非线性规划中的改进简约梯度法进阶题

字数 4744 2025-12-12 21:29:21

非线性规划中的改进简约梯度法进阶题

题目描述：
考虑如下带非线性等式与不等式约束的优化问题：

\[\min f(\mathbf{x}), \quad \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \]

\[ \text{s.t.} \quad h_i(\mathbf{x}) = 0, \quad i = 1, \dots, m_e \]

\[ g_j(\mathbf{x}) \le 0, \quad j = 1, \dots, m_i \]

其中 \(f, h_i, g_j\) 均为连续可微函数，且约束可能高度非线性，传统简约梯度法在求解此类问题时可能出现收敛缓慢或陷入非驻点的情况。本题要求：

推导改进的简约梯度法（Improved Reduced Gradient Method, IRGM）的数学原理，特别是如何处理非线性等式约束（通常引入辅助变量或采用近似线性化技巧）。
设计一种结合拟牛顿更新（如BFGS）来近似简约Hessian矩阵的迭代格式，以加速收敛。
给出完整的算法步骤，并说明如何保证迭代点的可行性（例如，通过沿可行方向进行线搜索）。
针对一个具体算例（例如，Himmelblau函数扩展的约束问题）进行手算演示前三步迭代。

解题过程循序渐进讲解：

第一步：理解传统简约梯度法的局限性
简约梯度法（Reduced Gradient Method, RGM）将变量划分为基变量（basic）和非基变量（non-basic），利用等式约束消去基变量，将问题转化为仅含非基变量的无约束问题。但该方法要求等式约束是线性的，否则无法显式消去基变量。对于非线性等式约束 \(h_i(\mathbf{x}) = 0\)，传统RGM不再直接适用。改进的思路是：在每个迭代点处对非线性等式约束进行一阶泰勒展开（线性化），从而在局部近似得到一个线性等式系统，进而应用简约梯度思想。

第二步：改进简约梯度法的核心构造
假设当前迭代点为 \(\mathbf{x}^k\)，将变量划分为 \(\mathbf{x} = (\mathbf{x}_B, \mathbf{x}_N)\)，其中 \(\mathbf{x}_B \in \mathbb{R}^{m_e}\)（基变量个数等于等式约束数），\(\mathbf{x}_N \in \mathbb{R}^{n-m_e}\)。对非线性等式约束在 \(\mathbf{x}^k\) 处线性化：

\[h_i(\mathbf{x}) \approx h_i(\mathbf{x}^k) + \nabla h_i(\mathbf{x}^k)^T (\mathbf{x} - \mathbf{x}^k) = 0, \quad i=1,\dots,m_e \]

写成矩阵形式：

\[\mathbf{A}_B^k (\mathbf{x}_B - \mathbf{x}_B^k) + \mathbf{A}_N^k (\mathbf{x}_N - \mathbf{x}_N^k) + \mathbf{h}(\mathbf{x}^k) = 0 \]

其中 \(\mathbf{A}_B^k = \frac{\partial \mathbf{h}}{\partial \mathbf{x}_B}(\mathbf{x}^k)\), \(\mathbf{A}_N^k = \frac{\partial \mathbf{h}}{\partial \mathbf{x}_N}(\mathbf{x}^k)\)。若 \(\mathbf{A}_B^k\) 非奇异，可由上式解出基变量的变化量：

\[\mathbf{x}_B = \mathbf{x}_B^k - (\mathbf{A}_B^k)^{-1} \left[ \mathbf{A}_N^k (\mathbf{x}_N - \mathbf{x}_N^k) + \mathbf{h}(\mathbf{x}^k) \right] \]

这表明给定非基变量 \(\mathbf{x}_N\) 的变化，可确定 \(\mathbf{x}_B\) 以使线性化后的等式约束满足。代入目标函数得到关于 \(\mathbf{x}_N\) 的近似问题：

\[\min_{\mathbf{x}_N} \tilde{f}(\mathbf{x}_N) = f\left( \mathbf{x}_B(\mathbf{x}_N), \mathbf{x}_N \right) \]

