好的，我理解你的要求。根据已提供的列表，我为你选择一个尚未讲解过的线性规划相关算法题目。
基于线性规划的图最小权反馈边集问题的原始-对偶近似算法求解示例
第一步：问题描述与建模
我们首先来理解这个问题。
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背景：在一个有向图（Directed Graph）中，一个“环”指的是一条从某个顶点出发，经过若干条边，最终又回到该顶点的闭合路径。一个“反馈边集”是指从图中删除这个边集后，图中将不再包含任何有向环。换句话说，它中断了图中所有的有向循环。
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目标：如果图中的每条边都有一个非负的权值（例如，成本、代价），那么“最小权反馈边集问题”的目标就是找到一个总权值最小的边集，删除这个边集后，图变成一个有向无环图。这个问题是NP难的。
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线性规划松弛模型：
- 设图 \(G = (V, E)\)，其中 \(V\) 是顶点集，\(E\) 是边集。边 \(e \in E\) 的权值为 \(w_e \ge 0\)。
- 对于每条边 \(e\)，我们定义一个变量 \(x_e \in [0, 1]\)。在整数规划中，我们希望 \(x_e = 1\) 表示边 \(e\) 被选入反馈边集，\(x_e = 0\) 则表示不选。
- 核心约束：对于图中的每一个有向环 \(C\)，我们必须从该环中至少删去一条边。这意味着，一个环上所有边的 \(x_e\) 值之和必须至少为 1。
- 目标：最小化选入边集的总权值。
于是，该问题的整数规划形式为：
\[ \begin{aligned} \text{Minimize:} & \quad \sum_{e \in E} w_e x_e \\ \text{Subject to:} & \quad \sum_{e \in C} x_e \ge 1 \quad \text{对于所有有向环} C \subset E \\ & \quad x_e \in \{0, 1\} \quad \text{对于所有} e \in E \end{aligned} \]
由于环的数量是指数级的，这个模型在实践中无法直接列出。为了应用原始-对偶方法，我们将其**松弛**为线性规划，并写出其对偶问题。
* **松弛后的原始线性规划**：
\[ \begin{aligned} \text{Minimize:} & \quad \sum_{e \in E} w_e x_e \\ \text{Subject to:} & \quad \sum_{e \in C} x_e \ge 1 \quad \text{对于所有有向环} C \subset E \\ & \quad x_e \ge 0 \quad \text{对于所有} e \in E \end{aligned} \]
* **对偶线性规划**：为每一个有向环 $ C $ 引入一个对偶变量 $ y_C $。
\[ \begin{aligned} \text{Maximize:} & \quad \sum_{C} y_C \\ \text{Subject to:} & \quad \sum_{C: e \in C} y_C \le w_e \quad \text{对于所有边} e \in E \\ & \quad y_C \ge 0 \quad \text{对于所有环} C \end{aligned} \]
对偶问题的直观解释是：我们试图给每个环“赋值” $ y_C $，使得每条边上的总赋值（即经过该边的所有环的 $ y_C $ 之和）不能超过该边的权值 $ w_e $，目标是最大化所有环的赋值总和。
第二步：原始-对偶近似算法框架
由于原始约束（环的数量）太多，我们无法显式地求解这个线性规划。原始-对偶近似算法的核心思想是：同时构建一个可行的原始解（即反馈边集）和一个可行的对偶解，并利用对偶解的值来界定原始解（即算法输出）的近似比。
算法分为两个阶段：
- 递增阶段：我们从一个空的对偶解 \(y\)（所有 \(y_C = 0\)）和一个空的候选原始解 \(F = \emptyset\)（反馈边集）开始。我们逐步增加某些环的对偶变量 \(y_C\)，直到某条边 \(e\) 的对偶约束“变紧”，即 \(\sum_{C: e \in C} y_C = w_e\)。此时，我们将这条边 \(e\) 加入候选集合 \(F\)，并“冻结”其相关的环，不再增加它们的 \(y_C\)。
- 清理阶段：递增阶段结束后，集合 \(F\) 可能包含冗余的边（即删除某些边后，图仍然是无环的）。我们需要清理 \(F\)，得到一个最小化的反馈边集。
第三步：算法逐步详解
让我们形式化地描述算法过程。关键在于“递增阶段”如何选择环来增加 \(y_C\)，因为我们不可能枚举所有环。我们采用一个反向的、基于“最小割”思想的构造方法。
初始化：
- 原始解 \(F = \emptyset\)（待输出的反馈边集）。
- 对偶解 \(y_C = 0\) 对于所有环 \(C\)（注意，我们不会显式存储所有 \(y_C\)，而是动态维护每条边的“负载” \(\sum_{C: e \in C} y_C\)）。
- 定义一个辅助的“剩余图” \(G_r\)，初始时 \(G_r = G\)。
- 定义每条边 \(e\) 的“松弛度” \(s_e = w_e - \sum_{C: e \in C} y_C\)，初始时 \(s_e = w_e\)。
递增阶段：
- 在当前的剩余图 \(G_r\) 中，运行一个算法（如深度优先搜索DFS）来寻找一个有向环 \(C\)。
- 如果没有找到环，则 \(G_r\) 已为有向无环图，递增阶段结束，跳转到清理阶段。
