非线性规划中的自适应梯度下降法(AdaGrad)进阶题
字数 4878 2025-12-12 18:19:21

非线性规划中的自适应梯度下降法(AdaGrad)进阶题

题目描述
考虑一个带有非线性不等式约束的非光滑优化问题：

\[\begin{aligned} \min_{x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) = \frac{1}{2} \|Ax - b\|^2 + \lambda \|x\|_1 \\ \text{s.t.} \quad & g_i(x) = \frac{1}{2} x^T Q_i x + q_i^T x + c_i \leq 0, \quad i = 1, \dots, m \\ & \|x\|_\infty \leq M \end{aligned} \]

其中 \(A \in \mathbb{R}^{p \times n}\), \(b \in \mathbb{R}^p\), \(Q_i \in \mathbb{R}^{n \times n}\) 对称半正定, \(q_i \in \mathbb{R}^n\), \(c_i \in \mathbb{R}\), 且 \(\lambda > 0\), \(M > 0\) 为常数。目标函数包含可微的二次项和不可微的 L1 正则项，约束包含二次不等式和界约束。要求设计一种基于自适应梯度下降法（AdaGrad）的求解算法，并详细说明如何处理非光滑项和约束，确保收敛到稳定点。

解题过程讲解

步骤 1: 问题分析与转化

  1. 目标函数 \(f(x)\) 可拆为两部分：

    • 可微部分：\(f_{\text{smooth}}(x) = \frac{1}{2} \|Ax - b\|^2\)，其梯度为 \(\nabla f_{\text{smooth}}(x) = A^T(Ax - b)\)。
    • 非光滑部分：\(h(x) = \lambda \|x\|_1\)，这是一个凸但不处处可导的项，在 \(x_j = 0\) 处不可导。

  2. 约束处理：

    • 二次不等式约束 \(g_i(x) \leq 0\) 是非线性的，但 \(Q_i\) 半正定，所以每个 \(g_i\) 是凸函数。
    • 界约束 \(\|x\|_\infty \leq M\) 等价于 \(-M \leq x_j \leq M, \ j=1,\dots,n\)，是一个凸的盒子约束。

  3. 整体问题可视为一个复合优化问题，包含可微项、非光滑项和凸约束集。标准梯度法无法直接应用，需结合近似点算子（proximal operator）处理非光滑项，并用投影或罚函数处理约束。

步骤 2: 算法框架——投影近似梯度法结合 AdaGrad

  1. 将约束集合记为 \(\mathcal{C} = \{x \in \mathbb{R}^n: g_i(x) \leq 0, \|x\|_\infty \leq M\}\)，这是一个闭凸集。
  2. 对可微部分 \(f_{\text{smooth}}(x)\) 使用梯度下降，对非光滑部分 \(h(x)\) 使用近似点算子，对约束集 \(\mathcal{C}\) 使用投影，形成投影近似梯度法迭代：

\[ x^{(k+1)} = \operatorname{Proj}_{\mathcal{C}}\left( \operatorname{prox}_{\alpha_k h} \big( x^{(k)} - \alpha_k \nabla f_{\text{smooth}}(x^{(k)}) \big) \right) \]

其中 \(\alpha_k > 0\) 是步长，\(\operatorname{prox}_{\alpha h}(y) = \arg\min_z \left\{ h(z) + \frac{1}{2\alpha} \|z - y\|^2 \right\}\) 是近似点算子。

  1. 对 L1 正则项，近似点算子有解析解（软阈值算子）：

\[ [\operatorname{prox}_{\alpha h}(y)]_j = \operatorname{sign}(y_j) \max\{|y_j| - \alpha \lambda, 0\} \]

  1. 但标准投影近似梯度法使用固定或衰减步长，收敛速度可能较慢。AdaGrad 通过累积历史梯度信息自适应调整每个分量的步长，可加速稀疏或非平稳问题的收敛。

步骤 3: 自适应步长机制（AdaGrad 思想）

  1. AdaGrad 核心：对每个变量分量 \(x_j\) 使用不同的步长，步长反比于历史梯度平方和的平方根。
  2. 在本问题中，可微部分的梯度为 \(g^{(k)} = \nabla f_{\text{smooth}}(x^{(k)})\)，定义对角矩阵 \(G^{(k)} \in \mathbb{R}^{n \times n}\)，其对角线元素为：

\[ G^{(k)}_{jj} = \delta + \sqrt{\sum_{t=1}^k (g_j^{(t)})^2 } \]

