随机化Hessian近似拟牛顿法在无约束优化问题中的应用
字数 4062 2025-12-13 03:55:08

随机化Hessian近似拟牛顿法在无约束优化问题中的应用

1. 题目描述

我们考虑一个无约束优化问题：

\[\min_{x \in \mathbb{R}^n} f(x), \]

其中 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 是一个光滑且二阶连续可微的目标函数。在许多实际问题中（例如机器学习、信号处理、科学计算），目标函数可能非常复杂，其Hessian矩阵（二阶导数矩阵）\(\nabla^2 f(x)\) 计算成本极高，或者根本无法显式计算。此时，经典的牛顿法（需要精确Hessian）不可行，而拟牛顿法（如BFGS、DFP）通过构造Hessian的近似矩阵来逼近牛顿方向，成为主流选择。

然而，对于高维问题（\(n\) 很大），存储和更新完整的 \(n \times n\) Hessian近似矩阵的代价仍然很高。随机化Hessian近似拟牛顿法 的核心思想是：利用随机采样技术，仅通过部分梯度信息或函数值信息，构造一个低秩或结构化的Hessian近似，从而大幅降低计算和存储成本，同时保持较快的收敛速度。

该算法结合了拟牛顿法的超线性收敛特性和随机算法的可扩展性，适用于大规模无约束优化问题。

2. 算法核心思想

在牛顿法中，迭代更新为：

\[x_{k+1} = x_k - [\nabla^2 f(x_k)]^{-1} \nabla f(x_k). \]

拟牛顿法则用一个近似矩阵 \(B_k \approx \nabla^2 f(x_k)\) 代替精确Hessian，并通过拟牛顿条件（割线方程）更新 \(B_k\)：

\[B_{k+1} s_k = y_k, \]

其中 \(s_k = x_{k+1} - x_k\), \(y_k = \nabla f(x_{k+1}) - \nabla f(x_k)\)。

随机化Hessian近似 的关键是：

  • 不显式计算完整Hessian，而是利用随机梯度估计或随机子采样来构造近似。
  • 常用的方法包括：
    1. 随机拟牛顿法（Stochastic Quasi-Newton）：在每次迭代中，基于一个随机采样的子数据集估计梯度和Hessian-向量乘积。
    2. 低秩Hessian近似：利用随机投影或随机采样技术，构建一个低秩矩阵近似Hessian。
    3. 随机有限差分法：通过随机方向上的差分来近似Hessian-向量乘积。

本题目重点介绍第一种方法（随机拟牛顿法），它在大规模机器学习中应用广泛。

3. 算法步骤详解

我们以随机L-BFGS（Limited-memory BFGS with stochastic gradients）为例，介绍随机化Hessian近似拟牛顿法的实现过程。

步骤1：问题设置与假设

假设目标函数具有有限和形式：

\[f(x) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N f_i(x), \]

其中每个 \(f_i\) 对应一个数据样本的损失函数。当 \(N\) 很大时，精确计算梯度 \(\nabla f(x) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \nabla f_i(x)\) 代价高昂。因此，我们使用随机梯度：

\[g_k = \frac{1}{|S_k|} \sum_{i \in S_k} \nabla f_i(x_k), \]

其中 \(S_k\) 是随机采样的一个minibatch（批量大小 \(b \ll N\)）。

步骤2：拟牛顿更新公式回顾

标准BFGS的Hessian近似更新公式为：

\[B_{k+1} = B_k - \frac{B_k s_k s_k^T B_k}{s_k^T B_k s_k} + \frac{y_k y_k^T}{y_k^T s_k}, \]

其中 \(s_k = x_{k+1} - x_k\), \(y_k = \nabla f(x_{k+1}) - \nabla f(x_k)\)。

在随机设定中，我们用随机梯度差 \(\tilde{y}_k = g_{k+1} - g_k\) 代替 \(y_k\)，但直接使用会导致近似误差累积。因此，需要引入梯度差异的修正策略。

