非线性规划中的割线法进阶题
字数 2836 2025-12-13 07:38:46

非线性规划中的割线法进阶题

题目描述

考虑一个无约束非线性优化问题：

\[\min_{x \in \mathbb{R}^n} f(x), \]

其中 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 是一个二阶连续可微函数，但Hessian矩阵 \(\nabla^2 f(x)\) 的计算成本很高，无法直接用于每次迭代。我们希望通过割线法（Secant Method）来近似Hessian矩阵，并构造一个拟牛顿法框架，以高效求解该优化问题。请设计一个基于割线法的拟牛顿算法，并逐步解释其原理、迭代格式和收敛性保证。

解题步骤

1. 背景知识：牛顿法与拟牛顿法

在牛顿法中，迭代格式为：

\[x_{k+1} = x_k - [\nabla^2 f(x_k)]^{-1} \nabla f(x_k), \]

但计算Hessian矩阵及其逆矩阵的计算量很大，尤其当 \(n\) 很大时。拟牛顿法的核心思想是：用一个近似矩阵 \(B_k\) 代替 \(\nabla^2 f(x_k)\)，并通过迭代逐步修正 \(B_k\)，使其满足割线方程（Secant Equation）。

2. 割线方程与拟牛顿条件

假设我们已经有两个迭代点 \(x_k\) 和 \(x_{k+1}\)，对应的梯度为 \(g_k = \nabla f(x_k)\) 和 \(g_{k+1} = \nabla f(x_{k+1})\)。根据Taylor展开：

\[g_{k+1} - g_k \approx \nabla^2 f(x_k) (x_{k+1} - x_k). \]

定义差量：

\[s_k = x_{k+1} - x_k, \quad y_k = g_{k+1} - g_k. \]

我们希望近似矩阵 \(B_{k+1}\) 满足：

\[B_{k+1} s_k = y_k \quad \text{(割线方程)}. \]

这称为拟牛顿条件，确保 \(B_{k+1}\) 在方向 \(s_k\) 上与真实Hessian矩阵一致。

3. 割线法的矩阵更新公式（Broyden族）

拟牛顿法有多种更新公式，最常用的是BFGS（Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno）公式，其逆矩阵 \(H_k = B_k^{-1}\) 的更新为：

\[H_{k+1} = \left( I - \frac{s_k y_k^T}{y_k^T s_k} \right) H_k \left( I - \frac{y_k s_k^T}{y_k^T s_k} \right) + \frac{s_k s_k^T}{y_k^T s_k}. \]

该公式通过秩二修正保持矩阵的正定性（当 \(y_k^T s_k > 0\) 时），并满足割线方程 \(H_{k+1} y_k = s_k\)。

4. 基于割线法的拟牛顿算法流程

我们以BFGS方法为例，展示算法步骤：

输入：初始点 \(x_0\)，初始正定矩阵 \(H_0\)（通常取单位矩阵 \(I\)），梯度精度 \(\epsilon > 0\)。
输出：近似最优解 \(x^*\)。

  1. 初始化：设 \(k = 0\)，计算梯度 \(g_0 = \nabla f(x_0)\)。
  2. 循环迭代直到 \(\|g_k\| < \epsilon\)：
    a. 计算搜索方向：\(d_k = -H_k g_k\)。
    b. 线搜索：通过Wolfe条件（或Armijo条件）确定步长 \(\alpha_k > 0\)，使得：

\[ f(x_k + \alpha_k d_k) \le f(x_k) + c_1 \alpha_k g_k^T d_k, \quad g_{k+1}^T d_k \ge c_2 g_k^T d_k, \]

  其中 $ 0 < c_1 < c_2 < 1 $。

c. 更新迭代点：\(x_{k+1} = x_k + \alpha_k d_k\)。
d. 计算梯度差：\(g_{k+1} = \nabla f(x_{k+1})\)，令 \(s_k = x_{k+1} - x_k\)，\(y_k = g_{k+1} - g_k\)。
e. 检查曲率条件：若 \(y_k^T s_k > 0\)，则更新 \(H_{k+1}\) 为：

\[ H_{k+1} = \left( I - \frac{s_k y_k^T}{y_k^T s_k} \right) H_k \left( I - \frac{y_k s_k^T}{y_k^T s_k} \right) + \frac{s_k s_k^T}{y_k^T s_k}. \]