其中 \(\delta > 0\) 是一个小常数（如 \(10^{-8}\)），防止除零。

  1. 则自适应步长矩阵为 \((G^{(k)})^{-1/2}\)（即每个分量 \(j\) 的步长为 \(1/\sqrt{G^{(k)}_{jj}}\)）。迭代式变为：

\[ x^{(k+1)} = \operatorname{Proj}_{\mathcal{C}}\left( \operatorname{prox}_{(G^{(k)})^{-1/2} \, h} \big( x^{(k)} - (G^{(k)})^{-1/2} g^{(k)} \big) \right) \]

注意：这里近似点算子的步长参数也变为分量自适应的，即对分量 \(j\) 使用步长 \(1/\sqrt{G^{(k)}_{jj}}\)。

  1. 实际计算时，通常用向量形式表示：令 \(\eta^{(k)}_j = \frac{\alpha}{\sqrt{\delta + \sum_{t=1}^k (g_j^{(t)})^2}}\)，其中 \(\alpha > 0\) 是全局步长缩放因子。迭代可写为：

\[ y^{(k)} = x^{(k)} - \eta^{(k)} \odot g^{(k)} \]

\[ z^{(k)} = \operatorname{prox}_{\eta^{(k)} h}(y^{(k)}) \]

\[ x^{(k+1)} = \operatorname{Proj}_{\mathcal{C}}(z^{(k)}) \]

其中 \(\odot\) 表示逐分量乘法，\(\eta^{(k)} = (\eta^{(k)}_1, \dots, \eta^{(k)}_n)^T\)，且 \(\operatorname{prox}_{\eta h}(y)\) 对每个分量独立应用软阈值，阈值为 \(\eta_j \lambda\)。

步骤 4: 约束投影的计算

  1. 投影到 \(\mathcal{C}\) 是一个带二次不等式和盒子约束的凸集上的投影，通常无解析解，需迭代求解。

  2. 实用简化：将约束处理为罚函数加到目标中，或采用交替方向法：将问题拆为两部分——近似梯度更新（处理非光滑项）和约束投影。

  3. 一个常用技巧：用内点罚函数或增广拉格朗日处理二次不等式约束，而盒子约束可在近似点算子中直接施加（即先做软阈值，再截断到 \([-M, M]\)）。

  4. 具体地，定义集合 \(\mathcal{B} = \{x: \|x\|_\infty \leq M\}\)，其投影就是逐分量截断：\([\operatorname{Proj}_{\mathcal{B}}(x)]_j = \min(\max(x_j, -M), M)\)。

  5. 对二次不等式约束，引入对数壁垒函数 \(\phi_i(x) = -\log(-g_i(x))\)（当 \(g_i(x) < 0\)），将问题转化为无约束问题：

\[ \min_x \; f_{\text{smooth}}(x) + \lambda \|x\|_1 + \mu \sum_{i=1}^m \phi_i(x) \quad \text{s.t.} \; x \in \mathcal{B} \]

其中 \(\mu > 0\) 是壁垒参数。这样，约束只剩盒子约束，投影容易计算。

  1. 然后对新的可微部分 \(f_{\text{smooth}}(x) + \mu \sum_i \phi_i(x)\) 计算梯度，结合 AdaGrad 步长和软阈值算子迭代。

步骤 5: 完整算法步骤

  1. 初始化：\(x^{(0)} \in \mathcal{B}\)（如零向量），设定 \(\alpha > 0\), \(\delta > 0\), 壁垒参数 \(\mu > 0\), 累积梯度平方向量 \(s^{(0)} = 0 \in \mathbb{R}^n\)。
  2. 对 \(k = 0, 1, 2, \dots\) 执行：
    a. 计算当前点的梯度：

\[ g^{(k)} = A^T(A x^{(k)} - b) + \mu \sum_{i=1}^m \frac{\nabla g_i(x^{(k)})}{-g_i(x^{(k)})} \]

