非线性规划中的交替变量方向法（Alternating Variable Direction Method, AVDM）进阶题：带不可分离非凸约束的优化问题

字数 5780 2025-12-12 18:58:02

非线性规划中的交替变量方向法（Alternating Variable Direction Method, AVDM）进阶题：带不可分离非凸约束的优化问题

题目描述
考虑以下带有不可分离非线性约束的优化问题：

\[\begin{aligned} \min_{x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) = \sum_{i=1}^{n} \left( x_i^4 - 2x_i^2 + x_i \right) + \left( \sum_{i=1}^{n} x_i \right)^2 \\ \text{s.t.} \quad & g_1(x) = \prod_{i=1}^{n} x_i - 1 \leq 0, \\ & g_2(x) = \left( \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \right) - n \leq 0, \\ & h(x) = \sum_{i=1}^{n} \sin(x_i) = 0, \\ & -2 \leq x_i \leq 2, \quad i = 1,\dots,n. \end{aligned} \]

其中，目标函数 \(f(x)\) 包含可分离项（前一部分）和不可分离的耦合项（后一项平方）。约束 \(g_1(x)\) 是变量乘积的非凸约束，\(g_2(x)\) 是球约束，\(h(x)\) 是非线性等式约束，并且边界约束限制了变量的取值范围。该问题是非凸、带有不可分离约束的复杂非线性规划问题。要求使用交替变量方向法（AVDM）结合处理约束的技巧，设计求解该问题的算法步骤，并解释其原理。

解题过程循序渐进讲解

1. 问题分析与挑战

目标函数结构：\(f(x)\) 由可分离部分（每个 \(x_i\) 的四次多项式）和不可分离的耦合项 \(\left( \sum x_i \right)^2\) 组成。这意味着直接对每个变量单独优化会受耦合项影响。
约束特性：
- \(g_1(x) = \prod x_i - 1 \leq 0\) 是不可分离的非凸约束，变量间通过乘积耦合。
- \(g_2(x) = \sum x_i^2 - n \leq 0\) 是凸的二次约束，但耦合了所有变量。
- \(h(x) = \sum \sin(x_i) = 0\) 是等式约束，每个 \(\sin(x_i)\) 可分离，但等式将变量耦合。
核心挑战：标准的交替变量方向法通常适用于可分离问题，但这里的耦合项和不可分离约束使得直接应用AVDM困难。需要结合松弛技术和约束处理策略。

2. 交替变量方向法（AVDM）基本思想回顾
AVDM是一种迭代优化方法，适用于多变量问题。在每一步迭代中，它依次沿每个坐标方向（或变量块）进行一维（或低维）搜索，同时固定其他变量。对于可分离问题，这种方法能分解为多个子问题。但对于不可分离问题，需引入辅助变量或近似分解。

3. 处理不可分离项和约束的松弛技巧
为了应用AVDM，引入辅助变量 \(y\) 和松弛约束，将原问题转化为等价形式：

\[\begin{aligned} \min_{x, y} \quad & \sum_{i=1}^{n} \left( x_i^4 - 2x_i^2 + x_i \right) + y^2 \\ \text{s.t.} \quad & y = \sum_{i=1}^{n} x_i, \\ & g_1(x) = \prod_{i=1}^{n} x_i - 1 \leq 0, \\ & g_2(x) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n \leq 0, \\ & h(x) = \sum_{i=1}^{n} \sin(x_i) = 0, \\ & -2 \leq x_i \leq 2, \quad i=1,\dots,n. \end{aligned} \]

这样，目标函数中的耦合项被转移到等式约束 \(y = \sum x_i\) 中，而新目标函数在 \(x\) 和 \(y\) 上是可分离的（除了 \(y^2\) 项）。

