带限制的字符串编码最短长度问题 题目描述 给定一个字符串 s ，我们可以用以下方式进行编码： 如果某个子串（长度大于1）可以表示为 k[encoded_string] ，其中 encoded_string 被重复 k 次（ k 为正整数），则可以将该子串编码为这种形式。 编码后的字符串长度计算方式为：数字 k 的位数 + 方括号内编码串的长度 + 2（方括号本身的长度）。例如， "abbbabbb" 可以编码为 "2[abbb]" ，长度计算： k=2 占1位，方括号内 "abbb" 长度为4，加上方括号2，总长度为 1+4+2=7 ，而原串长度为8，所以编码缩短。 如果子串无法压缩（即重复次数小于2），则保持原样。 编码可以嵌套，例如 "3[a2[c]]" 表示 "accaccacc" 。 要求：找出对给定字符串 s 进行编码后可能的最短长度（即编码不一定覆盖整个字符串，可以对任意子串进行编码，最后拼接起来）。 例如： 输入： s = "aaa" 输出： 3 解释：虽然可以编码为 "3[a]" ，但长度为 1+1+2=4 > 3 ，所以不编码。 输入： s = "aaaaaa" 输出： 3 解释：编码为 "6[a]" ，长度 = 1+1+2=4 ，但最优是 "3[aa]" ： aa 重复3次， aa 本身不压缩（长度2），所以总长度 = 1+2+2=5 ；其实 "2[aaa]" ： aaa 长度3，总长度 1+3+2=6 ；发现都不如直接原串长度6？等等，原串长度6，而 "6[a]" 长度4，为什么输出是3？这里其实最优是 "3[aa]" ？让我们仔细计算： "aaaaaa" 长度6。选项1： "6[a]" 长度4。选项2： "3[aa]" ： aa 是原串，长度2，编码后 3[aa] 长度 = 1+2+2=5。选项3： "2[aaa]" ：长度 = 1+3+2=6。所以最短是4，但示例说输出3，说明题目有特殊规则： 方括号内的字符串如果本身还能被编码，则要递归计算其最短编码长度 。所以 "aa" 本身长度为2，但如果编码成 "2[a]" 长度4>2，所以不编码。因此 "3[aa]" 中括号内长度取 aa 的最短编码长度2，总长度5。但为什么输出是3？因为 "aaaaaa" 可以编码为 "3[2[a]]" ：内部 "aa" 编码为 "2[a]" 长度4？不对，我们重新审视规则： 实际上，这个题目是 LeetCode 471 “Encode String with Shortest Length” 的变体。规则是： 你可以将任意连续子串编码为 k[ encoded_ substring]，其中 encoded_ substring 是子串重复 k 次，且 encoded_ substring 本身也可以被编码（递归） 。最终目标是整个字符串的编码最短长度。 所以对于 "aaaaaa" ： 方案1：不编码，长度6。 方案2：编码为 "6[a]" ，长度4。 方案3：先看子串 "aa" 的最短编码长度： "aa" 可以编码为 "2[a]" 长度4>2，所以不编码，长度2。那么 "aaaaaa" 作为 "aaa" 重复2次？ "aaa" 长度3，编码为 "3[a]" 长度4>3，所以不编码，长度3，那么 "2[aaa]" 长度 = 1+3+2=6。或者作为 "aa" 重复3次， "3[aa]" 长度 = 1+2+2=5。 方案4：嵌套编码： "3[2[a]]" ：内部 "aa" 编码为 "2[a]" 长度4，但 "2[a]" 不能再压缩，所以内部长度4，总长度 = 1+4+2=7。 实际上最短是 "6[a]" 长度4。但示例说输出3，是因为 LeetCode 原题中，数字 k 的位数不占长度？不对，数字占长度。那为什么输出3？可能示例是 "aaa" 输出3，我记错了。我们以题目为准： 计算编码后字符串的字符个数 ，数字、方括号、字母都算一个字符。所以 "6[a]" 是4个字符。那 "aaaaaa" 最短是4？但很多解法输出是4。其实本题是求最短编码长度，并不是输出编码串。 为了清晰，我们定义：给定字符串 s ，返回它能被编码成的最短字符串的长度。 解题思路 这是一个区间动态规划问题。我们需要知道对于任意子串 s[i:j] （左闭右开区间 [i, j) ），它的最短编码长度。设 dp[i][j] 表示子串 s[i:j] 的最短编码长度。 状态转移 ： 不分割 ：整个子串尝试直接编码为 k[encoded_substring] 形式。如何判断子串是否可以表示为某个字符串重复 k 次？我们可以枚举重复长度 len ，检查 s[i:j] 是否由 s[i:i+len] 重复构成。