步骤3：随机L-BFGS算法流程

  1. 初始化：选择初始点 \(x_0\)，初始Hessian近似 \(B_0 = \gamma I\)（通常 \(\gamma > 0\)），内存大小 \(m\)（存储最近的 \(m\) 对 \((s_j, y_j)\)）。
  2. 对迭代 \(k = 0, 1, 2, \dots\) 执行：
    • 采样：随机选取一个minibatch \(S_k\)。
    • 计算随机梯度：\(g_k = \frac{1}{b} \sum_{i \in S_k} \nabla f_i(x_k)\)。
    • 计算搜索方向：\(p_k = -H_k g_k\)，其中 \(H_k\) 是通过L-BFGS递归算法从存储的 \(m\) 对 \((s_j, y_j)\) 中构造的Hessian逆近似。
    • 线搜索：沿方向 \(p_k\) 执行回溯线搜索，确定步长 \(\alpha_k\)，满足如Armijo条件。
    • 更新迭代点：\(x_{k+1} = x_k + \alpha_k p_k\)。
    • 采样新minibatch \(S_{k+1}\)，计算新随机梯度 \(g_{k+1}\)。
    • 计算差异对：

\[ s_k = x_{k+1} - x_k, \quad \tilde{y}_k = g_{k+1} - g_k. \]

  • 修正梯度差异（可选）：为避免噪声影响，可对 \(\tilde{y}_k\) 进行正则化或采用重叠采样。
  • 更新内存：将 \((s_k, \tilde{y}_k)\) 加入内存，若内存已满，则丢弃最旧的一对。

步骤4：Hessian逆近似的递归构造（L-BFGS双循环递归）

L-BFGS并不显式存储矩阵 \(B_k\) 或 \(H_k\)，而是通过最近 \(m\) 对 \((s_j, y_j)\) 递归计算矩阵-向量乘积 \(H_k g_k\)。具体过程（双循环递归）如下：

  1. 设 \(q = g_k\)。
  2. 从最新到最旧遍历内存中的对 \((s_j, y_j)\)：

\[ \rho_j = \frac{1}{y_j^T s_j}, \quad \alpha_j = \rho_j s_j^T q, \quad q = q - \alpha_j y_j. \]

  1. 令 \(r = H_k^0 q\)，其中初始Hessian逆近似通常取 \(H_k^0 = \frac{s_{k-1}^T y_{k-1}}{y_{k-1}^T y_{k-1}} I\)（标量缩放的单位矩阵）。
  2. 从最旧到最新遍历内存中的对 \((s_j, y_j)\)：

\[ \beta = \rho_j y_j^T r, \quad r = r + s_j (\alpha_j - \beta). \]

  1. 输出 \(r\) 作为 \(H_k g_k\)。

步骤5：收敛性与采样策略

  • 由于随机梯度的噪声，算法通常只能收敛到目标函数的稳定点（对于非凸问题）或全局最优解附近（对于凸问题）。
  • 为了改善收敛，常见的策略包括：
    • 增加批量大小 \(b\) 随着迭代逐渐增大。
    • 采用梯度聚合方法（如SVRG、SAGA）来减少随机梯度的方差。
    • 定期使用全梯度（计算所有样本的梯度）来校正Hessian近似。

4. 算法优势与挑战

  • 优势：

    1. 低存储成本：L-BFGS只需存储 \(O(mn)\) 的数据，\(m\) 通常很小（如10-20）。
    2. 超线性收敛潜力：在强凸且光滑问题中，随机L-BFGS可达到近似超线性收敛速度。
    3. 适用于大规模问题：随机采样使每次迭代成本与数据规模 \(N\) 无关。

  • 挑战：

    1. 随机噪声：梯度差异 \(\tilde{y}_k\) 中的噪声可能导致Hessian近似不准确，甚至破坏正定性。
    2. 参数调节：需要仔细选择批量大小、内存大小 \(m\)、步长策略等。
    3. 非凸问题：在非凸优化中，算法的收敛保证较弱，可能陷入局部极小。

5. 应用实例

考虑逻辑回归问题：

\[\min_{w \in \mathbb{R}^d} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \log(1 + \exp(-y_i w^T x_i)) + \frac{\lambda}{2} \|w\|^2, \]

其中 \((x_i, y_i)\) 是训练样本。随机L-BFGS在此问题上的步骤为：

  • 每次迭代随机采样一个minibatch的样本。
  • 计算该batch的梯度 \(g_k\) 和梯度差异 \(\tilde{y}_k\)。
  • 利用L-BFGS递归构造搜索方向 \(p_k\)。
  • 更新权重 \(w\)。

实验表明，随机L-BFGS通常比随机梯度下降（SGD）收敛更快，尤其当问题条件数较大时。

6. 总结

随机化Hessian近似拟牛顿法通过结合拟牛顿法的快速收敛和随机采样的高效性，为大规模无约束优化提供了实用工具。其核心是在随机梯度框架下，利用有限的记忆更新来近似Hessian信息，从而在计算成本、存储成本和收敛速度之间取得平衡。