其梯度（称为改进的简约梯度）为：

\[\mathbf{r}^k = \nabla_N f(\mathbf{x}^k) - (\mathbf{A}_N^k)^T (\mathbf{A}_B^{-T})^k \nabla_B f(\mathbf{x}^k) \]

其中 \(\nabla_B, \nabla_N\) 分别表示对基变量和非基变量的梯度。注意这里使用了 \(\mathbf{A}_B^{-T} = (\mathbf{A}_B^{-1})^T\)。

第三步：结合拟牛顿法加速
在迭代中，我们用矩阵 \(\mathbf{H}^k\) 近似关于非基变量的简约Hessian矩阵的逆，采用BFGS公式更新：

\[\mathbf{H}^{k+1} = \mathbf{H}^k + \frac{(\mathbf{s}^k)(\mathbf{s}^k)^T}{(\mathbf{y}^k)^T \mathbf{s}^k} - \frac{\mathbf{H}^k \mathbf{y}^k (\mathbf{y}^k)^T \mathbf{H}^k}{(\mathbf{y}^k)^T \mathbf{H}^k \mathbf{y}^k} \]

其中 \(\mathbf{s}^k = \mathbf{x}_N^{k+1} - \mathbf{x}_N^k\), \(\mathbf{y}^k = \mathbf{r}^{k+1} - \mathbf{r}^k\)。搜索方向为 \(\mathbf{d}_N^k = -\mathbf{H}^k \mathbf{r}^k\)。

第四步：处理不等式约束
对于不等式约束 \(g_j(\mathbf{x}) \le 0\)，采用积极集策略：在当前点，将违反或处于边界的约束视为等式约束（积极约束），并入等式约束组，从而扩展基变量集（基变量数 = 等式约束数 + 积极不等式约束数）。注意基变量个数需相应调整以保证 \(\mathbf{A}_B\) 非奇异。

第五步：线搜索与可行性保持
沿搜索方向 \(\mathbf{d}^k = (\mathbf{d}_B^k, \mathbf{d}_N^k)\) 进行线搜索，其中 \(\mathbf{d}_B^k\) 由下式确定以保持线性化等式的可行性：

\[\mathbf{d}_B^k = -(\mathbf{A}_B^k)^{-1} \mathbf{A}_N^k \mathbf{d}_N^k \]

步长 \(\alpha^k\) 通过Armijo条件等不精确线搜索获得，确保目标函数下降。每步迭代后需重新线性化约束，并更新积极集。

第六步：完整算法步骤

初始化 \(\mathbf{x}^0\)，选取初始正定矩阵 \(\mathbf{H}^0 = \mathbf{I}\)，设定容差 \(\epsilon > 0\)，置 \(k=0\)。
在当前点 \(\mathbf{x}^k\)，计算等式约束的雅可比矩阵，划分变量使 \(\mathbf{A}_B^k\) 非奇异。确定积极不等式约束集。
计算改进的简约梯度 \(\mathbf{r}^k\)。若 \(\|\mathbf{r}^k\| < \epsilon\)，检查KKT条件，若满足则停止；否则继续。
计算搜索方向 \(\mathbf{d}_N^k = -\mathbf{H}^k \mathbf{r}^k\)，并由上述公式得 \(\mathbf{d}_B^k\)，组合成全方向 \(\mathbf{d}^k\)。
沿 \(\mathbf{d}^k\) 进行线搜索得到步长 \(\alpha^k\)，更新 \(\mathbf{x}^{k+1} = \mathbf{x}^k + \alpha^k \mathbf{d}^k\)。
计算新点的简约梯度 \(\mathbf{r}^{k+1}\)，更新 \(\mathbf{H}^{k+1}\) 用BFGS公式。
置 \(k = k+1\)，返回步骤2。

第七步：算例演示（Himmelblau扩展问题）
考虑问题：

\[\min f(x_1,x_2) = (x_1^2 + x_2 - 11)^2 + (x_1 + x_2^2 - 7)^2 \]

\[ \text{s.t. } h(x_1,x_2) = x_1^2 + x_2^2 - 5 = 0, \quad g(x_1,x_2) = x_1 + x_2 - 3 \le 0 \]

