路径 \(r\) 服务客户 \(i\)，则为1；否则为0。
    • 决策变量: \(\lambda_r\): 二进制变量，如果路径 \(r\) 被选择在最终方案中，则为1；否则为0。
    • 模型:

\[ \begin{aligned} \min \quad & \sum_{r \in R} c_r \lambda_r & \\ \text{s.t.} \quad & \sum_{r \in R} a_{ir} \lambda_r = 1, \quad \forall \text{客户} i & \text{(每个客户被服务恰好一次)} \\ & \sum_{r \in R} \lambda_r = K & \text{(使用恰好K辆车，或≤K辆)} \\ & \lambda_r \in \{0,1\}, \quad \forall r \in R & \end{aligned} \]

*   **松弛:** 这是一个整数规划，直接求解困难。我们通常先求解其线性规划松弛（LRMP），即允许 $ 0 \leq \lambda_r \leq 1 $。
  1. 定价子问题（Pricing Subproblem）:
    • 在求解LRMP的对偶问题后，我们会得到一组对偶变量 \(\pi_i\)（对应每个客户约束）和 \(\sigma\)（对应车队规模约束）。
    • 目标: 寻找一条新的、能降低主问题目标函数值的路径，即寻找一条路径 \(r\)，其降低的成本（Reduced Cost） \(\bar{c}_r < 0\)。
    • 一条路径 \(r\) 的降低的成本计算为：

\[ \bar{c}_r = c_r - \sum_{i \in r} \pi_i - \sigma \]

    这里 $ \sum_{i \in r} \pi_i $ 是路径 $ r $ 所服务的所有客户的 $ \pi_i $ 之和。
*   因此，定价子问题的目标是：在满足所有电量、载重、时间窗等可行路径约束下，找到一条使 $ \bar{c}_r $ 最小（通常为负且尽可能小）的路径。这可以建模为一个**带资源约束的最短路径问题**，其中资源包括：剩余电量、已用时间、已服务客户等。

算法步骤详解

列生成算法求解E-VRP的线性规划松弛，其步骤如下：

  1. 初始化受限主问题（Restricted Master Problem, RMP）:

    • 构造一个包含少量初始可行路径的集合 \(R' \subset R\)。这些初始路径可以是简单的“单客户往返”路径，确保每个客户至少被一条路径覆盖，且满足所有约束（包括电量）。如果难以构造，可以引入人工变量或使用启发式方法生成。

  2. 循环迭代:
    a. 求解RMP: 求解当前RMP的线性规划松弛，得到最优解 \(\lambda_r^*\) 和对应的对偶变量 \(\pi_i^*\)（每个客户）和 \(\sigma^*\)（车队规模）。
    b. 求解定价子问题（找负检验数的列）:
    * 利用上一步得到的对偶变量 \(\pi_i^*\) 和 \(\sigma^*\)，计算任何可行路径 \(r\) 的降低的成本： \(\bar{c}_r = c_r - \sum_{i \in r} \pi_i^* - \sigma^*\)。
    * 我们需要解决一个带资源约束的最短路径问题，目标是找到 \(\bar{c}_r\) 最小的路径。由于图结构复杂（包含客户点、充电站、仓库），且约束多（时间、电量），通常使用动态规划（如标记算法，Labeling Algorithm）或专门的图搜索算法（如基于Dijkstra的算法，加入资源状态扩展）来求解。
    * 在搜索过程中，一个“状态”（标记）可能记录：(当前节点， 已服务客户集合， 剩余电量， 当前时间)。通过状态扩展和支配规则（如果一个状态的各项资源都不比另一个差，且累积成本更低，则后者被支配，可删除）来剪枝，提高效率。
    c. 判断与添加列:
    * 如果在步骤b中找到了一条或多条路径 \(r\)，其降低的成本 \(\bar{c}_r < 0\)，则将其中降低的成本最小（或所有负的）的路径作为新列（变量 \(\lambda_{r_{new}}\)）添加到RMP的系数矩阵中（即更新 \(c_r, a_{ir}\)）。
    * 如果没有找到任何 \(\bar{c}_r < 0\) 的路径，则根据线性规划的对偶理论，当前RMP的解就是整个LRMP的最优解。列生成过程结束。

  3. 获取最终整数解:

    • 上述过程结束时，我们得到了E-VRP的线性规划松弛最优解 \(\lambda_r^*\)（可能是分数解）。
    • 要得到整数解（实际的车辆路径方案），通常有几种方法：
      • 分支定价（Branch and Price）: 在列生成框架上加入分支定界。当RMP的松弛解是分数时，选择一个分数变量（例如，某客户被两条路径以0.5、0.5服务）进行分支（例如，强制该客户必须被同一条路径服务，或禁止被同一条路径服务），然后在每个分支节点上继续运行列生成。这是最精确的方法，但实现复杂。
      • 启发式舍入: 直接对分数解 \(\lambda_r^*\) 进行舍入。例如，选择 \(\lambda_r^*\) 值最大的几条路径，构成一个可行的整数解。这可能不是最优的，甚至可能不可行，需要后续调整。
      • 将分数解作为下界，用元启发式搜索（如遗传算法、大邻域搜索）寻找好的整数解。

核心难点：定价子问题的建模与求解

在E-VRP中，定价子问题尤为复杂，因为它必须精确模拟电量的消耗与补充。

  • 图模型： 构建一个扩展图。节点包括：仓库（起点和终点）、所有客户点、所有充电站（充电站节点可能需要复制以表示多次访问）。有向边表示可行的移动，其权重是行驶成本（距离）或时间。
  • 电量约束建模： 每条边 \((u, v)\) 消耗一定的电量 \(e_{uv}\)。车辆从仓库出发时电池满电 \(Q\)。在客户点只能消耗电量。在充电站，车辆可以充电至满电（假设即时充满或按模型设定充电量）。在状态扩展时，必须追踪剩余电量，确保其非负。到达充电站节点时，电量状态重置为 \(Q\)。
  • 时间窗约束： 如果存在客户时间窗，状态中还需记录到达当前节点的时间，并确保在时间窗内服务客户。

求解定价子问题的标记算法（Labeling Algorithm）伪代码思路：

  1. 初始化一个优先队列（按路径的降低的成本排序）。
  2. 从仓库节点开始，创建初始标记（状态），记录位置、已服务客户（或路径成本）、剩余电量、当前时间、降低的成本等。
  3. While 优先队列非空:
    a. 取出当前降低的成本最小的标记。
    b. 扩展此标记：考虑从当前位置出发，能到达的所有合法节点（考虑电量、时间窗）。
    c. 对于每个合法到达节点，计算新状态（更新位置、剩余电量、时间、降低的成本等）。
    d. 应用支配规则：比较新状态与已有到达该节点的状态。如果新状态在降低的成本、剩余电量、时间上都不差于某个已有状态，则新状态支配旧状态，可删除旧状态；反之亦然。
    e. 如果新状态不被任何已有状态支配，则将其加入优先队列，并作为到达该节点的有效状态存储起来。
  4. 最终，到达仓库终点（返回仓库）的标记中，降低的成本最小的那个即对应定价子问题的最优解（路径）。

总结

通过列生成算法解决E-VRP，我们将一个大规模的组合优化问题分解为：

  1. 一个主问题，负责组合已生成的路径，以最小化总成本并覆盖所有客户。
  2. 一个定价子问题，负责探索网络，生成具有“成本潜力”的新路径，其本质是一个带资源（电量、时间）约束的最短路径问题。

算法迭代地在两者之间切换，直至找不到能改进当前主问题解的新路径，从而高效地求解了原问题的线性规划松弛，为获得高质量整数解提供了坚实的基础。这种方法能很好地处理电动汽车的续航和充电约束，是当前解决复杂物流规划问题的重要工具。