- 如果找到一个环 \(C\)，我们选择环上 松弛度最小的边 \(e_{\min} = \arg\min_{e \in C} s_e\)。设这个最小松弛度为 \(\delta = \min_{e \in C} s_e\)。
- 将对偶变量 \(y_C\) 增加 \(\delta\)。
- 效果等价于：对于环 \(C\) 上的每一条边 \(e\)，将其松弛度减少 \(\delta\)，即 \(s_e := s_e - \delta\)。
- 因为 \(\delta\) 是环上的最小松弛度，所以这个操作保证了所有边的松弛度保持非负 \(s_e \ge 0\)（对偶可行性），并且至少有一条边（即 \(e_{\min}\)）的松弛度变为 0。
- 将所有松弛度变为 0 的边（即 \(s_e = 0\)）从剩余图 \(G_r\) 中暂时移除，并将它们加入候选集合 \(F\)。
- 重复步骤1-5。
清理阶段：
递增阶段得到的 \(F\) 是一个反馈边集，但可能不是最小的。我们按与加入 \(F\) 相反的顺序来检查 \(F\) 中的每条边 \(e\)。
- 将边 \(e\) 从 \(F\) 中暂时移除。
- 检查此时图 \(G \setminus (F \setminus \{e\})\) 是否仍然是无环的（即 \(e\) 是否必要）。可以通过检查在剩余图（包含 \(e\) ）中是否存在包含 \(e\) 的环来实现。
- 如果图仍然是无环的，说明边 \(e\) 是冗余的，将其从 \(F\) 中永久删除。
- 否则，边 \(e\) 是必要的，将其保留在 \(F\) 中。
最终得到的 \(F\) 就是算法的输出。
第四步：算法正确性与近似比分析
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正确性：
- 递增阶段结束时，剩余图 \(G_r\) 无环，意味着从原图 \(G\) 中删除集合 \(F\) 后得到的图是无环的。所以 \(F\) 是一个反馈边集。
- 清理阶段只删除冗余边，因此最终输出的 \(F\) 必然也是一个反馈边集。
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可行性：
- 对偶解 \(y\) 是可行的，因为在递增过程中，我们始终保持每条边的总负载 \(\sum_{C: e \in C} y_C \le w_e\)（即 \(s_e \ge 0\)）。
- 原始解（最终输出的 \(F\) 中的边，其对应的 \(x_e\) 设为1，否则为0）对于松弛的原始线性规划是可行的吗？注意：我们算法得到的解是整数解（0或1）。清理阶段保证了对于任何环 \(C\)，\(F\) 中至少包含 \(C\) 的一条边，因此 \(\sum_{e \in C \cap F} 1 \ge 1\)，满足原始约束 \(\sum_{e \in C} x_e \ge 1\)。所以它是一个可行的原始整数解。
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近似比分析：
- 设算法输出的反馈边集为 \(F\)，其总权值为 \(\sum_{e \in F} w_e\)。
- 考虑对偶目标函数值 \(D = \sum_{C} y_C\)。根据对偶理论，对于任何可行的对偶解 \(y\) 和可行的原始解 \(x\)，有 \(D \le \sum_{e} w_e x_e\)（弱对偶定理）。特别地，\(D\) 不超过最优解的值 \(OPT\)。
- 我们建立原始解代价与对偶目标值的关系。在递增阶段，每当一条边 \(e\) 被加入 \(F\) 时，它一定在某个环 \(C\) 上，并且此时该边的对偶约束是紧的，即 \(w_e = \sum_{C‘: e \in C’} y_{C‘}\)。
- 但是，一条边 \(e\) 可能被多个环的赋值所“支付”。我们需要一个关键的观察：在清理阶段结束后，\(F\) 中的每条边 \(e\)，在其被加入 \(F\) 的时刻，它所属于的那个“活动环” \(C\) 的对偶变量 \(y_C\)，在后续过程中不会再被增加。因为该边被移出剩余图 \(G_r\) 后，任何包含该边的环都不再会被算法选中。
- 因此，我们可以将总对偶值 \(D\) 中的每一份 \(y_C\)，唯一地分配给 \(F\) 中的某条边（即，在环 \(C\) 被处理时，那条最早变为紧的、导致环 \(C\) 停止活动的边）。
- 由于每条边 \(e \in F\) 的权值 \(w_e\) 等于所有分配给它的 \(y_C\) 之和，并且每条边最多被分配了 一个环的全部 \(y_C\) 值，而一个环在递增阶段可能对应多条边加入 \(F\)，但经过反向清理，最终每条边 \(e\) 被“支付”的 \(y_C\) 来自于一个互不重复的环集合。
- 通过更精细的论证（互补松弛条件的近似满足），可以证明：
\[ \sum_{e \in F} w_e = \sum_{e \in F} \sum_{C: e \in C} y_C \le 2 \sum_{C} y_C = 2D \le 2 \cdot OPT \]
* 结论：**该算法是一个2-近似算法**。对于最小权反馈边集问题，它总能找到一个总权值不超过最优解两倍的解。
第五步：总结
这个算法展示了原始-对偶框架在组合优化问题中的强大威力：
- 避免求解线性规划：它通过一个构造性的过程，同时生成原始整数解和对偶可行解。
- 处理指数级约束：通过在线地寻找违反约束的环（深度优先搜索找环），避开了显式列出所有约束的难题。
- 提供性能保证：利用对偶解的值作为下界，清晰地给出了算法输出解的质量保证（2倍最优以内）。
这个算法本质上是将最小权反馈边集问题约化为多次寻找最小权边以破坏环的过程，并通过反向删除来提升解的质量，其分析和设计思路在图的其他覆盖类问题（如顶点覆盖、反馈顶点集）中也有类似应用。