4. 增广拉格朗日法处理等式和不等式约束
为了进一步分解约束，采用增广拉格朗日方法（Augmented Lagrangian Method） 将约束惩罚项融入目标。定义增广拉格朗日函数：

\[\begin{aligned} L_{\rho}(x, y, \lambda, \mu, \nu) = & \sum_{i=1}^{n} \left( x_i^4 - 2x_i^2 + x_i \right) + y^2 \\ & + \lambda \left( y - \sum_{i=1}^{n} x_i \right) + \frac{\rho}{2} \left( y - \sum_{i=1}^{n} x_i \right)^2 \\ & + \mu_1 \max\left(0, g_1(x) + \frac{\mu_1}{\rho} \right)^2 - \frac{\mu_1^2}{2\rho} \quad \text{(对不等式 } g_1 \text{ 的惩罚)} \\ & + \mu_2 \max\left(0, g_2(x) + \frac{\mu_2}{\rho} \right)^2 - \frac{\mu_2^2}{2\rho} \quad \text{(对不等式 } g_2 \text{ 的惩罚)} \\ & + \nu h(x) + \frac{\rho}{2} h(x)^2, \end{aligned} \]

其中 \(\lambda, \nu\) 是等式约束的拉格朗日乘子，\(\mu_1, \mu_2\) 是不等式约束的乘子，\(\rho > 0\) 是惩罚参数。这里对不等式约束使用了标准的增广拉格朗日罚函数形式（将不等式转化为等式形式 \(\max(0, g + \mu/\rho) = 0\)）。

5. 交替变量方向法（AVDM）的迭代步骤
现在，问题转化为在给定乘子和惩罚参数下，最小化 \(L_{\rho}(x, y, \lambda, \mu, \nu)\)。由于 \(L_{\rho}\) 在 \(x\) 和 \(y\) 上可分离（除耦合项已通过惩罚项处理），我们可以应用AVDM进行迭代优化：

步骤1：初始化
选择初始点 \(x^{(0)}\)，\(y^{(0)} = \sum x_i^{(0)}\)，初始乘子 \(\lambda^{(0)}, \mu^{(0)}, \nu^{(0)}\)，惩罚参数 \(\rho > 0\)，容差 \(\epsilon > 0\)，迭代计数器 \(k := 0\)。
步骤2：固定乘子，交替优化变量
在第 \(k\) 次外层迭代（乘子更新前），固定乘子 \(\lambda^{(k)}, \mu^{(k)}, \nu^{(k)}\) 和 \(\rho\)，通过AVDM内层循环依次优化每个变量：
(a) 优化 \(y\)：固定 \(x = x^{(k)}\)，最小化 \(L_{\rho}\) 关于 \(y\)。这是一个单变量二次问题（因为只有 \(y^2\) 项和线性惩罚项），可直接求解：

\[ y^{(k+1)} = \arg\min_{y} \left\{ y^2 + \lambda^{(k)} (y - \sum x_i^{(k)}) + \frac{\rho}{2} (y - \sum x_i^{(k)})^2 \right\}. \]

求导得：

\[ 2y + \lambda^{(k)} + \rho (y - \sum x_i^{(k)}) = 0 \quad \Rightarrow \quad y^{(k+1)} = \frac{\rho \sum x_i^{(k)} - \lambda^{(k)}}{2 + \rho}. \]

(b) 依次优化每个 \(x_i\)：固定 \(y = y^{(k+1)}\) 和其他变量 \(x_j^{(k)} (j \neq i)\)，最小化 \(L_{\rho}\) 关于 \(x_i\)。这需要求解一维子问题：

\[ x_i^{(k+1)} = \arg\min_{x_i \in [-2,2]} \phi_i(x_i), \]

其中

\[ \begin{aligned} \phi_i(x_i) = & x_i^4 - 2x_i^2 + x_i \\ & - \lambda^{(k)} x_i + \frac{\rho}{2} \left( y^{(k+1)} - x_i - \sum_{j \neq i} x_j^{(k)} \right)^2 \\ & + \mu_1^{(k)} \max\left(0, g_1(x_i) + \frac{\mu_1^{(k)}}{\rho} \right)^2 + \mu_2^{(k)} \max\left(0, g_2(x_i) + \frac{\mu_2^{(k)}}{\rho} \right)^2 \\ & + \nu^{(k)} \sin(x_i) + \frac{\rho}{2} \left( \sin(x_i) + \sum_{j \neq i} \sin(x_j^{(k)}) \right)^2. \end{aligned} \]