列生成算法在车辆路径规划与电动汽车充电策略协同优化问题中的应用示例 问题描述 这个问题是传统车辆路径问题（Vehicle Routing Problem, VRP）的一个扩展，称为电动车辆路径问题（Electric Vehicle Routing Problem, E-VRP）。与使用传统燃油车辆不同，我们调度一支电动汽车车队为一系列客户点提供服务。每辆车从配送中心出发，完成任务后返回中心。由于电动汽车电池容量有限，在长途行驶中可能需要中途充电。因此，路径规划不仅要决定访问客户的顺序，还要决策何时、在哪个充电站进行充电，以及充多少电。目标是找到总成本（通常与行驶距离或时间成正比）最小的配送方案，同时满足所有客户需求、车辆载重限制、电池电量约束以及时间窗等。 为什么用列生成？ E-VRP是一个复杂的组合优化问题，通常建模为混合整数规划。决策变量数量庞大（每条可能的“路径”都是一个决策变量）。列生成算法是解决此类大规模线性规划（或其松弛问题）的有效方法，它不一次性枚举所有可能的路径（对应变量），而是从一个小子集开始，通过求解一个定价子问题来动态生成“有潜力降低总成本”的新路径（即新的列），逐步逼近最优解。 建模与分解 我们将采用基于集合划分（Set Partitioning）的主问题模型。 主问题（Master Problem, MP）: 集合定义: 设 \( R \) 是所有可行车辆路径的集合。一条可行路径 \( r \in R \) 需满足：从仓库出发，服务一系列客户（每个最多一次），在需要时访问充电站，最后返回仓库，且不违反载重、电量、时间窗等约束。 参数: \( c_ r \): 路径 \( r \) 的总行驶成本（距离或时间）。 \( a_ {ir} \): 二进制参数，如果路径 \( r \) 服务客户 \( i \)，则为1；否则为0。 决策变量: \( \lambda_ r \): 二进制变量，如果路径 \( r \) 被选择在最终方案中，则为1；否则为0。 模型: \[ \begin{aligned} \min \quad & \sum_ {r \in R} c_ r \lambda_ r & \\ \text{s.t.} \quad & \sum_ {r \in R} a_ {ir} \lambda_ r = 1, \quad \forall \text{客户} i & \text{(每个客户被服务恰好一次)} \\ & \sum_ {r \in R} \lambda_ r = K & \text{(使用恰好K辆车，或≤K辆)} \\ & \lambda_ r \in \{0,1\}, \quad \forall r \in R & \end{aligned} \] 松弛: 这是一个整数规划，直接求解困难。我们通常先求解其线性规划松弛（LRMP），即允许 \( 0 \leq \lambda_ r \leq 1 \)。 定价子问题（Pricing Subproblem）: 在求解LRMP的对偶问题后，我们会得到一组对偶变量 \( \pi_ i \)（对应每个客户约束）和 \( \sigma \)（对应车队规模约束）。 目标: 寻找一条新的、能降低主问题目标函数值的路径，即寻找一条路径 \( r \)，其 降低的成本（Reduced Cost） \( \bar{c}_ r < 0 \)。 一条路径 \( r \) 的降低的成本计算为： \[ \bar{c} r = c_ r - \sum {i \in r} \pi_ i - \sigma \] 这里 \( \sum_ {i \in r} \pi_ i \) 是路径 \( r \) 所服务的所有客户的 \( \pi_ i \) 之和。 因此，定价子问题的目标是：在满足所有电量、载重、时间窗等可行路径约束下，找到一条使 \( \bar{c}_ r \) 最小（通常为负且尽可能小）的路径。这可以建模为一个 带资源约束的最短路径问题 ，其中资源包括：剩余电量、已用时间、已服务客户等。 算法步骤详解 列生成算法求解E-VRP的线性规划松弛，其步骤如下： 初始化受限主问题（Restricted Master Problem, RMP）: 构造一个包含少量初始可行路径的集合 \( R' \subset R \)。这些初始路径可以是简单的“单客户往返”路径，确保每个客户至少被一条路径覆盖，且满足所有约束（包括电量）。如果难以构造，可以引入人工变量或使用启发式方法生成。 循环迭代: a. 求解RMP: 求解当前RMP的线性规划松弛，得到最优解 \( \lambda_ r^* \) 和对应的 对偶变量 \( \pi_ i^* \)（每个客户）和 \( \sigma^* \)（车队规模）。 b. 