  否则，重置 $ H_{k+1} = I $（跳过更新）。

f. \(k \leftarrow k + 1\)。
3. 返回 \(x_k\)。

5. 关键细节与收敛性

  • 曲率条件：\(y_k^T s_k > 0\) 是正定性的保证，可通过精确线搜索或Wolfe条件自动满足。
  • 正定性保持：若 \(H_0\) 正定且 \(y_k^T s_k > 0\)，BFGS更新保持 \(H_k\) 正定，从而保证下降方向 \(d_k\)。
  • 收敛性：在目标函数 \(f\) 凸且 Lipschitz 光滑的条件下，BFGS算法具有超线性收敛速度。对于非凸问题，在适当条件下也能收敛到稳定点。

6. 示例：二维Rosenbrock函数优化

考虑 \(f(x) = 100 (x_2 - x_1^2)^2 + (1 - x_1)^2\)，起点 \(x_0 = (-1.2, 1)^T\)。

  • 初始梯度 \(g_0 = (-215.6, 88)^T\)。
  • 取 \(H_0 = I\)，计算 \(d_0 = -g_0\)，执行线搜索得 \(\alpha_0\)。
  • 迭代中，BFGS通过 \(s_k\) 和 \(y_k\) 逐步修正 \(H_k\)，最终快速收敛至极小点 \((1, 1)^T\)。

总结

割线法通过梯度差信息构造Hessian近似，避免了直接计算二阶导数。BFGS作为其典型代表，通过秩二更新保持正定性，结合线搜索可高效求解大规模无约束优化问题。进阶应用中，还可结合有限内存版本（L-BFGS）处理高维数据。