注意 \(g_1(x)\) 和 \(g_2(x)\) 在关于 \(x_i\) 优化时，需视为 \(x_i\) 的函数（固定其他 \(x_j\)）。这是一个单变量非凸问题，可使用一维搜索方法（如黄金分割法或Brent法）在区间 \([-2,2]\) 内求解，确保边界约束满足。由于 \(g_1\) 和 \(g_2\) 包含其他变量，计算时需用当前值代入。
(c) 依次更新所有 \(x_i\) 后，得到新点 \(x^{(k+1)}\)。

步骤3：更新乘子和惩罚参数
计算约束违反量：

\[ r_{\text{eq}} = \| y^{(k+1)} - \sum x_i^{(k+1)} \| + |h(x^{(k+1)})|, \quad r_{\text{ineq}} = \| \max(0, g_1(x^{(k+1)})) \| + \| \max(0, g_2(x^{(k+1)})) \|. \]

如果违反量小于 \(\epsilon\)，则停止；否则更新乘子：

\[ \begin{aligned} \lambda^{(k+1)} &= \lambda^{(k)} + \rho \left( y^{(k+1)} - \sum x_i^{(k+1)} \right), \\ \nu^{(k+1)} &= \nu^{(k)} + \rho \, h(x^{(k+1)}), \\ \mu_1^{(k+1)} &= \max\left(0, \mu_1^{(k)} + \rho g_1(x^{(k+1)}) \right), \\ \mu_2^{(k+1)} &= \max\left(0, \mu_2^{(k)} + \rho g_2(x^{(k+1)}) \right). \end{aligned} \]

如果需要，增大惩罚参数 \(\rho\) 以加强约束满足（例如 \(\rho := 2\rho\) 如果违反量未明显下降）。

步骤4：检查收敛
如果约束违反量和变量变化量 \(\| x^{(k+1)} - x^{(k)} \|\) 都小于预设容差，则停止并输出解；否则令 \(k := k+1\) 返回步骤2。

6. 算法关键点说明

不可分离约束的处理：通过引入辅助变量和增广拉格朗日法，将耦合约束转化为可分离的惩罚项，使得AVDM可应用。
子问题求解：每个 \(x_i\) 子问题是一维有界优化，虽非凸但可通过精细的一维搜索求解局部最优。
收敛性：在适当条件下（如惩罚参数足够大、子问题求解准确），该方法能收敛到原问题的KKT点。但由于问题非凸，可能收敛到局部最优。
实际调整：可结合启发式策略初始化、动态调整惩罚参数 \(\rho\)，并使用多个起始点以增加找到全局最优的机会。

7. 示例数值演示（n=2时）
以 \(n=2\) 为例，简要说明过程。

初始点：\(x^{(0)} = (0.5, 0.5)\)，\(y^{(0)}=1\)，乘子为零，\(\rho=1\)。
第一步优化 \(y\)：得 \(y^{(1)} = (\rho \cdot 1 - 0)/(2+\rho) = 1/3\)。
优化 \(x_1\)：固定 \(x_2=0.5\)，求解 \(\min_{x_1 \in [-2,2]} \phi_1(x_1)\)，假设得到 \(x_1^{(1)} = 0.4\)。
优化 \(x_2\)：固定 \(x_1=0.4\)，求解得 \(x_2^{(1)} = 0.6\)。
更新乘子，检查约束违反，重复直到满足容差。最终可能收敛到满足约束的局部最优点，如 \(x^* \approx (0.8, 0.8)\)（需实际计算验证）。