如果是，那么编码后的长度为： 数字k的位数 + 2 + dp[i][i+len] ，其中 dp[i][i+len] 是重复单元的最短编码长度（因为单元内部可能还能压缩）。注意 k = (j-i)/len 。 分割 ：将子串分成两部分分别编码然后拼接： dp[i][j] = min(dp[i][k] + dp[k][j]) ，其中 k 从 i+1 到 j-1 。 取上述两种情况的最小值。 基础情况 ：当子串长度 L=1 时， dp[i][i+1] = 1 （一个字符无法压缩）。 判断重复的方法 ：对于子串 s[i:j] ，长度 L = j-i 。枚举 len 从 1 到 L/2 ，如果 L % len == 0 且 s[i:j] 由 s[i:i+len] 重复构成（即 s[i:j] == s[i:i+len] * (L//len) ），则可以考虑编码。 最终答案 ： dp[0][n] ，其中 n 是 s 的长度。 详细步骤 我们用一个具体例子 s = "abbbabbb" 来演示。 初始化 ： n = 8 。创建二维数组 dp ，大小为 n x (n+1) ， dp[i][j] 表示子串 s[i:j] 的最短编码长度。先填充长度为1的子串： dp[i][i+1] = 1 。 按子串长度递增计算 ： 长度 L=2： 子串 "ab"：检查重复，len=1，L=2，2%1==0，重复单元 "a" 重复2次？"ab" != "aa"，所以不能整体编码。分割： dp[0][2] = min(dp[0][1]+dp[1][2]) = 1+1=2 。 子串 "bb"：重复单元 "b" 重复2次，"bb" == "bb"，可以编码为 "2[ b]"。数字位数=1，单元长度 dp[1][2] 是1，所以编码长度=1+1+2=4，但原长度是2，所以不编码，取 min(2,4)=2。 其他类似。 长度 L=3： 子串 "abb"：检查重复 len=1 不行，分割： dp[i][i+3] = min(dp[i][k]+dp[k][i+3]) 取最小。 逐步计算会发现，对于 "abbb"（L=4）： 检查重复：len=1，单元 "a" 重复4次？不行。len=2，单元 "ab" 重复2次？"abbb" != "abab"，不行。所以只能分割。 对于 "bbba" 等类似。 关键在 L=8 时，子串 "abbbabbb"： 检查重复：len=4，单元 "abbb" 重复2次？"abbbabbb" 前4位 "abbb"，后4位 "abbb"，相等。所以可以编码为 "2[ abbb]"。数字 k=2 位数1，单元 "abbb" 的最短编码长度 dp[0][4] 需要之前算好。假设 "abbb" 的最短编码长度是4（原串，因为无法压缩）。那么 "2[ abbb]" 长度 = 1 + 4 + 2 = 7。同时也要考虑分割方案，比如分成 "abbb" 和 "abbb"， dp[0][4]+dp[4][8]=4+4=8 。所以 dp[0][8] = min(7,8)=7 。 但注意，单元 "abbb" 本身可能还能压缩？"abbb" 中 "bbb" 可以编码为 "3[ b]"，但 "abbb" 作为一个整体能否压缩为 "1[ abbb]"? 不行，k必须大于1。所以 "abbb" 只能分割或原样。检查 "abbb" 重复：len=1不行，len=2不行，所以不能整体编码。分割：比如 "a"+"bbb"， dp[0][1]+dp[1][4]=1+? ，"bbb" 可以编码为 "3[ b ]" 长度4，但原长3，所以 "bbb" 最短是3（不编码）。所以 "abbb" 最短是 1+3=4。所以单元长度就是4。 因此整个串最短编码长度是7。 算法实现细节 判断子串 s[i:j] 是否由 s[i:i+len] 重复构成：可以用字符串匹配，但更高效的方法是将两个子串拼接，检查 (s[i:j] + s[i:j]).find(s[i:i+len], 1) < len ？更直接的方法是： s[i:j] == s[i:i+len] * (L//len) 。 数字位数计算： len(str(k)) 。 注意：编码时，如果 k=1 则不应编码（因为会变长）。 复杂度分析 时间复杂度：O(n³)，因为对于每个区间 O(n²)，需要枚举分割点 O(n) 和重复单元长度 O(n)。但实际重复检查可以优化：对于每个区间，枚举 len 整除 L，检查重复需要 O(L)，所以总 O(n⁴)？但我们可以用字符串哈希或 KMP 优化重复检查到 O(1)，那么总 O(n³)。 空间复杂度：O(n²)。 总结 这道题是区间动态规划的经典应用，难点在于状态转移时需要同时考虑整体编码和分割合并，并且整体编码需要判断子串是否由某个重复单元构成。通过自底向上计算所有区间的最短编码长度，最终得到整个字符串的最短编码长度。