  其中 $\nabla g_i(x) = Q_i x + q_i$。

b. 更新累积平方梯度：\(s^{(k+1)}_j = s^{(k)}_j + (g^{(k)}_j)^2, \ j=1,\dots,n\)。
c. 计算自适应步长向量：\(\eta^{(k)}_j = \alpha / \sqrt{\delta + s^{(k+1)}_j}\)。
d. 梯度下降步骤：\(y^{(k)} = x^{(k)} - \eta^{(k)} \odot g^{(k)}\)。
e. 软阈值（处理 L1 正则）：

\[ z^{(k)}_j = \operatorname{sign}(y^{(k)}_j) \max\{|y^{(k)}_j| - \eta^{(k)}_j \lambda, 0\} \]

f. 投影到盒子约束：\(x^{(k+1)}_j = \min(\max(z^{(k)}_j, -M), M)\)。
3. 逐渐减小 \(\mu \to 0\) 以逼近原约束（也可在每次迭代中适当减小 \(\mu\)）。
4. 停止准则：当 \(\|x^{(k+1)} - x^{(k)}\| < \epsilon\) 且约束违反度 \(\max_i \max(g_i(x^{(k)}), 0) < \epsilon\) 时终止。

步骤 6: 收敛性说明

  1. 算法本质是 AdaGrad 在复合优化问题上的扩展。在凸问题中，AdaGrad 可保证次线性收敛速率 \(O(1/\sqrt{k})\)。
  2. 对于非光滑 L1 项，软阈值算子相当于在 AdaGrad 的梯度更新后施加了稀疏性，不影响收敛性，因为近似点算子是 nonexpansive 的。
  3. 壁垒函数将不等式约束转化为可微项，随着 \(\mu \to 0\) 可逼近原问题的解。需注意壁垒函数在边界附近梯度很大，AdaGrad 的自适应步长能自动调整，避免震荡。
  4. 对于非凸的 \(g_i\)（本题中 \(g_i\) 是凸的），算法可能收敛到稳定点（KKT 点）。

总结
本题将 AdaGrad 扩展至带非光滑项和非线性约束的优化问题，核心是结合近似点算子处理 L1 正则、用壁垒罚函数处理不等式约束、用投影处理简单约束，并在梯度更新中使用分量自适应的步长。算法可有效处理高维稀疏优化，且适应于不同分量变化程度差异较大的情况。