随机化Hessian近似拟牛顿法在无约束优化问题中的应用 1. 题目描述 我们考虑一个无约束优化问题： \[ \min_ {x \in \mathbb{R}^n} f(x), \] 其中 \( f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) 是一个光滑且二阶连续可微的目标函数。在许多实际问题中（例如机器学习、信号处理、科学计算），目标函数可能非常复杂，其Hessian矩阵（二阶导数矩阵）\( \nabla^2 f(x) \) 计算成本极高，或者根本无法显式计算。此时，经典的牛顿法（需要精确Hessian）不可行，而拟牛顿法（如BFGS、DFP）通过构造Hessian的近似矩阵来逼近牛顿方向，成为主流选择。 然而，对于高维问题（\( n \) 很大），存储和更新完整的 \( n \times n \) Hessian近似矩阵的代价仍然很高。 随机化Hessian近似拟牛顿法 的核心思想是：利用 随机采样技术 ，仅通过部分梯度信息或函数值信息，构造一个低秩或结构化的Hessian近似，从而大幅降低计算和存储成本，同时保持较快的收敛速度。 该算法结合了拟牛顿法的超线性收敛特性和随机算法的可扩展性，适用于大规模无约束优化问题。 2. 算法核心思想 在牛顿法中，迭代更新为： \[ x_ {k+1} = x_ k - [ \nabla^2 f(x_ k)]^{-1} \nabla f(x_ k). \] 拟牛顿法则用一个近似矩阵 \( B_ k \approx \nabla^2 f(x_ k) \) 代替精确Hessian，并通过拟牛顿条件（割线方程）更新 \( B_ k \)： \[ B_ {k+1} s_ k = y_ k, \] 其中 \( s_ k = x_ {k+1} - x_ k \), \( y_ k = \nabla f(x_ {k+1}) - \nabla f(x_ k) \)。 随机化Hessian近似 的关键是： 不显式计算完整Hessian，而是利用 随机梯度估计 或 随机子采样 来构造近似。 常用的方法包括： 随机拟牛顿法（Stochastic Quasi-Newton） ：在每次迭代中，基于一个随机采样的子数据集估计梯度和Hessian-向量乘积。 低秩Hessian近似 ：利用随机投影或随机采样技术，构建一个低秩矩阵近似Hessian。 随机有限差分法 ：通过随机方向上的差分来近似Hessian-向量乘积。 本题目重点介绍第一种方法（随机拟牛顿法），它在大规模机器学习中应用广泛。 3. 算法步骤详解 我们以 随机L-BFGS （Limited-memory BFGS with stochastic gradients）为例，介绍随机化Hessian近似拟牛顿法的实现过程。 步骤1：问题设置与假设 假设目标函数具有有限和形式： \[ f(x) = \frac{1}{N} \sum_ {i=1}^N f_ i(x), \] 其中每个 \( f_ i \) 对应一个数据样本的损失函数。当 \( N \) 很大时，精确计算梯度 \( \nabla f(x) = \frac{1}{N} \sum_ {i=1}^N \nabla f_ i(x) \) 代价高昂。因此，我们使用 随机梯度 ： \[ g_ k = \frac{1}{|S_ k|} \sum_ {i \in S_ k} \nabla f_ i(x_ k), \] 其中 \( S_ k \) 是随机采样的一个minibatch（批量大小 \( b \ll N \)）。 步骤2：拟牛顿更新公式回顾 标准BFGS的Hessian近似更新公式为： \[ B_ {k+1} = B_ k - \frac{B_ k s_ k s_ k^T B_ k}{s_ k^T B_ k s_ k} + \frac{y_ k y_ k^T}{y_ k^T s_ k}, \] 其中 \( s_ k = x_ {k+1} - x_ k \), \( y_ k = \nabla f(x_ {k+1}) - \nabla f(x_ k) \)。 在随机设定中，我们用随机梯度差 \( \tilde{y} k = g {k+1} - g_ k \) 代替 \( y_ k \)，但直接使用会导致近似误差累积。因此，需要引入 梯度差异的修正策略 。 步骤3：随机L-BFGS算法流程 初始化 ：选择初始点 \( x_ 0 \)，初始Hessian近似 \( B_ 0 = \gamma I \)（通常 \( \gamma > 0 \)），内存大小 \( m \)（存储最近的 \( m \) 对 \( (s_ j, y_ j) \)）。 对迭代 \( k = 0, 1, 2, \dots \) 执行 ： 采样 ：随机选取一个minibatch \( S_ k \)。 