非线性规划中的割线法进阶题 题目描述 考虑一个无约束非线性优化问题： \[ \min_ {x \in \mathbb{R}^n} f(x), \] 其中 \( f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) 是一个二阶连续可微函数，但Hessian矩阵 \( \nabla^2 f(x) \) 的计算成本很高，无法直接用于每次迭代。我们希望通过割线法（Secant Method）来近似Hessian矩阵，并构造一个拟牛顿法框架，以高效求解该优化问题。请设计一个基于割线法的拟牛顿算法，并逐步解释其原理、迭代格式和收敛性保证。 解题步骤 1. 背景知识：牛顿法与拟牛顿法 在牛顿法中，迭代格式为： \[ x_ {k+1} = x_ k - [ \nabla^2 f(x_ k)]^{-1} \nabla f(x_ k), \] 但计算Hessian矩阵及其逆矩阵的计算量很大，尤其当 \( n \) 很大时。拟牛顿法的核心思想是：用一个近似矩阵 \( B_ k \) 代替 \( \nabla^2 f(x_ k) \)，并通过迭代逐步修正 \( B_ k \)，使其满足割线方程（Secant Equation）。 2. 割线方程与拟牛顿条件 假设我们已经有两个迭代点 \( x_ k \) 和 \( x_ {k+1} \)，对应的梯度为 \( g_ k = \nabla f(x_ k) \) 和 \( g_ {k+1} = \nabla f(x_ {k+1}) \)。根据Taylor展开： \[ g_ {k+1} - g_ k \approx \nabla^2 f(x_ k) (x_ {k+1} - x_ k). \] 定义差量： \[ s_ k = x_ {k+1} - x_ k, \quad y_ k = g_ {k+1} - g_ k. \] 我们希望近似矩阵 \( B_ {k+1} \) 满足： \[ B_ {k+1} s_ k = y_ k \quad \text{(割线方程)}. \] 这称为拟牛顿条件，确保 \( B_ {k+1} \) 在方向 \( s_ k \) 上与真实Hessian矩阵一致。 3. 割线法的矩阵更新公式（Broyden族） 拟牛顿法有多种更新公式，最常用的是BFGS（Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno）公式，其逆矩阵 \( H_ k = B_ k^{-1} \) 的更新为： \[ H_ {k+1} = \left( I - \frac{s_ k y_ k^T}{y_ k^T s_ k} \right) H_ k \left( I - \frac{y_ k s_ k^T}{y_ k^T s_ k} \right) + \frac{s_ k s_ k^T}{y_ k^T s_ k}. \] 该公式通过秩二修正保持矩阵的正定性（当 \( y_ k^T s_ k > 0 \) 时），并满足割线方程 \( H_ {k+1} y_ k = s_ k \)。 4. 基于割线法的拟牛顿算法流程 我们以BFGS方法为例，展示算法步骤： 输入 ：初始点 \( x_ 0 \)，初始正定矩阵 \( H_ 0 \)（通常取单位矩阵 \( I \)），梯度精度 \( \epsilon > 0 \)。 输出 ：近似最优解 \( x^* \)。 初始化 ：设 \( k = 0 \)，计算梯度 \( g_ 0 = \nabla f(x_ 0) \)。 循环迭代 直到 \( \|g_ k\| < \epsilon \)： a. 计算搜索方向 ：\( d_ k = -H_ k g_ k \)。 b. 线搜索 ：通过Wolfe条件（或Armijo条件）确定步长 \( \alpha_ k > 0 \)，使得： \[ f(x_ k + \alpha_ k d_ k) \le f(x_ k) + c_ 1 \alpha_ k g_ k^T d_ k, \quad g_ {k+1}^T d_ k \ge c_ 2 g_ k^T d_ k, \] 其中 \( 0 < c_ 1 < c_ 2 < 1 \)。 c. 更新迭代点 ：\( x_ {k+1} = x_ k + \alpha_ k d_ k \)。 d. 计算梯度差 ：\( g_ {k+1} = \nabla f(x_ {k+1}) \)，令 \( s_ k = x_ {k+1} - x_ k \)，\( y_ k = g_ {k+1} - g_ k \)。 e. 检查曲率条件 ：若 \( y_ k^T s_ k > 0 \)，则更新 \( H_ {k+1} \) 为： \[ H_ {k+1} = \left( I - \frac{s_ k y_ k^T}{y_ k^T s_ k} \right) H_ k \left( I - \frac{y_ k s_ k^T}{y_ k^T s_ k} \right) + \frac{s_ k s_ k^T}{y_ k^T s_ k}. \] 否则，重置 \( H_ {k+1} = I \)（跳过更新）。 f. \( k \leftarrow k + 1 \)。 返回 \( x_ k \)。 5. 关键细节与收敛性 曲率条件 ：\( y_ k^T s_ k > 0 \) 是正定性的保证，可通过精确线搜索或Wolfe条件自动满足。 正定性保持 ：若 \( H_ 0 \) 正定且 \( y_ k^T s_ k > 0 \)，BFGS更新保持 \( H_ k \) 正定，从而保证下降方向 \( d_ k \)。 收敛性 ：在目标函数 \( f \) 凸且 Lipschitz 光滑的条件下，BFGS算法具有超线性收敛速度。对于非凸问题，在适当条件下也能收敛到稳定点。 6. 示例：二维Rosenbrock函数优化 考虑 \( f(x) = 100 (x_ 2 - x_ 1^2)^2 + (1 - x_ 1)^2 \)，起点 \( x_ 0 = (-1.2, 1)^T \)。 初始梯度 \( g_ 0 = (-215.6, 88)^T \)。 取 \( H_ 0 = I \)，计算 \( d_ 0 = -g_ 0 \)，执行线搜索得 \( \alpha_ 0 \)。 迭代中，BFGS通过 \( s_ k \) 和 \( y_ k \) 逐步修正 \( H_ k \)，最终快速收敛至极小点 \( (1, 1)^T \)。 总结 割线法通过梯度差信息构造Hessian近似，避免了直接计算二阶导数。BFGS作为其典型代表，通过秩二更新保持正定性，结合线搜索可高效求解大规模无约束优化问题。进阶应用中，还可结合有限内存版本（L-BFGS）处理高维数据。