求解定价子问题（找负检验数的列）: * 利用上一步得到的对偶变量 \( \pi_ i^* \) 和 \( \sigma^* \)，计算任何可行路径 \( r \) 的降低的成本： \( \bar{c} r = c_ r - \sum {i \in r} \pi_ i^* - \sigma^* \)。 * 我们需要解决一个 带资源约束的最短路径问题 ，目标是找到 \( \bar{c} r \) 最小的路径。由于图结构复杂（包含客户点、充电站、仓库），且约束多（时间、电量），通常使用 动态规划 （如标记算法，Labeling Algorithm）或专门的 图搜索算法 （如基于Dijkstra的算法，加入资源状态扩展）来求解。 * 在搜索过程中，一个“状态”（标记）可能记录：(当前节点， 已服务客户集合， 剩余电量， 当前时间)。通过状态扩展和支配规则（如果一个状态的各项资源都不比另一个差，且累积成本更低，则后者被支配，可删除）来剪枝，提高效率。 c. 判断与添加列: * 如果在步骤b中找到了一条或多条路径 \( r \)，其降低的成本 \( \bar{c} r < 0 \)，则将其中降低的成本最小（或所有负的）的路径作为新列（变量 \( \lambda {r {new}} \)）添加到RMP的系数矩阵中（即更新 \( c_ r, a_ {ir} \)）。 * 如果没有找到任何 \( \bar{c}_ r < 0 \) 的路径，则根据线性规划的对偶理论，当前RMP的解就是 整个LRMP的最优解 。列生成过程结束。 获取最终整数解: 上述过程结束时，我们得到了E-VRP的线性规划松弛最优解 \( \lambda_ r^* \)（可能是分数解）。 要得到整数解（实际的车辆路径方案），通常有几种方法： 分支定价（Branch and Price）: 在列生成框架上加入分支定界。当RMP的松弛解是分数时，选择一个分数变量（例如，某客户被两条路径以0.5、0.5服务）进行分支（例如，强制该客户必须被同一条路径服务，或禁止被同一条路径服务），然后在每个分支节点上继续运行列生成。这是最精确的方法，但实现复杂。 启发式舍入: 直接对分数解 \( \lambda_ r^* \) 进行舍入。例如，选择 \( \lambda_ r^* \) 值最大的几条路径，构成一个可行的整数解。这可能不是最优的，甚至可能不可行，需要后续调整。 将分数解作为下界，用元启发式搜索（如遗传算法、大邻域搜索）寻找好的整数解。 核心难点：定价子问题的建模与求解 在E-VRP中，定价子问题尤为复杂，因为它必须精确模拟电量的消耗与补充。 图模型： 构建一个扩展图。节点包括：仓库（起点和终点）、所有客户点、所有充电站（充电站节点可能需要复制以表示多次访问）。有向边表示可行的移动，其权重是行驶成本（距离）或时间。 电量约束建模： 每条边 \((u, v)\) 消耗一定的电量 \( e_ {uv} \)。车辆从仓库出发时电池满电 \( Q \)。在客户点只能消耗电量。在充电站，车辆可以充电至满电（假设即时充满或按模型设定充电量）。在状态扩展时，必须追踪剩余电量，确保其非负。到达充电站节点时，电量状态重置为 \( Q \)。 时间窗约束： 如果存在客户时间窗，状态中还需记录到达当前节点的时间，并确保在时间窗内服务客户。 求解定价子问题的标记算法（Labeling Algorithm）伪代码思路： 初始化一个优先队列（按路径的降低的成本排序）。 从仓库节点开始，创建初始标记（状态），记录位置、已服务客户（或路径成本）、剩余电量、当前时间、降低的成本等。 While 优先队列非空: a. 取出当前降低的成本最小的标记。 b. 扩展此标记：考虑从当前位置出发，能到达的所有合法节点（考虑电量、时间窗）。 c. 对于每个合法到达节点，计算新状态（更新位置、剩余电量、时间、降低的成本等）。 d. 应用 支配规则 ：比较新状态与已有到达该节点的状态。如果新状态在降低的成本、剩余电量、时间上都不差于某个已有状态，则新状态支配旧状态，可删除旧状态；反之亦然。 e. 如果新状态不被任何已有状态支配，则将其加入优先队列，并作为到达该节点的有效状态存储起来。 最终，到达仓库终点（返回仓库）的标记中，降低的成本最小的那个即对应定价子问题的最优解（路径）。 总结 通过列生成算法解决E-VRP，我们将一个大规模的组合优化问题分解为： 一个主问题 ，负责组合已生成的路径，以最小化总成本并覆盖所有客户。 一个定价子问题 ，负责探索网络，生成具有“成本潜力”的新路径，其本质是一个带资源（电量、时间）约束的最短路径问题。 算法迭代地在两者之间切换，直至找不到能改进当前主问题解的新路径，从而高效地求解了原问题的线性规划松弛，为获得高质量整数解提供了坚实的基础。这种方法能很好地处理电动汽车的续航和充电约束，是当前解决复杂物流规划问题的重要工具。