非线性规划中的自适应梯度下降法(AdaGrad)进阶题 题目描述 考虑一个带有非线性不等式约束的非光滑优化问题： \[ \begin{aligned} \min_ {x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) = \frac{1}{2} \|Ax - b\|^2 + \lambda \|x\| 1 \\ \text{s.t.} \quad & g_ i(x) = \frac{1}{2} x^T Q_ i x + q_ i^T x + c_ i \leq 0, \quad i = 1, \dots, m \\ & \|x\| \infty \leq M \end{aligned} \] 其中 \(A \in \mathbb{R}^{p \times n}\), \(b \in \mathbb{R}^p\), \(Q_ i \in \mathbb{R}^{n \times n}\) 对称半正定, \(q_ i \in \mathbb{R}^n\), \(c_ i \in \mathbb{R}\), 且 \(\lambda > 0\), \(M > 0\) 为常数。目标函数包含可微的二次项和不可微的 L1 正则项，约束包含二次不等式和界约束。要求设计一种基于自适应梯度下降法（AdaGrad）的求解算法，并详细说明如何处理非光滑项和约束，确保收敛到稳定点。 解题过程讲解 步骤 1: 问题分析与转化 目标函数 \(f(x)\) 可拆为两部分： 可微部分：\(f_ {\text{smooth}}(x) = \frac{1}{2} \|Ax - b\|^2\)，其梯度为 \(\nabla f_ {\text{smooth}}(x) = A^T(Ax - b)\)。 非光滑部分：\(h(x) = \lambda \|x\|_ 1\)，这是一个凸但不处处可导的项，在 \(x_ j = 0\) 处不可导。 约束处理： 二次不等式约束 \(g_ i(x) \leq 0\) 是非线性的，但 \(Q_ i\) 半正定，所以每个 \(g_ i\) 是凸函数。 界约束 \(\|x\|_ \infty \leq M\) 等价于 \(-M \leq x_ j \leq M, \ j=1,\dots,n\)，是一个凸的盒子约束。 整体问题可视为一个 复合优化问题 ，包含可微项、非光滑项和凸约束集。标准梯度法无法直接应用，需结合近似点算子（proximal operator）处理非光滑项，并用投影或罚函数处理约束。 步骤 2: 算法框架——投影近似梯度法结合 AdaGrad 将约束集合记为 \(\mathcal{C} = \{x \in \mathbb{R}^n: g_ i(x) \leq 0, \|x\|_ \infty \leq M\}\)，这是一个闭凸集。 对可微部分 \(f_ {\text{smooth}}(x)\) 使用梯度下降，对非光滑部分 \(h(x)\) 使用近似点算子，对约束集 \(\mathcal{C}\) 使用投影，形成 投影近似梯度法 迭代： \[ x^{(k+1)} = \operatorname{Proj} {\mathcal{C}}\left( \operatorname{prox} {\alpha_ k h} \big( x^{(k)} - \alpha_ k \nabla f_ {\text{smooth}}(x^{(k)}) \big) \right) \] 其中 \(\alpha_ k > 0\) 是步长，\(\operatorname{prox}_ {\alpha h}(y) = \arg\min_ z \left\{ h(z) + \frac{1}{2\alpha} \|z - y\|^2 \right\}\) 是近似点算子。 对 L1 正则项，近似点算子有解析解（软阈值算子）： \[ [ \operatorname{prox}_ {\alpha h}(y)]_ j = \operatorname{sign}(y_ j) \max\{|y_ j| - \alpha \lambda, 0\} \] 但标准投影近似梯度法使用固定或衰减步长，收敛速度可能较慢。AdaGrad 通过累积历史梯度信息自适应调整每个分量的步长，可加速稀疏或非平稳问题的收敛。 步骤 3: 自适应步长机制（AdaGrad 思想） AdaGrad 核心：对每个变量分量 \(x_ j\) 使用不同的步长，步长反比于历史梯度平方和的平方根。 在本问题中，可微部分的梯度为 \(g^{(k)} = \nabla f_ {\text{smooth}}(x^{(k)})\)，定义对角矩阵 \(G^{(k)} \in \mathbb{R}^{n \times n}\)，其对角线元素为： \[ G^{(k)} {jj} = \delta + \sqrt{\sum {t=1}^k (g_ j^{(t)})^2 } \] 其中 \(\delta > 0\) 是一个小常数（如 \(10^{-8}\)），防止除零。 则自适应步长矩阵为 \((G^{(k)})^{-1/2}\)（即每个分量 \(j\) 的步长为 \(1/\sqrt{G^{(k)} {jj}}\)）。迭代式变为： \[ x^{(k+1)} = \operatorname{Proj} {\mathcal{C}}\left( \operatorname{prox} {(G^{(k)})^{-1/2} \, h} \big( x^{(k)} - (G^{(k)})^{-1/2} g^{(k)} \big) \right) \] 注意：这里近似点算子的步长参数也变为分量自适应的，即对分量 \(j\) 使用步长 \(1/\sqrt{G^{(k)} {jj}}\)。 