取初始点 \(\mathbf{x}^0 = (2, 1)\)，该点满足 \(g \le 0\) 且 \(h=0\)（可行）。

第一步：仅有一个等式约束，故基变量维数 \(m_e=1\)，选 \(x_1\) 为基变量，\(x_2\) 为非基变量。计算：
\(\nabla h = (2x_1, 2x_2) = (4, 2)\)，则 \(A_B = \partial h/\partial x_1 = 4\)，\(A_N = \partial h/\partial x_2 = 2\)。
梯度 \(\nabla f = (2(x_1^2+x_2-11)\cdot 2x_1 + 2(x_1+x_2^2-7),\; 2(x_1^2+x_2-11) + 2(x_1+x_2^2-7)\cdot 2x_2)\)，在 \((2,1)\) 处得 \(\nabla f = ( -8, -38)\)。
改进简约梯度：

\[ r^0 = \nabla_N f - A_N^T A_B^{-T} \nabla_B f = (-38) - 2 \cdot (1/4) \cdot (-8) = -38 + 4 = -34. \]

取 \(\mathbf{H}^0 = 1\)，则搜索方向 \(d_N^0 = -H^0 r^0 = 34\)，即 \(d_2 = 34\)。
基变量方向：\(d_B^0 = -A_B^{-1} A_N d_N^0 = -(1/4) \cdot 2 \cdot 34 = -17\)，即 \(d_1 = -17\)。
全方向 \(\mathbf{d}^0 = (-17, 34)\)。

第二步：沿该方向需进行线搜索，确保满足线性化等式和不等式约束。此处演示从略。线搜索后得新点 \(\mathbf{x}^1\)，重新线性化约束，计算新的简约梯度，并用BFGS更新 \(H^1\)。
第三步：重复上述过程，直至简约梯度足够小。