这个进阶题展示了如何扩展AVDM处理不可分离非凸约束，结合松弛和增广拉格朗日技巧，是求解复杂非线性规划的一种有效混合策略。

非线性规划中的交替变量方向法（Alternating Variable Direction Method, AVDM）进阶题：带不可分离非凸约束的优化问题题目描述考虑以下带有不可分离非线性约束的优化问题： \[ \begin{aligned} \min_ {x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) = \sum_ {i=1}^{n} \left( x_ i^4 - 2x_ i^2 + x_ i \right) + \left( \sum_ {i=1}^{n} x_ i \right)^2 \\ \text{s.t.} \quad & g_ 1(x) = \prod_ {i=1}^{n} x_ i - 1 \leq 0, \\ & g_ 2(x) = \left( \sum_ {i=1}^{n} x_ i^2 \right) - n \leq 0, \\ & h(x) = \sum_ {i=1}^{n} \sin(x_ i) = 0, \\ & -2 \leq x_ i \leq 2, \quad i = 1,\dots,n. \end{aligned} \] 其中，目标函数 \( f(x) \) 包含可分离项（前一部分）和不可分离的耦合项（后一项平方）。约束 \( g_ 1(x) \) 是变量乘积的非凸约束，\( g_ 2(x) \) 是球约束，\( h(x) \) 是非线性等式约束，并且边界约束限制了变量的取值范围。该问题是非凸、带有不可分离约束的复杂非线性规划问题。要求使用交替变量方向法（AVDM）结合处理约束的技巧，设计求解该问题的算法步骤，并解释其原理。解题过程循序渐进讲解 1. 问题分析与挑战目标函数结构：\( f(x) \) 由可分离部分（每个 \( x_ i \) 的四次多项式）和不可分离的耦合项 \( \left( \sum x_ i \right)^2 \) 组成。这意味着直接对每个变量单独优化会受耦合项影响。约束特性： \( g_ 1(x) = \prod x_ i - 1 \leq 0 \) 是不可分离的非凸约束，变量间通过乘积耦合。 \( g_ 2(x) = \sum x_ i^2 - n \leq 0 \) 是凸的二次约束，但耦合了所有变量。 \( h(x) = \sum \sin(x_ i) = 0 \) 是等式约束，每个 \( \sin(x_ i) \) 可分离，但等式将变量耦合。核心挑战：标准的交替变量方向法通常适用于可分离问题，但这里的耦合项和不可分离约束使得直接应用AVDM困难。需要结合松弛技术和约束处理策略。 2. 交替变量方向法（AVDM）基本思想回顾 AVDM是一种迭代优化方法，适用于多变量问题。在每一步迭代中，它依次沿每个坐标方向（或变量块）进行一维（或低维）搜索，同时固定其他变量。对于可分离问题，这种方法能分解为多个子问题。但对于不可分离问题，需引入辅助变量或近似分解。 3. 处理不可分离项和约束的松弛技巧为了应用AVDM，引入辅助变量 \( y \) 和松弛约束，将原问题转化为等价形式： \[ \begin{aligned} \min_ {x, y} \quad & \sum_ {i=1}^{n} \left( x_ i^4 - 2x_ i^2 + x_ i \right) + y^2 \\ \text{s.t.} \quad & y = \sum_ {i=1}^{n} x_ i, \\ & g_ 1(x) = \prod_ {i=1}^{n} x_ i - 1 \leq 0, \\ & g_ 2(x) = \sum_ {i=1}^{n} x_ i^2 - n \leq 0, \\ & h(x) = \sum_ {i=1}^{n} \sin(x_ i) = 0, \\ & -2 \leq x_ i \leq 2, \quad i=1,\dots,n. \end{aligned} \] 这样，目标函数中的耦合项被转移到等式约束 \( y = \sum x_ i \) 中，而新目标函数在 \( x \) 和 \( y \) 上是可分离的（除了 \( y^2 \) 项）。 4. 增广拉格朗日法处理等式和不等式约束为了进一步分解约束，采用增广拉格朗日方法（Augmented Lagrangian Method）将约束惩罚项融入目标。