实际计算时，通常用向量形式表示：令 \(\eta^{(k)} j = \frac{\alpha}{\sqrt{\delta + \sum {t=1}^k (g_ j^{(t)})^2}}\)，其中 \(\alpha > 0\) 是全局步长缩放因子。迭代可写为： \[ y^{(k)} = x^{(k)} - \eta^{(k)} \odot g^{(k)} \] \[ z^{(k)} = \operatorname{prox} {\eta^{(k)} h}(y^{(k)}) \] \[ x^{(k+1)} = \operatorname{Proj} {\mathcal{C}}(z^{(k)}) \] 其中 \(\odot\) 表示逐分量乘法，\(\eta^{(k)} = (\eta^{(k)}_ 1, \dots, \eta^{(k)} n)^T\)，且 \(\operatorname{prox} {\eta h}(y)\) 对每个分量独立应用软阈值，阈值为 \(\eta_ j \lambda\)。 步骤 4: 约束投影的计算 投影到 \(\mathcal{C}\) 是一个带二次不等式和盒子约束的凸集上的投影，通常无解析解，需迭代求解。 实用简化：将约束处理为罚函数加到目标中，或采用 交替方向法 ：将问题拆为两部分——近似梯度更新（处理非光滑项）和约束投影。 一个常用技巧：用 内点罚函数 或 增广拉格朗日 处理二次不等式约束，而盒子约束可在近似点算子中直接施加（即先做软阈值，再截断到 \([ -M, M ]\)）。 具体地，定义集合 \(\mathcal{B} = \{x: \|x\| \infty \leq M\}\)，其投影就是逐分量截断：\([ \operatorname{Proj} {\mathcal{B}}(x)]_ j = \min(\max(x_ j, -M), M)\)。 对二次不等式约束，引入对数壁垒函数 \(\phi_ i(x) = -\log(-g_ i(x))\)（当 \(g_ i(x) < 0\)），将问题转化为无约束问题： \[ \min_ x \; f_ {\text{smooth}}(x) + \lambda \|x\| 1 + \mu \sum {i=1}^m \phi_ i(x) \quad \text{s.t.} \; x \in \mathcal{B} \] 其中 \(\mu > 0\) 是壁垒参数。这样，约束只剩盒子约束，投影容易计算。 然后对新的可微部分 \(f_ {\text{smooth}}(x) + \mu \sum_ i \phi_ i(x)\) 计算梯度，结合 AdaGrad 步长和软阈值算子迭代。 步骤 5: 完整算法步骤 初始化：\(x^{(0)} \in \mathcal{B}\)（如零向量），设定 \(\alpha > 0\), \(\delta > 0\), 壁垒参数 \(\mu > 0\), 累积梯度平方向量 \(s^{(0)} = 0 \in \mathbb{R}^n\)。 对 \(k = 0, 1, 2, \dots\) 执行： a. 计算当前点的梯度： \[ g^{(k)} = A^T(A x^{(k)} - b) + \mu \sum_ {i=1}^m \frac{\nabla g_ i(x^{(k)})}{-g_ i(x^{(k)})} \] 其中 \(\nabla g_ i(x) = Q_ i x + q_ i\)。 b. 更新累积平方梯度：\(s^{(k+1)}_ j = s^{(k)}_ j + (g^{(k)}_ j)^2, \ j=1,\dots,n\)。 c. 计算自适应步长向量：\(\eta^{(k)}_ j = \alpha / \sqrt{\delta + s^{(k+1)}_ j}\)。 d. 梯度下降步骤：\(y^{(k)} = x^{(k)} - \eta^{(k)} \odot g^{(k)}\)。 e. 软阈值（处理 L1 正则）： \[ z^{(k)}_ j = \operatorname{sign}(y^{(k)}_ j) \max\{|y^{(k)}_ j| - \eta^{(k)}_ j \lambda, 0\} \] f. 投影到盒子约束：\(x^{(k+1)}_ j = \min(\max(z^{(k)}_ j, -M), M)\)。 逐渐减小 \(\mu \to 0\) 以逼近原约束（也可在每次迭代中适当减小 \(\mu\)）。 停止准则：当 \(\|x^{(k+1)} - x^{(k)}\| < \epsilon\) 且约束违反度 \(\max_ i \max(g_ i(x^{(k)}), 0) < \epsilon\) 时终止。 步骤 6: 收敛性说明 算法本质是 AdaGrad 在复合优化问题上的扩展。在凸问题中，AdaGrad 可保证次线性收敛速率 \(O(1/\sqrt{k})\)。 对于非光滑 L1 项，软阈值算子相当于在 AdaGrad 的梯度更新后施加了稀疏性，不影响收敛性，因为近似点算子是 nonexpansive 的。 壁垒函数将不等式约束转化为可微项，随着 \(\mu \to 0\) 可逼近原问题的解。需注意壁垒函数在边界附近梯度很大，AdaGrad 的自适应步长能自动调整，避免震荡。 对于非凸的 \(g_ i\)（本题中 \(g_ i\) 是凸的），算法可能收敛到稳定点（KKT 点）。 总结 本题将 AdaGrad 扩展至带非光滑项和非线性约束的优化问题，核心是结合近似点算子处理 L1 正则、用壁垒罚函数处理不等式约束、用投影处理简单约束，并在梯度更新中使用分量自适应的步长。算法可有效处理高维稀疏优化，且适应于不同分量变化程度差异较大的情况。