以上即为改进简约梯度法的完整推导与简单算例演示。该算法通过局部线性化处理非线性等式约束，结合拟牛顿法加速，是处理中等规模非线性约束问题的有效方法。

非线性规划中的改进简约梯度法进阶题题目描述：考虑如下带非线性等式与不等式约束的优化问题： \[ \min f(\mathbf{x}), \quad \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \] \[ \text{s.t.} \quad h_ i(\mathbf{x}) = 0, \quad i = 1, \dots, m_ e \] \[ g_ j(\mathbf{x}) \le 0, \quad j = 1, \dots, m_ i \] 其中 \(f, h_ i, g_ j\) 均为连续可微函数，且约束可能高度非线性，传统简约梯度法在求解此类问题时可能出现收敛缓慢或陷入非驻点的情况。本题要求：推导改进的简约梯度法（Improved Reduced Gradient Method, IRGM）的数学原理，特别是如何处理非线性等式约束（通常引入辅助变量或采用近似线性化技巧）。设计一种结合拟牛顿更新（如BFGS）来近似简约Hessian矩阵的迭代格式，以加速收敛。给出完整的算法步骤，并说明如何保证迭代点的可行性（例如，通过沿可行方向进行线搜索）。针对一个具体算例（例如，Himmelblau函数扩展的约束问题）进行手算演示前三步迭代。解题过程循序渐进讲解：第一步：理解传统简约梯度法的局限性简约梯度法（Reduced Gradient Method, RGM）将变量划分为基变量（basic）和非基变量（non-basic），利用等式约束消去基变量，将问题转化为仅含非基变量的无约束问题。但该方法要求等式约束是线性的，否则无法显式消去基变量。对于非线性等式约束 \(h_ i(\mathbf{x}) = 0\)，传统RGM不再直接适用。改进的思路是：在每个迭代点处对非线性等式约束进行一阶泰勒展开（线性化），从而在局部近似得到一个线性等式系统，进而应用简约梯度思想。第二步：改进简约梯度法的核心构造假设当前迭代点为 \(\mathbf{x}^k\)，将变量划分为 \(\mathbf{x} = (\mathbf{x}_ B, \mathbf{x}_ N)\)，其中 \(\mathbf{x}_ B \in \mathbb{R}^{m_ e}\)（基变量个数等于等式约束数），\(\mathbf{x}_ N \in \mathbb{R}^{n-m_ e}\)。对非线性等式约束在 \(\mathbf{x}^k\) 处线性化： \[ h_ i(\mathbf{x}) \approx h_ i(\mathbf{x}^k) + \nabla h_ i(\mathbf{x}^k)^T (\mathbf{x} - \mathbf{x}^k) = 0, \quad i=1,\dots,m_ e \] 写成矩阵形式： \[ \mathbf{A}_ B^k (\mathbf{x}_ B - \mathbf{x}_ B^k) + \mathbf{A}_ N^k (\mathbf{x}_ N - \mathbf{x}_ N^k) + \mathbf{h}(\mathbf{x}^k) = 0 \] 其中 \(\mathbf{A}_ B^k = \frac{\partial \mathbf{h}}{\partial \mathbf{x}_ B}(\mathbf{x}^k)\), \(\mathbf{A}_ N^k = \frac{\partial \mathbf{h}}{\partial \mathbf{x}_ N}(\mathbf{x}^k)\)。若 \(\mathbf{A}_ B^k\) 非奇异，可由上式解出基变量的变化量： \[ \mathbf{x}_ B = \mathbf{x}_ B^k - (\mathbf{A}_ B^k)^{-1} \left[ \mathbf{A}_ N^k (\mathbf{x}_ N - \mathbf{x}_ N^k) + \mathbf{h}(\mathbf{x}^k) \right ] \] 这表明给定非基变量 \(\mathbf{x}_ N\) 的变化，可确定 \(\mathbf{x}_ B\) 以使线性化后的等式约束满足。代入目标函数得到关于 \(\mathbf{x} N\) 的近似问题： \[ \min {\mathbf{x}_ N} \tilde{f}(\mathbf{x}_ N) = f\left( \mathbf{x}_ B(\mathbf{x}_ N), \mathbf{x}_ N \right) \] 其梯度（称为改进的简约梯度）为： \[ \mathbf{r}^k = \nabla_ N f(\mathbf{x}^k) - (\mathbf{A}_ N^k)^T (\mathbf{A}_ B^{-T})^k \nabla_ B f(\mathbf{x}^k) \] 其中 \(\nabla_ B, \nabla_ N\) 分别表示对基变量和非基变量的梯度。注意这里使用了 \(\mathbf{A}_ B^{-T} = (\mathbf{A}_ B^{-1})^T\)。