定义增广拉格朗日函数： \[ \begin{aligned} L_ {\rho}(x, y, \lambda, \mu, \nu) = & \sum_ {i=1}^{n} \left( x_ i^4 - 2x_ i^2 + x_ i \right) + y^2 \\ & + \lambda \left( y - \sum_ {i=1}^{n} x_ i \right) + \frac{\rho}{2} \left( y - \sum_ {i=1}^{n} x_ i \right)^2 \\ & + \mu_ 1 \max\left(0, g_ 1(x) + \frac{\mu_ 1}{\rho} \right)^2 - \frac{\mu_ 1^2}{2\rho} \quad \text{(对不等式 } g_ 1 \text{ 的惩罚)} \\ & + \mu_ 2 \max\left(0, g_ 2(x) + \frac{\mu_ 2}{\rho} \right)^2 - \frac{\mu_ 2^2}{2\rho} \quad \text{(对不等式 } g_ 2 \text{ 的惩罚)} \\ & + \nu h(x) + \frac{\rho}{2} h(x)^2, \end{aligned} \] 其中 \( \lambda, \nu \) 是等式约束的拉格朗日乘子，\( \mu_ 1, \mu_ 2 \) 是不等式约束的乘子，\( \rho > 0 \) 是惩罚参数。这里对不等式约束使用了标准的增广拉格朗日罚函数形式（将不等式转化为等式形式 \( \max(0, g + \mu/\rho) = 0 \)）。 5. 交替变量方向法（AVDM）的迭代步骤现在，问题转化为在给定乘子和惩罚参数下，最小化 \( L_ {\rho}(x, y, \lambda, \mu, \nu) \)。由于 \( L_ {\rho} \) 在 \( x \) 和 \( y \) 上可分离（除耦合项已通过惩罚项处理），我们可以应用AVDM进行迭代优化：步骤1：初始化选择初始点 \( x^{(0)} \)，\( y^{(0)} = \sum x_ i^{(0)} \)，初始乘子 \( \lambda^{(0)}, \mu^{(0)}, \nu^{(0)} \)，惩罚参数 \( \rho > 0 \)，容差 \( \epsilon > 0 \)，迭代计数器 \( k := 0 \)。步骤2：固定乘子，交替优化变量在第 \( k \) 次外层迭代（乘子更新前），固定乘子 \( \lambda^{(k)}, \mu^{(k)}, \nu^{(k)} \) 和 \( \rho \)，通过AVDM内层循环依次优化每个变量： (a) 优化 \( y \) ：固定 \( x = x^{(k)} \)，最小化 \( L_ {\rho} \) 关于 \( y \)。这是一个单变量二次问题（因为只有 \( y^2 \) 项和线性惩罚项），可直接求解： \[ y^{(k+1)} = \arg\min_ {y} \left\{ y^2 + \lambda^{(k)} (y - \sum x_ i^{(k)}) + \frac{\rho}{2} (y - \sum x_ i^{(k)})^2 \right\}. \] 求导得： \[ 2y + \lambda^{(k)} + \rho (y - \sum x_ i^{(k)}) = 0 \quad \Rightarrow \quad y^{(k+1)} = \frac{\rho \sum x_ i^{(k)} - \lambda^{(k)}}{2 + \rho}. \] (b) 依次优化每个 \( x_ i \) ：固定 \( y = y^{(k+1)} \) 和其他变量 \( x_ j^{(k)} (j \neq i) \)，最小化 \( L_ {\rho} \) 关于 \( x_ i \)。