计算随机梯度 ：\( g_ k = \frac{1}{b} \sum_ {i \in S_ k} \nabla f_ i(x_ k) \)。 计算搜索方向 ：\( p_ k = -H_ k g_ k \)，其中 \( H_ k \) 是通过L-BFGS递归算法从存储的 \( m \) 对 \( (s_ j, y_ j) \) 中构造的Hessian逆近似。 线搜索 ：沿方向 \( p_ k \) 执行回溯线搜索，确定步长 \( \alpha_ k \)，满足如Armijo条件。 更新迭代点 ：\( x_ {k+1} = x_ k + \alpha_ k p_ k \)。 采样新minibatch \( S_ {k+1} \)，计算新随机梯度 \( g_ {k+1} \)。 计算差异对 ： \[ s_ k = x_ {k+1} - x_ k, \quad \tilde{y} k = g {k+1} - g_ k. \] 修正梯度差异 （可选）：为避免噪声影响，可对 \( \tilde{y}_ k \) 进行正则化或采用重叠采样。 更新内存 ：将 \( (s_ k, \tilde{y}_ k) \) 加入内存，若内存已满，则丢弃最旧的一对。 步骤4：Hessian逆近似的递归构造（L-BFGS双循环递归） L-BFGS并不显式存储矩阵 \( B_ k \) 或 \( H_ k \)，而是通过最近 \( m \) 对 \( (s_ j, y_ j) \) 递归计算矩阵-向量乘积 \( H_ k g_ k \)。具体过程（双循环递归）如下： 设 \( q = g_ k \)。 从最新到最旧遍历内存中的对 \( (s_ j, y_ j) \)： \[ \rho_ j = \frac{1}{y_ j^T s_ j}, \quad \alpha_ j = \rho_ j s_ j^T q, \quad q = q - \alpha_ j y_ j. \] 令 \( r = H_ k^0 q \)，其中初始Hessian逆近似通常取 \( H_ k^0 = \frac{s_ {k-1}^T y_ {k-1}}{y_ {k-1}^T y_ {k-1}} I \)（标量缩放的单位矩阵）。 从最旧到最新遍历内存中的对 \( (s_ j, y_ j) \)： \[ \beta = \rho_ j y_ j^T r, \quad r = r + s_ j (\alpha_ j - \beta). \] 输出 \( r \) 作为 \( H_ k g_ k \)。 步骤5：收敛性与采样策略 由于随机梯度的噪声，算法通常只能收敛到目标函数的 稳定点 （对于非凸问题）或 全局最优解附近 （对于凸问题）。 为了改善收敛，常见的策略包括： 增加批量大小 \( b \) 随着迭代逐渐增大。 采用梯度聚合方法 （如SVRG、SAGA）来减少随机梯度的方差。 定期使用全梯度 （计算所有样本的梯度）来校正Hessian近似。 4. 算法优势与挑战 优势 ： 低存储成本 ：L-BFGS只需存储 \( O(mn) \) 的数据，\( m \) 通常很小（如10-20）。 超线性收敛潜力 ：在强凸且光滑问题中，随机L-BFGS可达到近似超线性收敛速度。 适用于大规模问题 ：随机采样使每次迭代成本与数据规模 \( N \) 无关。 挑战 ： 随机噪声 ：梯度差异 \( \tilde{y}_ k \) 中的噪声可能导致Hessian近似不准确，甚至破坏正定性。 参数调节 ：需要仔细选择批量大小、内存大小 \( m \)、步长策略等。 非凸问题 ：在非凸优化中，算法的收敛保证较弱，可能陷入局部极小。 5. 应用实例 考虑逻辑回归问题： \[ \min_ {w \in \mathbb{R}^d} \frac{1}{N} \sum_ {i=1}^N \log(1 + \exp(-y_ i w^T x_ i)) + \frac{\lambda}{2} \|w\|^2, \] 其中 \( (x_ i, y_ i) \) 是训练样本。随机L-BFGS在此问题上的步骤为： 每次迭代随机采样一个minibatch的样本。 计算该batch的梯度 \( g_ k \) 和梯度差异 \( \tilde{y}_ k \)。 利用L-BFGS递归构造搜索方向 \( p_ k \)。 更新权重 \( w \)。 实验表明，随机L-BFGS通常比随机梯度下降（SGD）收敛更快，尤其当问题条件数较大时。 6. 总结 随机化Hessian近似拟牛顿法通过结合拟牛顿法的快速收敛和随机采样的高效性，为大规模无约束优化提供了实用工具。其核心是在随机梯度框架下，利用有限的记忆更新来近似Hessian信息，从而在计算成本、存储成本和收敛速度之间取得平衡。