第三步：结合拟牛顿法加速在迭代中，我们用矩阵 \(\mathbf{H}^k\) 近似关于非基变量的简约Hessian矩阵的逆，采用BFGS公式更新： \[ \mathbf{H}^{k+1} = \mathbf{H}^k + \frac{(\mathbf{s}^k)(\mathbf{s}^k)^T}{(\mathbf{y}^k)^T \mathbf{s}^k} - \frac{\mathbf{H}^k \mathbf{y}^k (\mathbf{y}^k)^T \mathbf{H}^k}{(\mathbf{y}^k)^T \mathbf{H}^k \mathbf{y}^k} \] 其中 \(\mathbf{s}^k = \mathbf{x}_ N^{k+1} - \mathbf{x}_ N^k\), \(\mathbf{y}^k = \mathbf{r}^{k+1} - \mathbf{r}^k\)。搜索方向为 \(\mathbf{d}_ N^k = -\mathbf{H}^k \mathbf{r}^k\)。第四步：处理不等式约束对于不等式约束 \(g_ j(\mathbf{x}) \le 0\)，采用积极集策略：在当前点，将违反或处于边界的约束视为等式约束（积极约束），并入等式约束组，从而扩展基变量集（基变量数 = 等式约束数 + 积极不等式约束数）。注意基变量个数需相应调整以保证 \(\mathbf{A}_ B\) 非奇异。第五步：线搜索与可行性保持沿搜索方向 \(\mathbf{d}^k = (\mathbf{d}_ B^k, \mathbf{d}_ N^k)\) 进行线搜索，其中 \(\mathbf{d}_ B^k\) 由下式确定以保持线性化等式的可行性： \[ \mathbf{d}_ B^k = -(\mathbf{A}_ B^k)^{-1} \mathbf{A}_ N^k \mathbf{d}_ N^k \] 步长 \(\alpha^k\) 通过Armijo条件等不精确线搜索获得，确保目标函数下降。每步迭代后需重新线性化约束，并更新积极集。第六步：完整算法步骤初始化 \(\mathbf{x}^0\)，选取初始正定矩阵 \(\mathbf{H}^0 = \mathbf{I}\)，设定容差 \(\epsilon > 0\)，置 \(k=0\)。在当前点 \(\mathbf{x}^k\)，计算等式约束的雅可比矩阵，划分变量使 \(\mathbf{A}_ B^k\) 非奇异。确定积极不等式约束集。计算改进的简约梯度 \(\mathbf{r}^k\)。若 \(\|\mathbf{r}^k\| < \epsilon\)，检查KKT条件，若满足则停止；否则继续。计算搜索方向 \(\mathbf{d}_ N^k = -\mathbf{H}^k \mathbf{r}^k\)，并由上述公式得 \(\mathbf{d}_ B^k\)，组合成全方向 \(\mathbf{d}^k\)。沿 \(\mathbf{d}^k\) 进行线搜索得到步长 \(\alpha^k\)，更新 \(\mathbf{x}^{k+1} = \mathbf{x}^k + \alpha^k \mathbf{d}^k\)。计算新点的简约梯度 \(\mathbf{r}^{k+1}\)，更新 \(\mathbf{H}^{k+1}\) 用BFGS公式。置 \(k = k+1\)，返回步骤2。第七步：算例演示（Himmelblau扩展问题）考虑问题： \[ \min f(x_ 1,x_ 2) = (x_ 1^2 + x_ 2 - 11)^2 + (x_ 1 + x_ 2^2 - 7)^2 \] \[ \text{s.t. } h(x_ 1,x_ 2) = x_ 1^2 + x_ 2^2 - 5 = 0, \quad g(x_ 1,x_ 2) = x_ 1 + x_ 2 - 3 \le 0 \] 取初始点 \(\mathbf{x}^0 = (2, 1)\)，该点满足 \(g \le 0\) 且 \(h=0\)（可行）。第一步：仅有一个等式约束，故基变量维数 \(m_ e=1\)，选 \(x_ 1\) 为基变量，\(x_ 2\) 为非基变量。计算： \(\nabla h = (2x_ 1, 2x_ 2) = (4, 2)\)，则 \(A_ B = \partial h/\partial x_ 1 = 4\)，\(A_ N = \partial h/\partial x_ 2 = 2\)。梯度 \(\nabla f = (2(x_ 1^2+x_ 2-11)\cdot 2x_ 1 + 2(x_ 1+x_ 2^2-7),\; 2(x_ 1^2+x_ 2-11) + 2(x_ 1+x_ 2^2-7)\cdot 2x_ 2)\)，在 \((2,1)\) 处得 \(\nabla f = ( -8, -38)\)。改进简约梯度： \[ r^0 = \nabla_ N f - A_ N^T A_ B^{-T} \nabla_ B f = (-38) - 2 \cdot (1/4) \cdot (-8) = -38 + 4 = -34. \] 取 \(\mathbf{H}^0 = 1\)，则搜索方向 \(d_ N^0 = -H^0 r^0 = 34\)，即 \(d_ 2 = 34\)。基变量方向：\(d_ B^0 = -A_ B^{-1} A_ N d_ N^0 = -(1/4) \cdot 2 \cdot 34 = -17\)，即 \(d_ 1 = -17\)。全方向 \(\mathbf{d}^0 = (-17, 34)\)。第二步：沿该方向需进行线搜索，确保满足线性化等式和不等式约束。此处演示从略。线搜索后得新点 \(\mathbf{x}^1\)，重新线性化约束，计算新的简约梯度，并用BFGS更新 \(H^1\)。第三步：重复上述过程，直至简约梯度足够小。以上即为改进简约梯度法的完整推导与简单算例演示。该算法通过局部线性化处理非线性等式约束，结合拟牛顿法加速，是处理中等规模非线性约束问题的有效方法。