这需要求解一维子问题： \[ x_ i^{(k+1)} = \arg\min_ {x_ i \in [ -2,2]} \phi_ i(x_ i), \] 其中 \[ \begin{aligned} \phi_ i(x_ i) = & x_ i^4 - 2x_ i^2 + x_ i \\ & - \lambda^{(k)} x_ i + \frac{\rho}{2} \left( y^{(k+1)} - x_ i - \sum_ {j \neq i} x_ j^{(k)} \right)^2 \\ & + \mu_ 1^{(k)} \max\left(0, g_ 1(x_ i) + \frac{\mu_ 1^{(k)}}{\rho} \right)^2 + \mu_ 2^{(k)} \max\left(0, g_ 2(x_ i) + \frac{\mu_ 2^{(k)}}{\rho} \right)^2 \\ & + \nu^{(k)} \sin(x_ i) + \frac{\rho}{2} \left( \sin(x_ i) + \sum_ {j \neq i} \sin(x_ j^{(k)}) \right)^2. \end{aligned} \] 注意 \( g_ 1(x) \) 和 \( g_ 2(x) \) 在关于 \( x_ i \) 优化时，需视为 \( x_ i \) 的函数（固定其他 \( x_ j \)）。这是一个单变量非凸问题，可使用一维搜索方法（如黄金分割法或Brent法）在区间 \([ -2,2]\) 内求解，确保边界约束满足。由于 \( g_ 1 \) 和 \( g_ 2 \) 包含其他变量，计算时需用当前值代入。 (c) 依次更新所有 \( x_ i \) 后，得到新点 \( x^{(k+1)} \)。步骤3：更新乘子和惩罚参数计算约束违反量： \[ r_ {\text{eq}} = \| y^{(k+1)} - \sum x_ i^{(k+1)} \| + |h(x^{(k+1)})|, \quad r_ {\text{ineq}} = \| \max(0, g_ 1(x^{(k+1)})) \| + \| \max(0, g_ 2(x^{(k+1)})) \|. \] 如果违反量小于 \( \epsilon \)，则停止；否则更新乘子： \[ \begin{aligned} \lambda^{(k+1)} &= \lambda^{(k)} + \rho \left( y^{(k+1)} - \sum x_ i^{(k+1)} \right), \\ \nu^{(k+1)} &= \nu^{(k)} + \rho \, h(x^{(k+1)}), \\ \mu_ 1^{(k+1)} &= \max\left(0, \mu_ 1^{(k)} + \rho g_ 1(x^{(k+1)}) \right), \\ \mu_ 2^{(k+1)} &= \max\left(0, \mu_ 2^{(k)} + \rho g_ 2(x^{(k+1)}) \right). \end{aligned} \] 如果需要，增大惩罚参数 \( \rho \) 以加强约束满足（例如 \( \rho := 2\rho \) 如果违反量未明显下降）。步骤4：检查收敛如果约束违反量和变量变化量 \( \| x^{(k+1)} - x^{(k)} \| \) 都小于预设容差，则停止并输出解；否则令 \( k := k+1 \) 返回步骤2。 6. 算法关键点说明不可分离约束的处理：通过引入辅助变量和增广拉格朗日法，将耦合约束转化为可分离的惩罚项，使得AVDM可应用。子问题求解：每个 \( x_ i \) 子问题是一维有界优化，虽非凸但可通过精细的一维搜索求解局部最优。收敛性：在适当条件下（如惩罚参数足够大、子问题求解准确），该方法能收敛到原问题的KKT点。但由于问题非凸，可能收敛到局部最优。实际调整：可结合启发式策略初始化、动态调整惩罚参数 \( \rho \)，并使用多个起始点以增加找到全局最优的机会。 7. 示例数值演示（n=2时）以 \( n=2 \) 为例，简要说明过程。初始点：\( x^{(0)} = (0.5, 0.5) \)，\( y^{(0)}=1 \)，乘子为零，\( \rho=1 \)。第一步优化 \( y \)：得 \( y^{(1)} = (\rho \cdot 1 - 0)/(2+\rho) = 1/3 \)。优化 \( x_ 1 \)：固定 \( x_ 2=0.5 \)，求解 \( \min_ {x_ 1 \in [ -2,2]} \phi_ 1(x_ 1) \)，假设得到 \( x_ 1^{(1)} = 0.4 \)。优化 \( x_ 2 \)：固定 \( x_ 1=0.4 \)，求解得 \( x_ 2^{(1)} = 0.6 \)。更新乘子，检查约束违反，重复直到满足容差。最终可能收敛到满足约束的局部最优点，如 \( x^* \approx (0.8, 0.8) \)（需实际计算验证）。这个进阶题展示了如何扩展AVDM处理不可分离非凸约束，结合松弛和增广拉格朗日技巧，是求解复杂非线性规划的一种有效混合策略。